Pour infcrire un polygone régulier dans un cercle, .
divifez 360 par le nombre des côtés du polygone pro-
pofé, afin d’avoir la quantité de l’angle E F D , prenez
cet angle E F D au centre, & portez-en la corde
E D fur la circonférence autant de fois qu’elle pourra
y aller ; de cette maniéré on aura le polygone inferit
au cercle.
Quoique la réfolution de ce problème foit mécha-
nique, on ne doit pas la méprifer à caufe qu’elle eft
aifee & générale. Euclide à la vérité nous donne la
conftruétion du pentagone, du décagone, & du pen-
tadécagone ; & d’autres auteurs donnent celles de
l’cptagone, de l’ ennéagone, de l’endécagone ; mais
ces dernieres conftru&ions s’éloignent trop de la rigueur
géométrique ; & celles d’Euclide , qui font
fondées fur la defeription du pentagone , font moins
commodes qu’une defeription méchanique faite avec
un bon rapporteur. Foye{ R a p p o r t e u r .
Pour circonfcrire un cercle à un polygone régulier
, ou pour circonfcrire un polygone régulier à un
cercle, coupez deux des angles du polygone donné,
comme A & F , en deux également, par les lignes
droites A F &c E F , qui concoure.nt en F ; & du
point de concours avec le rayon F F , décrivez un
Pour circonfcrire un polygone à un cercle, divifez
360 par le nombre des côtés requis, afin d’avoir l’angle
C F ; formez cet angle au centre F , & tirez la
ligne e g qui fe divife en deux également, tirez enfuite
la tangente ega,$C fur cette ligne conftruifez un polygone
, ainfi qu’on l’enfeigne dans le problème fui-
vant. .
Sur une ligne donnée E D conftruire un polygone
régulier quelconque donné. Cherchez dans la table
l’angle de ce polygone, & conftruifez-en un angle qui
lui foit égal, en traçant E A —E D . Par les trois
points A , E ,D , décrivez un cercle (voyeç Cercle),
appliquez-y la ligne droite donnée autant de fois
qu’elle pourra y aller ; par ce moyen on aura décrit
la figure requife.
Pour infcrire ou circonfcrire trigonométriquement
un polygone régulier, trouvez le finus de l’a rc, qui
vient en divifant la demi-circonférence 180 par le
nombre des côtés du polygone; le double de ce finus
eft la corde de l’arc double, & par conféquent le
côté A E qui doit être inferit au cercle : donc fi le
rayon d’un cercle , dans lequel on doit infcrire un
pentagone , par exemple, eft donne en une certaine
mefure, comme 345, on trouvera le côté du pentagone
en même mefure par la réglé de trois, en faifant,
commede rayon 1000 eft à 1 1 7 6 , ainfi 3430 eft à
4057 , qui eft le côté du pentagone ; c’eft pourquoi
avec le rayon donné, décrivez un cercle, &c portez
fur la circonférence de ce cercle le .côté du polygone
autant de fois que vous le pourrez ; vous aurez de
cette maniéré un polygone inferit au cercle.
Afin d’éviter l’embarras de trouver par les tables
des finus le rapport d’un côté du polygone à fon rayon,
nous ajouterons une table qui exprime les côtés des
polygones en parties , dont le rayon en contient
100000000. Dans la pratique on retranche autant de
figures de la droite que l’on en juge de fuperflues par
les circonftances du cas propofé. -
Nombre
des côtés.
Quantité
du coté.
Nombre
des côtés.
Quantité
du côté.
III.
•"4
O |
"&> I
VIII. 76<Î3668.
IV. I4142135. IX. 6840402.
V. IX755705. X. 6180339.
VI. IOOOOOOO. XI. 56346;i-
VII. ; 8677674. XII. 5176380.
Pour décrire trigonométriquement un polygone régulier
fur une ligne droite donnée, &C pour circonfcrire
un cercle autour d’un polygone donné, £en prenant
dans la table le rapport du côté au rayon, déterminez
le rayon fur la même échelle que le côté
donné ; or ayant un côté &c le rayon , on peut décrire
un polygone par le dernier problème ; donc fi
avec l’intervalle du rayon & des extrémités de la
ligne donnée, on trace deux arcs qui fe coupent, le
point d’interfeûion fera le centre du cercle circonf-
crit.
