I nfini de là mctaphyfique:de ces quantités. Ceux
qui liront avec attention ce que nous venons de dire,
& qui y joindront Pillage du calcul & les réflexions,
n’auront plus aucune difficulté lur aucun cas, &c trou-,
veront facilement des -réponfbs aux objeftions de
Kolle & des autres adversaires du calcul différentiel.,
fuppofé qu’il lui .en refte encore. Il faut avouer que'
li ce calcul a eu des ennemis dans fa naiflance, c elt
la faute des géomètres fes partilans, dont les uns
i^ont mal compris, les autres Pont trop peu expliqué.
Mais les inventeurs cherchent à mettre le plus
de myitéré qu’ils peuvent dans leurs découvertes;
& en général les hommes ne haïflent point l’obfcu-
xité , pourvu qu’il en relulte quelque chofe de mer--
-yeillcux. Charlatanerie que tout cela! La vérité eft
fimple, & peut être toujours mife à portée de tout
le monde, quand on veut en prendre la peine.
Nous ferons ici au fujet des quantités différentielles
-du fécond ordre, & autres plus élevées, une remarque
qui fera très-utile aux commençans. On trouve
-dans les mém. de l'acad. des Sciences de ij i i , & dans
le I . tome des oeuvres de M. Jean Bernoulli, un mémoire
oh l’on remarque avec raifon que Newton s’eft
trompé, quand il a cru que la différence fécondé
«de , en fuppofant d £ confiante, eft ---- —
au lieu qu’elle eft n. ( n - i) d f , comme il
réiulte des réglés énoncées ci-defliis,& conformes
aux principes ordinaires du calcul différentiel. C ’eft
à quoi il faut prendre bien garde ; & ceci nous donnera
encore occafion d’infifter fur la différence des
courbes polygones & des courbes-rigoureufes, dont
nous avons déjà parlé aux arc. C entral 6* C ourbe.
Soit, par exemple, y = x 2, l’équation d’une
parabole : fuppofons d x : confiant, c’eft-à-dire tous
les d x égaux, on trouvera que x -\- d x donne pour
l’ordonnée correfpondante exaéte, que j’appelle y ,
je2 + 2 x d x - f d x 2 , & que x - f 2 d x donne l’ordonnée
correfpondante que je nomme y " , exactement
égale à * " 4- 4 * d x 4 d x 2 9 donc x x d x
j^ d x 2 eft l’excès de la fécondé ordonnée fur la première
& 2 x d x - -f- 3 d x'1 eft l’excès de la troifie-
me fur la fécondé: la différence de ces deux excès
eft i L r ; & c’eft le d d y , tel que le donne le calcul
différentiel. Or fi par l’extrémité de la fécondé ordonnée
on tiroit une tangente qui vînt couper la
troifieme ordonnée, on trouveroit que cette tangente
diviferoit le d d y en deux parties égales, dont
chacune feroit par conféquent d x 2 ou C ’eft
cette moitié du ddy vrai que M. Newton a prife pour
Te vrai ddy entier; &c voici ce qui peut avoir occasionné
cette méprife. Le ddy véritable fe trouve par
le moyen de la tangente confidérée comme fécante
dans la courbe rigoureufe ; car enfaifant les d x con-
flans, & regardant la courbe comme polygone, le
d d y féra donné par le prolongement d’un des côtés
de la courbe, jiilqu’à ce que ce côté rencontre l’ordonnée
infiniment proche aufii prolongée. Or la tangente
rigoureufe dans la courbe rigoureufe étant prolongée
de même, donne la moitié de ce d d y ; & M.
Newton a crû que cette moitié du d dy exprimoit le
d dy véritable, parce qu’elle étoit formée par la fou-
tangente ; ainfi il a confondu la courbe polygone
avec la rigoureufe.Une figure très-fimple fera entendre
aifémenttout ceiaà ceux qui font un peu exercés
à la géométrie des courbes & au calcul différentiel. F.
C ourbe polygone au mot C ourbe , l'hifloire de
l'acad. des Scienc. de i jx z , & mon traité de Dynamique
, I. partie, à l’article des forces centrales.
