ces lignes une notion qui foit plus claire à l’efprit
que la notion l'impie qu’excite en nous le l'eul mot
de droit & de courbe. La définition la plus exade
qu’on puiffe donner de l’une & de l’autre, eft peut-
être celle-ci : La ligne droite eft le chemin le plus
court d’un point à un autre, & la ligne courbe eft une
ligne menée d’un point à un autre, fe qui n’eft pas
la plus courte. Mais la première de ces définitions
renferme plutôt une propriété fecondaire que l’ef-
fence de la ligne droite ; & la fécondé, outre qu’elle
ne renferme qu’une propriété négative, convient
aufli-bien à un affemblage de lignes droites qui font
angle, qu’à ce qu’on appelle proprement courbe, &
qu’on peut regarder comme l’affemblage d’une infinité
de petites lignes droites contiguës entr’elles à
angles infiniment obtus. Foye^plus bas Courbe polygone
; voyei auffi Convexe. Peut-être feroit-on
mieux de ne point définir la ligne courbe ni la ligne
droite, par la difficulté fe peut-etre l’impoffibilité de
réduire ces mots à une idée plus élémentaire que celle
qu’ils préfentent d’eux-mêmes. Foye^ D éfinition.
Les figures terminées par des lignes courbes font
appellées figures curvilignes, pour les diftinguer des
figures qui font terminées par des lignes droites , &
qu’on appelle figures rectilignes. Foye^ Rectiligne
6* Figure.
La théorie générale des courbes, des figures qu’elles
terminent, & de leurs propriétés, conftitue proprement
ce qu’on appelle la haute géométrie ou la géométrie
tranftendante. Foye{ G e OMETRTE.
On donne fur-tout le nom de géométrie tranfcen-
dante à celle qui, dans l’examen des propriétés des
courbes , employé le calcul différentiel fe intégral.
FJye[ ces mots ; voye* aujfi la fuite de cet article.
Il ne s’agit point ic i, comme on peut bien le croire,
des lignes courbes que l’on peut tracer au hafard fe
irrégulièrement fur un papier. Ces lignes n’ayant
d’autre loi que la main qui les forme, ne peuvent
être l’objet de la Géométrie ; elles peuvent l’être
feulement de l’art d’écrire. Un géomètre moderne a
pourtant crû que l’on pouvoit toujours déterminer
la nature d’une courbe tracée fur le papier ; mais il
s’eft trompé en cela. Nous en donnerons plus bas la
preuve.
Nous ne parlerons d’abord ici.que des courbes tracées
fur un plan, fe qu’on appelle courbes à Jimple
courbure. On verra dans la fuite la raifon de cette dénomination.
Pour déterminer la nature d’une courbe,
on imagine une ligne droite tirée dans fon plan à
volonté. Par tous les points de cette ligne droite ,
on imagine des lignes tirées parallèlement fe terminées
à la courbe. La relation qu’il y a entre chacune
de ces lignes parallèles, & la ligne correfpondante
de l’extrémité de laquelle elle part, étant exprimée
par une équation, cette équation s’appelle l5équation
de la courbe. Foye^ EQUATION.
Dans une courbe, la ligne A D (PL de Géométr.fig. 3/.) qui divife en deux également les lignes parallèles
M M , eft ordinairement appellée diamètre. Si le diamètre
coupe ces lignes à angles droits, il eft appellé
axe ; fe le point A par oh l’axe paffe eft appellé le
fommetde la courbe. Voy. D IAM E T R E , A X E , & SOMM
ET .
Les lignes parallèles M M font appellées ordonnées
ou appliquées ; fe leurs moitiés P M, demi - ordonnées
ou ordonnées. Voyeç ORDONNÉE.
La portion du diamètre A P , comprife entre le
fommet ou un autre point fixe, fe l’ordonnée eft
■ appellée abfcijfe. Foye^ Abscisse. Le point de concours
des diamètres fe nomme centre. V. Centre ;
yoyei auffi les remarques que fait fur ce fujet M. l’abbé
de Gua dans la première feftion de fon ouvrage intitulé
, Ufages de l'analyfe de Defcartes. Il appelle plus
proprement centre d’une courbe un point de fon plan,
tel que fi on mene par ce point une ligne droite quelconque
terminée à la courbe par fes deux extrémités,
ce point divife la ligne droite en deux parties égales.