Ligne des polygones ; c’ eft une ligne fur.le compas
de. proportion , qui contient les côtés des neuf premiers
polygones réguliers inferits au même cercle,
c’eft-à-dire depuis le triangle équilatéral jufqu’au dodécagone.
Voye^ C ompas de proportion.
Nombre polygone en Algèbre, c’ eft la fomme d’une
rangée de nombres en proportion arithmétique, qui
commencent depuis l’unité. On les appelle ainfi, à
caufe que les unités dont ils font compofés, peuvent
être difpofées de maniéré à former une figure de
plufieurs côtés & de plufieurs angles égaux. Foye-^
Ûarticle Figuré où cela eft expliqué.
On divife les nombres polygones eu égard au nombre
de leurs termes, en triangulaires , dont la différence
des termes eft 1 ; en quadrangulaires ou quar-
rés , dont la différence eft 2 ; en pentagone , oti la
différence eft 3 ; en hexagone, oîi elle eft 4 ; en heptagone
, oit elle eft 5 ; en oftogone, oit elle eft 6 , &c.
Les exemples fuivans peuvent faire concevoir la
génération de plufieurs efpeces.de nombres polygones
formés par plufieurs progreflîons arithmétiques.
Progreff. arithmét. 1 ,2 , 3 , 4 , 5., 6 , 7 , 8.
Nombres triangul. 1 , 3 , 6 , 1 0 , 1 5 ,2 1 ,2 8 , 36.
Progreff. arithmét. 1 , 3 , 5, 7 , 9 , 1 1 , 1 3 , 15*
Nombres quarrés , 1 ,4 , 9 ,1 6 ,2 5 ,3 6 ,4 9 , 64.
Progreff. arithmét. 1 ,4 , 7 , 1 0 , 1 3 , 1 6 , 1 9 , 22.
Nombres pentagon. 1 ,5 , 1 2 ,2 2 ,3 5 ,5 1 , 7 0 , 92.
Progreff. arithmét. 1 , 5 , 9 , 1 3 , 1 7 ,2 1 ,2 5 , 29.
Nombres exagon. 1 , .6 , 1 5 ,2 8 ,4 5 ,6 6 ,9 1 , x 20.
Le côté d’un nombre polygone eft le nombre de
termes de la progreffion arithmétique qui le com-
pofe ; & le nombre des angles eft ce qui fait connoî-
tre combien cette figure a d’angles, & c’eft de-là que
le nombre polygone a pris fon nom.
C ’eft pourquoi il y a trois angles dans les nombres
triangulaires, quatre dans les tetragones ou les quadrangulaires
, cinq dans les pentagonaux, &c. par
confequent le nombre des angles iurpaffe de deux la
différence commune des termes.
Pour trouver un nombre polygone,. le côté & le
nombre de fes angles étant donné, voici la réglé. Le
nombre polygone eft la demi-différence des produits
du quarré du côté par le nombre des angles, moins
deux unités; & du*même côté par le nombre des angles
, moins quatre unités. •
En effet un terme quelconque d’une des progreffions
arithmétiques ci-deffus, eft évidemment 1 -f-
( n — 1 ) {m — 2 ) en nommant n le nombre dès termes
, & m l’ expofant du nombre polygone ( voye{
Progression) ; de plus la fomme de tant de termes
qu’on voudroit de cette progreffion eft égale à
la fomme des deux termes extrêmes multipliés par lu
moitié du nombre des termes, c’eft-à-dire à - ; donc
la fomme cherchée , ou le nombre polygone eft — "
(2 + 72— 1 .m — 2 ) — 'Lli’?— 11 ce qui revient
à l’énoncé de la réglé.
Les fommes des nombres pplygones raffembléès de
la même maniéré que les nombres polygones eux-
mêmes , pris des progreffions arithmétiques, font
appellées, nombres pyramidaux. Voye1 PYRAMIDAL
6- Figuré. (O)
P o l y g o n e e x t é r ie u r , fe dit dans la fortification
du polygone , dans lequel la fortification eft enfermée
, & dont le fommet des angles de la circonférence
du polygone eft auffi celui des angles flanqués
des baftions, ou c ’eft celui qui eft formé par les c ô tés
intérieurs. F"oye[ Côté e x t é r ie u r .