Equation différentielle, eft celle qui contient
des quantités différentielles.On. l’appelle du premier
ordre, fi les différentielles font du premier ordre
, du fécond, û elles font du fécond, &ct
Les équations différentielles à deux variables appartiennent
aux courbes méchaniques ; c’eft en quoi
ces courbes different des.géométriques. On trouvera
leur conftrüélion au mot C ourbe. Mais cette conf-
truélion fuppofé que les indéterminées y foient fé-
parées; & c-eft l’objet du-calcul intégral. Foye^ In-«
TÉGRAL. •
Dans les équations différentielles du fécond ordre,’
où d x y par exemple, eft fuppofé confiant, fi on
veut qu’il ne foit plus confiant, on n’a qu?à divifer
tout par d x ; & enfuite au. lieu de d-j% , mettre d
; C ^ ) 0n~7x — ^ on aura une équation oïi
rien ne fera confiant. Cette réglé eft expliquée dans
plufieurs ouvrages, & fur-tout dans la fécondé partit
du traité du calcul intégral de M. de Bougainville,
qui ne tardera pas à paroître. En attendant on peut'-
avoir recours aux oeuvres de Jean Bernoulli, t. IF*
page j y ; & on peut remarquer que , en fuppo-*
fant d x confiant, eft la même chofe que d f en
fuppofant d x confiant : or - A eft le même, foit qu’on
prenne d x confiant, foit qu’on le faffe variable. Car
y demeurant la même, — ne change point, pourvu
que d x foit infiniment petite. Pour le bien voir,’
on n’a qu’à fuppofer d y = [ d x ou -~x — on aura
d £ au lieu de dans l’équation ; or ce d ^ eft la même
chofe que fans fuppofer rien de constant.
Don c, &c.
II me relie à parler de la différentiation des quantités
fous le ligne ƒ Par exemple, on propofe de dif-
férentier f A d x t en ne faifant varier que y , A étant
une fonction de x & de y : cette différence eft d y
J ' dj^ d x , étant le coefficient de d y dans la différentielle
de A . On trouvera la méthode expliquée
dans les mém. de l'acad. de 1740, page XÇ)G, d’après
lin mémoire de M. Nicolas Bernoulli; & cette méthode
fera détaillée dans l’ouvrage de M. de Bougainville.
Jepaffe legerement fur ces objets qui font
traités ailleurs, pour venir à la queftion, de l’inventeur
du calcul différentiel.
Il eft confiant que Leibnitz l’a publié le premier ;
il paroît qu’on convient aujourd’hui affez généralement
que Newton l’avoit trouvé auparavant : refte
à favoir fi Leibnitz Ta pris de Newton. Les pièces de
ce grand procès fe trouvent dans le commercium epif-
tolicum de analyjipromotâ, i j r x , Londini. On y rapporte
une lettre de Newton du 10 Décembre 1672 ,
qu’on prétend avoir été connue de Leibnitz, & qui
renferme la maniéré de trouver les tangentes des
courbes. Mais cette méthode, dans la lettre citée ,
n’eft appliquée qu’aux courbes dont les équations
n’ont point de radicaux ; elle ne contient point le
calcul différentiel9 6c n’eft autre chofe que la méthode
de Barrow pour les tangentes un peu Amplifiée.
Newton dit à la vérité dans cette lettre, que par
fa méthode il trouve les tangentes de toutes fortes
: de courbes, géométriques, méchaniques, foit qu’il
y ait des radicaux, ou qu’il n’y en ait pas dans l’équation.