Au refte ,on donne aujourd’hui en général le nom
à 'a x e à toute ligne tracée dans le plan de la courbe
&c à laquelle fe rapporte l’équation ; on appelle l 'a x e
d e s x , ou fimplement a x e , la ligne fur laquelle fe
prennent les abfciffes; a x e d e s y , la ligne parallèle aux
ordonnées, & paffant par le point oh x eft = o . Ce
point eft nomme l’o r ig in e d e s c o o rd o n n é e s ou l'o r ig in e
d e l a co u rb e . F o y c { COORDONNÉES.
DefcarteS eft le premier qui ait penfé à exprimer
les li gnes co u r b e s par des équations. Cette idée fur
laquelle eft fondée l ’application de l’Algebre à la
Géométrie ( y o y t { Application & Decouverte)
eft très-heuieufe & très-féconde.
Il eft vifible que l’équation d’une co u rb e étant ré-
folue, donne une ou plufieurs valeurs de l’ordonnée
y pour une même abfciffe x , 6c que par eonféquent
une co u rb e tracée n’eft autre chofe que la folution
géométrique d’un problème indéterminé, c’eft-à-dire
qui a une infinité de folutions : c’eft ce que les anciens
appelloient l i e u g é om é tr iq u e . Car quoiqu’ils
n euffent pas l’idée d’exprimer les co u rb e s par des
équations, ils avoient vu pourtant que les co u r b e s
géométriques n’étoient autre chofe que le lieu, c’eft-
à-dire la fuite d’une infinité de points qui fatisfai-
foient à la même queftion ; par exemple, que le cercle
étoit le lieu de tous les points qui défignent les
fommets des angles droits qu’on peut former fur
une même bafe donnée, laquelle bafe eft le diamètre
du cercle ; & ainfi des autres.
Les co u rb e s fe divifent en algébriques, qu’on appelle
fouvent avec Defcartes co u rb e s g é om é tr iq u e s $
f e en tranfeendantes, que le même Defcartes nomme
m é ch a n iq u e s .
Les courbes algébriques ou géométriques font celles
oh la relation des abfciffes A P aux ordonnées P M
(f i g • 3 a.) eft ou peut être exprimée par une équation
algébrique. V o y e^ Equation & Algébrique.
Suppofons, par exemple, que dans un cercle on
ait A B — a, A P — x , P M = zy ; on aura P B =
a — x: par eonféquent, puifque P M * = . A P x P B,
on aura y y — a x — x x ; ou bien fi on fuppofe
P C— x , A Cxxa, P M = y , on aura M C 1 — P
P M 1 , c’eft-à-dire a 1 - * 1 = y
Il eft vifible par cet exemple, qu’une même courbe
peut être représentée par différentes équations. Ainfi
fans changer les axes dans l’équation précédente, fi
on prend l’origine des x au Sommet du cercle, au
lieu de les prendre au centre, on trouve, comme on
vient de le vo ir, y y = a x — x x pour l’équation.
Plufieurs auteurs, après Defcartes, n’admettent
que les co u r b e s géométriques dans la conftruôion des
problèmes, f e par eonféquent dans la Géométrie;
mais M. Newton, f e après lui, MM. Leibnitz f e
Wolf font d’un autre fentiment, f e prétendent avec
raifon que dans la conftruâion d’un problème, ce
n’eft point la fimplicité de l’équation d’une courbe qui
doit la faire préférer à un autre, mais la fimplicité
& la facilité de la conftru&ion de cette courbe . F o y e^
Construction, Problème, & Géométrique.
Co u r b e tranfeendante ou méchanique eft celle qui
ne peut être déterminée par une équation algébrique.
^byc^TRANSCENDANT.
Defcartes exclud ces co u rb e s de la Géométrie ;
mais Newton & Leibnitz font d’un avis contraire
pour la raifon que nous venons de dire. En effet une
lpirale, par exemple, quoique courbe méchanique,
eft plus aifée à décrire qu’une parabole cubique.