P o l y g o n e in t é r ie u r , c’eft auffi dans la fortification
le polygone formé par les côtés intérieurs , ou
celui fur les côtés duquel font formées les courtines. HH POLYGONOIDE, f. f. ( Hifi. nat.Bot.) polygonoi-
des, genre de plante à fleur monopétale, en forme
de rofette, & profondément découpée. Le piftil fort
du milieu de cette fleur, & devient dans la fuite un
fruit ftrié, ailé, & le plus fouvent hériffé de poils.
Tournefort, corol. infi. rei herb. Foye{ Pl a n t e .
Il y a une plante exotique, ainfi nommée , & décrite
par Tournefort, qui l’a découverte dans la plaine
de i ’Araxe en Arménie.
C’eft un arbufte de trois où quatre piés de haut,
fort touffu & fort étendu fur les côtés ; fon tronc eft
tortu, dur, caffant, épais comme le bras, couvert
d’une écorce rouflatre, divifé en branches & rameaux
, d’où naiffent, au lieu de feuilles, des brins
cylindriques , compofés de plufieurs pièces articulées
bout-à-bout, fi femblables aux feuilles de Céphé-
dra, qu’il n’eft pas poflîble de les diftinguer fans voir
les fleurs. Des articulations de ces brins pouffent
quelques fleurs de trois lignes de diamètre. Ce font
des baffins découpés en cinq parties. Du fond de
chaque baflin fort un piftil entouré d’étamines blanches,
dont les fommets font purpurins. Le piftil devient
un finit long d’environ demi-pouce, épais de
quatre lignes, de figure conique, cannelé profondément
dans fa longueur. Quand on coupe le fruit entravers
, on découvre la partie moëlleufe , laquelle
eft blanche Sc angulaire ; les fleurs ont l’odeur de celles
du tilleul, ne fe fànnent que tard, & reftent à la
bafe du fruit, comme une efpece de rofette. {D .J . )
POLYGONUM, (B0tan.) fa racine eft fibreufe &
rampante ; fes tiges & fes rameaux font pleins de
noeuds ; le calice eft profondément découpé en cinq
fegmens, qui font verds dans leur partie inférieure,
& couleur de chair dans la fupérieure. Lorfque cette
plante eft mûre, la calice fe change en une capfule
remplie de femences. Ses fleurs fortent des aiffelles
des feuilles , & font cachées quand elles commencent
à paroître dans une membrane extrêmement
mince. Sa femence eft triangulaire.
Tournefort compte douze efpeces de polygonum,
dont la première, qu’il fuffira de décrire, eft le poly-
gçnum latifolium 1. R. H. 510 ; le vulgaire l’appeUe
en françois, renouée ou trainajfe , en anglois the bjoad
knot-graff.
Sa racine eft longue » affez groffe pour la grandeur
de la plante, Ample, dure, ligneufe, tortue, garnie
de plufieurs fibres ; elle eft difficile à arracher, ramp
an te^ d’un goût aftringent. Elle pouffe plufieurs tiges
longues d’un piéou d’un pié & demi,grêles,rondes,
iolides, tenaces, quelquefois droites, mais lé plus fou-
vent couchées à terre liffes , ayant, beaucoup de
noeuds affez près les uns des autres ; elles font revêtues
de feuilles oblongues , étroites, pointues, d’un
verd de mer, attachées à des queues fort courtes,
& rangées alternativement. Ses fleurs fortent de l’aif-
felle des feuilles, petites, compofées chacune d’un
feul pétale, divifées en cinq parties, & dé huit étamines
blanches ou purpurines,àrfommet jaunâtre,
fans calice. Après que la fleur eft paffée, il luifuccéde
une femence affez groffe ,, triangulaire , de couleur
de châtaigne, renfermée dans une capfule.
Cette plante croit indifféremment prefque partout
aux lieux incultes ou cultivés, principalement le long
des chemins ; c’eft une des plus communes de la campagne
; elle fleurit en é té , & demeure verte prefque
toute l’année, excepté durant l’hiver. Elle paffe pour
rafraîchiffante ,- defficative , aftringente &, vulnéraire.