Mais il fe contente de le dire. Ainfi quand
Leibnitz auroit vu cette lettre de 1672, il n’au-
roit point pris à Newton le calcul différentiel; il Tau-
roit pris tout au plus à Barrow ; & en ce cas ce ne
feroit, ni Newton, ni Leibnitz, ce feroit Barrow
qui auroit trouvé le calcul différentiel. En effet,
pour le dire en paffant, le calcul différentiel n’eft autre
chofe que la méthode de Barrow pour les tangentes
, généralifée. Foyer cette méthode de Barrow pour
les tangentes, expliquée dans fes lecliones geometricat*
& à la fin du F. livre des fections coniques de M. dç
H l
THopital, & vous ferez convaincu de ce que nous
avançons ici. Il n’y avoit, pour la rendre générale,
qu?à l ’appliquer aux courbes dont les équations ont
des radicaux ; 6c pour cela il fuffifoit de remarquer
que m x m~ 1 d x eft la différentielle de * m, non-feulement
lorfque m eft un nombre entier pofitif ( c’eft
le cas de Barrow),mais encore lorfque m eft un
nombre quelconque entier, ou rompu, pofitif, ou
négatif. Ce pas étoit facile en apparence ; 6c c’é-
toit cependant celui qu’il falloir faire pour trouver
tout le calcul différentiel. Ainfi quel qiie foit l’inventeur
du calcul différentiel, il n’a fait qu’étendre 6c
achever ce que Barrow avoit prefqtie fait, & ce que
le calcul des expofans, trouvé par,Defcartes, ren-,
doit affez facile à perfectionner. Foye^ Exposant.
Ç ’eft ainfi fouvent que les découvertes les plus çon-
fidérablés , préparées par le travail des fiecles précédons,
ne dépendent plus que d’une idée fort fimple.
Foye^ Découverte.
. Cette généralifation de la méthode de Barrow,
qui contient proprement le calcul différentiel, ou (ce
qui revient au même) la méthode des tangentes en
général, fe trouve dans, une lettre de Leibnitz du
2i Juin 1677, rapportée dans le même recueil,p.
S ° - C ’eft de cette lettre qu’il faut dater, & non des
ades de Leipfic de 1684, oïi Leibnitz a publié le
premier les regies du calcul différentiel, qu’il con-
noiffoit évidemment fept ans auparavant, comme
on le voit par la lettre citée. Venons aux autres
faits qu’on peut oppofer à Leibnitz.
• Par une lettre de Newton du 13 Juin 1676 j p.
4-9 de ce recueil 9 on voit que ce grand géomètre
avoit imaginé une méthode des fuites, qui l’avoit
conduit aux calculs différentiel, & intégral ; mais
Newton n’explique point comment .cette méthode
y conduit, il fe contente d’en donner des exemples ;
& d’ailleurs les commiflaires de la fociété royale ne
djfent point fi Leibnitz a vû cette lettre ; ou pour
parler plus exactement, ne difent point qu’il l’a vue :
obfervation remarquable & importante, comme on
le verra tout à Theiire. Il n’eft parlé- dans le rapport
des commiffaires que de la lettre de Newton de
1 ^72, comme ayant été vue par Leibnitz; ce qui
ne conclud rien contre lui, comme nous l’avons prouvé.
Foye^p. 121 de ce recueil, le rapport des commiflaires
nommés par la fociété royale, art. II. &
III. Il femble pourtant par le titre de la lettre de
Newton de 1 óyó.j impriméepage 4c) du.recueil, que
Leibnitz avoit- vu cette lettre avant la Tienne de
1677 ; mais çette lettre de 1676 traite principalement
des fuites ; & le calcul différentiel ne s’y trouve que
d’une maniéré fort éloignée, fous-entendue, & fiip-
pofée. C ’eft apparemment pour cela que les commiflaires
n’en parlent point ; car par la lettre fui-
vante de Leibnitz, page 58 , il paroît qu’il avoit vû
la lettre de Newton de 16.761 ainfi. qu’une autre du
24 Oélobre même année, qui roule fur la même méthode
des fuites. On ne dit point non plus, & on
^fait encore- moins, fi Leibnitz- avoit vû un autre
écrit deNewton de 1669 , qui contient un peu plus
clairement, mais toûjours implicitement, le calcul
dijjerentiely & qui fe trouve au commencement de
ce même recueil.. .