L’équation d’une co u rb e méchanique ne peut être
exprimée que par une équation différentielle entre
les d y & les d x . F o y e { Différentiel. Entre ces
deux genres de co u r b e s , on peut placer, i° les courbes
exponentielles dans l’équation defquelles une des
inconnues, ou toutes les deux entrent en expofant,
comme une courbe dont l’équation feroit y = a xy
ou y * xza y &c. Foye^ Exponentiel. z° les courbes
interfeendantes dans l’équation defquelles.les ex-
pofans font des radicaux, comme x — y V t . Ces
deux efpeces de courbes ne font proprement ni géométriques
ni méchaniques, parce que leur équation
eft finie fans être algébrique.
Une courbe algébrique eft infinie, Iorfqu’elle s’étend
à l’infini, comme la parabole & l’hyperbole ;
finie, quand elle fait des retours fur elle-même comme
l’efiipfe ; fe mixte, quand une de fes parties eft
infinie, & que d’autres" retournent fur elles-mêmes.
Pour fe former l’idée d’une courbe par le moyen
de fon équation, il faut imaginer que l’équation de
la courbe foit réfolue, c’eft-à-dire qu’on ait la valeur
d e y en x. Cela pofé, on prend toutes les valeurs positives
de x depuis o jufqu’à l’infini, & toutes les valeurs
négatives depuis o jufqu’à — L’infini. Les ordonnées
correfpondantes donneront tous les points de
la courbe, les ordonnées pofitives étant prifes toutes
du même fens, & le6 négatives du côté oppofé. Voilà
ce qu’on trouve dans tous les Algébriftes & géomètres
modernes. Mais aucun n’a donné la raifon de
cette réglé. Nous la donnerons dans la fuite de cet
article, après avoir parlé auparavant de la transformation
des axes d ’une courbe.
Il eft certain qu’après avoir rapporté l’équation
d’une courbe à deux axes quelconques d’abfciffes fe
d’ordonnées, on peut la rapporter à deux autres axes
quelconques tirés, comme on voudra, dans le plan
de la courbe. De ces deux axes, l’un peut être parallèle
ou coïncident à l’axe des x } fe l’autre parallèle
oucoïncident à l’axe des y ; ils peuvent auffi n’être
point parallèles ni l’un ni l’autre aux deux premiers
axes, mais faire avec eux des angles quelconques.
Suppofons, par exemple, que A P (x') fe P M (y')
foient (PI. d'Algeb. fig. /y") les abfciffes & les ordonnées
d’une courbe y fe qu’on veuille rapporter la
courbe aux nouvelles coordonnées quelconques A p
& p M ; on tirera A B fe B q parallèles à y & à * ,
& on nommera les coordonnées nouvelles A p ( f )
8cp M (u ). Cela pofé, il eft vifible que l’angle a p M
eft donné, comme on le fuppofe, ainfi que l’angle
p B q , & l’angle B q m ou fon égal A mM , fe que
a B fe A B font auffi donnés de grandeur fe de po-
fition. Donc fi on nomme a B , a , f e A B , b , on
aura B p — ^ f-a ,B q o u A m = ( { — a)m , m exprimant
le rapport connu de B q à B p ; P m —y n y
n étant de meme un coefficient donné, & par con-
féquent A P ou * = ( j - a)m + y n : de plus M m
x z p M —p m —p M — A B — p q — u — b — { q - f
a.qf q étant de même un coefficient donné, & M P
ou.y = ( u K~r î ^ + a 9 ) X k : donc on au ray= .
( u - b - t q + â q ) k f e x = ( f ( - a )m + n k ( u -
b — i q + a q ) ; donc fi on met à la place de * fe de
y leurs valeurs qu’on vient de trouver en i fe en u ,
on aura une nouvelle équation par rapport aux coordonnées
u. Voyez à Cart. T ransformation
DES AXES un plus grand détail.
II eft vifible qu’on peut placer non-feülement l’axe
des ç & l’axe des u| mais auffi l’axé des * & celui des
y , par-tout oh l’on voudra , fans que la courbe chan- ‘
ge pour cela de place, & que la pofition de la courbe
eft totalement indépendante de la pofition des axes :
de forte que les ordonnées u partant de l’axe des r ,
doivent aboutir aux mêmes points que les ordonnées
y , partant de Taxe dès *. Cela eft évident par
les opérations'même que l’on fait pour la transfor-'
mation des axes. D ’aifleurs on doit confidérer qu’u-
ne courbe n’eft autre chofe que le lieu d’une infinité
de points qui fervent àréfôudre.un problème indé-
termme, c eft-à-dire-un problème qui a une infinité
Tome I F m
de folutions. Or la fituation de ces points éft totalement
indépendante de la pofition des axes auxquels
on les rapporte, ces axes pouvant être placés partout
ou l ’on voudra. De ces principes, on peut tirer
les conféquentes fiiivantes fur la pofition des
ordonnées.