Linnæus obferve apres R ai, que lepolygonum varie
par fes feuilles qui font plus ou moins alongées ,
plus ou moins étroites, & que ces variétés qui viennent
du terrain, ne doivent pas établir des efpeces
différentes. (D . J.)
POLYGRAPHE, f. f. {Gram.) art d’écrire de differentes
maniérés fecrettes, dont on ne vient à bout
que par l’art de deffiner.
POLYGRAMME, f. m. (Géom.) mot employé par
les anciens géomètres, & qui n’eft plus enufage*
une figure géométrique compofée de plufieurs côtés!
Harris. (F )
POLYGRAMMOS, {Hiß. nat.) nom par lequel
quelques auteurs ont défigné un jafpe rouge , mou-
chete & rayé de blanc , qui fe trouve auffi nommé
garamantias owgrammatias.
POLYHEDRE, f. m. en terme de Gcomètrie} eft un
corps compris fous plufieurs faces ou plans rectili-
gnes. yyye^ C o r p s 6- So l id e . C e mot eft formé du
grec tjW plufieurs, & tty* ,ßege ou face.
Si les faces du polyhédre font des polygones réguliers
, tous femblables & égaux, le polyhédre eft un
corps régulier, qui peut être inferit dans une fphe-
r e , c eft-à-dire, que 1 on peut lui circonfcrire une
fphere, dont la furface touche tous les angles folides
de ce corps. Foye^ C o r p s r é g u l ie r s , &c. Il n’y a
que cinq corps réguliers au polyhédre ; favoir, le té-
trahédre , l’exahédre ou le cube , l’o&ahédre le
dodecahedre, & 1 icofahedre. F oye? ces mots.
Un. polyhédre gnomonique^Çt une pierre à plufieurs,
fa ce s , fur lefquelles on a fait la projection- de différentes
efpeces de cadrans. Foye{ C a d r a n .
Tel étoit celui de cet endroit de Londres que les
Anglois appellentprivy garden, qui a été détruit, &
qui étoit autrefois le plus beau qu’il y eût en Europe.
P o l y h é d r e ou P o l y s c o p e , ou verre à facettes
en terme' d'Optique, eft un verre dont la furface eft
compofée de plufieurs furfaces plates , faifant en-
tri elles différens angles.
Phénomènes de polyhédre. Si plufieurs rayons tels
-dB * C D , {Pl. Opt. fig. y/.) tombent parallèlement
fur une des furfaces d’un polyhédre, ils
continueront d’être parallèles après la réfraCtion. Foy.
R a y o n 6* R é f r a c t io n .
Si 1 on fiippofe donc que le polyhédre eft régulier,
les lignes LH , HL, IM , feront comme des tangentes
à une des lentilles convexes fphériques enF ,B &cD
par conféquent, les rayons qui tombent fur le point
de contaft, coupent l’axe ; c’eft pourquoi, puifque
tous les. autres rayons leur font paralleles, ils s’entre*
• coupent ; les rayons rompus par les différentes faces,
s’entre-couperont mutuellement en G.
D ou il fuit que fi l’oeil eft placé à l’endroit où les
rayons paralleles fe croifent, les rayons du même
.objet feront réunis en autant de differens points de
la rétine a , b ,.c , que le verre a de faces. -
Par conféquent l’oeil,, à travers un polyhédre, voit
.les objets répétés autant dé fois qu’il a' de faces; &
.ainfi, puifque,les rayons qui viennent des objets éloignés
font paralleles ; on vo it, à travers un polyhédre,
un objet éloigné auffi fouvent répété, que le polyhédre
a de faces.
2. Si les rayons A B , A C , A D , {fig. 72.) qui
-viennent d’un point rayonnant A , tombent fur diffé-
.rentes faces d’un polyhédre régulier, après la réfraction
ils fe croiferont en G.
D ’où il fuit, que, fi l’oeil eft placé à l’endroit où les
rayons, qui viennent de différens plans, fe croi-
. fent, les rayons feront réunis en autant de différens
points de la rétine a, b, c, que le verre a de faces; par
j conféquent l’oeil étant placé au foyer G verra mêmes