. C ’eft pourquoi', fi on ne peut refufer à Newton
la gloire de l’invention, il n’y a pas non plus
de preuves fuffifantes pour l’ôter à Leibnitz. Si
Leibnitz n’a point vû les écrits de 1669 & 1676,
il eft inventeur abfolument : s’il les a vus, il peut
pafler pour l’être encore, du moins de l’aveu tacite
des commiflaires , puifque ces écrits ne contiennent
pas affez clairement le calcul différentiel,
pour que les commiflaires lui ayent reproché de les
avoir lus. Il faut avouer pourtant que ces deux
écrits, fur-tout celui de 1669, s’il Ta lu , peuvent
lui avoir donné des idées (yoÿe^page ic) du recueil) ;
mais il lui reliera toûjours le mérite de les avoir
eues, de les avoir développées, & d’en avoir tiré
la méthode générale de differentier toutes fortes de
quantités. On objeéle en vain à Leibnitz que fa mé-
taphyfique du calcul différentiel n’étoit pas bonne,
comme on Ta vû plus haut: cela peut être; cependant
cela ne prouve rien contre lui. Il peut avoir
trouvé le calcul dont il s’agit , en regardant les-
quantités différentielles comme des quantités réellement
infiniment petites, ainfi que bien des géomètres
les ont confidérées ; il peut enfuite, effrayé par
les objections, avoir chancelé fur cette métaphyfi-
que. On objeâe enfin que cette méthode auroit-dûs
etre plus- teconde entre fes mains, comme elle Ta
été dans celles de Newton. Cette objection eft peut-
etre une des plus-fortes pour ceux qui connoiffent
la nature du véritable génie d’invention. Mais Leibnitz,
comme on fait, étoit un philofophe plein de
projets fur toutes fortes de matières : il cherchoir
plûtôt à propôfer des vûes nouvelles, qu’à perfectionner
& à fuivre celles qu’il propofoit.
C ’eft dans les a Clés de Leipfic de 1684 » comme
on Ta dit plus haut, que Leibnitz a donné le calcul
différentiel des quantités ordinaires. Celui des quantités
exponentielles qui manquoit à l’écrit de Leibnitz
, a été donné depuis en 1697 par M. Jean Bernoulli
dans les aâes de Leipfic; ainfi ce calcul appartient
en propre à ce dernier auteur.
Méthode différentielle, mtthodus differen-
tialis, eft le titre d’un petit ouvrage de Newton, imprimé
en 1711 par les foins de M. Jones, où ce grand
géomètre donne une méthode particulière pour faire
pafler par tant de points qu’on voudra une courbe
de genre parabolique ; méthode très - ingénieufe.'
Comme M. Newton réfout ce problème, en employant
des différences de certaines lignes, il a pour
cette raifon nommé fa méthode méthode différentielle*
Elle eft encore expliquée,dans le lemme F. du III*
liv. des principes mathématiques de la philofophie naturelle
; & elle a été commentée par plufieurs auteurs,
entr’autres par M. Stirling dans fon traité de
fummationeferierum , Lond. t jg o ypart. II. Voyez un
plus grand détail aux articles SÉRIE, Parabolique,
C o u r b e , In t er po la t io n , &c. (O)
DIFFÉRENTIER, v. aêl. (Géomét.) une quantité
dans la Géométrie tranfeendante, c ’eft en rendr®
la différence fuivant les réglés du calcul différentiel.
Foye[ D ifférence & D ifférentiel, où les réglés
& la métaphyfique de ce calcul font expliquées..
Foye^ aujji l'article INTÉGRAL. (D )
DIFFIDATION. f. f. {Hifl.) en Allemagne, dans
des tems de barbarie & d’anarchie, chaque prince
ou feigneur fe faifoit juftice à lui-même, & croyôit-
pouvoir en fûreté de confcience aller piller, brûler,
& porter la defolation chez fon voifin, pourvû qu’il
lui eût fait fignifier trois jours avant que d’en venir
aux voies de fait, qu’il étoit dans le deflein de rompre
avec lui, de lui courir fus, & de fe dégager des
liens mutuels qui les unifîoient : cette efpece de guerre
ou de brigandage fe nommoit diffidation. Cet abus
fut long tems toléré par la foibleflè des empereurs ;
& au défaut de tribunaux autorifés pour rendre la
juftice, on exigeoit feulement qu’on remplît certaines
formalités dans ces fortes de guerres particulières
, comme de les déclarer trois jours avant que d’en
venir au fait; que la déclaration fût faite aux per-
fonnes mêmes à qui on en vouloit, & en préfence
de témoins, & qu’on eut de bonnes raifons à alléguer
: on ne défendoit alors que les diffidations ou
guerres clandeflines : mais Frédéric III. vint à bout
de fufpendre çes abus pour dix ans, & fon fils Maxi*.
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