----------- v. uuuvc ueux valeurs poitives
pour y,- foit Pm la plus grande de ces v a-
leurs , je dis que la plus petite P M doit être prife
du même coté. Car foit tranfpofé l’axe A P en a p *
en forte que P p =. a , & foit ap = * , & p m - \ -
on aura l’equation rapportée aux axes * & { , en
mettant { — a pour y dans l’équation de la courbe ; &c
on aura chaque valeur de ç égale aux valeurs correfpondantes
dey, augmentées chacune de a ; donc au
point/», on aura deux valeurs pofitives de favoir
a,^~ + P m. Or fi on ne prertoit pas P M.
du meme côté que P m, mais de l’autre côté, l’or-
donnec p Af, au lieu d’être a + P M , feroit a —
P M ; la courbe changerait donc ou d’équation ou de
figure, en changeant d’axe ; & tandis qu’une de fes
parties relierait à la même place, l’autre fe promènerait,
pour ainfi dire, fyivant que l’on changerait 1 axe de place. Or ni l’un ni l’autre ne fe peut. Donc
il faut que P M fe P m foient pris du même côté ,
quand ils font tous deux pofitifs.
2°. Si on a deux valeurs, l’une pofitiveP M ;
l’autre négative P m {fig. gff.fi0. 2 .) , il faudra les
prendre de différens côtés. Car foit, par exemple ,
P M = y / x 9 fe P m — — y/ x : tranfpofant l’axe
A P en a p , enforte que p P = a , & mettant £— a
pour y , dans l’équationde la courbe, on aura ç = a -1-
y/x fe ç== a — y/x. Si on fuppofe y/* < a , ce qui fe
peut toûjours , puifque a eft arbitraire , on trouvera
l o u p M = a + P M & [ o u p m =: a — P M.
Donc P m doit être égale à P M , fe prife dans un
fens contraire. Tout cela eft aifé à voir avec un peu
d’attention.
Lorfque les ordonnées font pofitives, elles appartiennent
toutes également à la courbe, ce qui eft évident
, puifqu’il n’y a pas de raifon pour préférer l’une
à 1 autre. Mais lorfqu’elles font négatives , elles
n’appartiennent pas moins à la courbe; ca r, pour
s’en convaincre , il n’y a qu’à reculer l’axe de façon
que toutes les ordonnées deviennent pofitives. Dans
cette dermere pofition de 1 axe, toutes les ordonnées
appartiendront également à la courbe. Donc il en fera
de même dans la première pofition que l’axe avoit.
Donc fuppofant * pofitive, toutes .les valeurs de
y tant pofitives que négatives , appartiennent à la
courbe ; mais au lieu de prendre la ligne des * pour
l’axe, on peut prendre la ligne des y , fe alors on
aura des valeurs tant pofitives que"négatives de x ,
lefquelles par la même raifon appartiendront auffi à la courbe. Donc la courbe renferme toute,S les valeurs
des y répondantes à une même x , f e toutes les valeurs
de * répondantes à une même y ; ou ce qui revient
au même, elle renferme toutes les valeurs po-
fitives & négatives d e y répondantes, foit aux * pofitives',
foit aux * négatives. En effet, fi dans la valeur
d e y qui répond aux * pofitives, on change les
lignes des termes oh * fe trouve avec une dimen-
fion impaire, on aura la valeur d e y correfpondante
aux * négatives ; fe cette équation fera évidemment
la même qu’on aurait, en réfolvant l’équation en x
fe en y , après avoir changé d’abord dans cette équation
les lignes des termes oh * fe trouve avec une
dimenfiôn, impaire. Or je dis que . cette derniere
équation appartient également à la courbe ; car ordonnons
l’équation primitive par rapporta * , avant
B b b ij
d’avoir changé aucun ligne, & cherchons les va-