D ’où il fuit que plus les pendules qui ofci'llent dans
des arcs de cercle font longs, plus les ofcillations
font iibehrones ; ce qui s’accorde avec l’expérience ;
car dans deux grands pendules d’égale longueur, mais
qui ofcillent dans des arcs inégaux , pourvu néanmoins
que l’un de ces arcs ne foit pas trop grand, à
peine appercevra-t-on quelqu’inégalité ou différence
dans le nombre de cent ofcillations.
D ’où il fuit encore que l’on a une méthode de déterminer
l’efpace que parcourt en un tems donné un
corps pefant qui tombe perpendiculairement. Car
ayant le rapport du tems d’une ofcillation au tems
de la chute par la moitié de la longueur du pendule,
on a le tems de la chiite par la moitié de la longueur
du pendule ; d’oii l’on peut déduire l’ efpace qui fera
parcouru dans tout autre tems donné quelconque.
C ’eft au célébré M. Huyghens que nous fommes redevables
de toute la théorie des pendules, qui ofcillent
entre deux demi-cycloïdes , tant par rapport à
la théorie qu’à la pratique : il la publia d’abord dans
fon horologium ofcillatorium , jiye demonjlrationes de
jjiotu pendulorum, & c.
Depuis ce tems on a démontré en beaucoup de
maniérés différentes tout ce qui regarde le mouvement
des pendules, & le célébré M. Newton nous a
donné dans fes principes une belle théorie fur ce fu-
je t , dans laquelle il a étendu aux épicycloides les
propriétés que M. Huyghens avoit démontrées de la
cycloïde.
3®. L’aétion de la pefanteur eft moindre dans les
parties de la terre, où les ofcillations du même pendule
font plus lentes, ‘8c elle eft plus grande où elles
font plus promptes.
Car le tems d’une ofcillation dans la cycloïde eft
au tems de la defeente perpendiculaire par le diamètre
du cercle générateur, comme la circonférence
du cercle eft au diamètre. Par eonféquent, fi les
ofcillations du même pendule font plus lentes, la defeente
perpendiculaire des corps pefans eft aufli plus
lente, c’eft-à-dire, que le mouvement eft moins accéléré
, ou que la force de la pefanteur eft moindre,
& réciproquement.
Âinfi, comme l’on trouve par expérience que les
ofcillations du même pendule font plus lentes près
de l’équateur que dans les endroits moins éloignés du
p ô le , la force de là pefanteur eft moindre vers l’équateur
que vers les pôles ; 8c de-là on a conclu
que l a ,figure de la terre n’eft pas précifément une
fphere, mais un fphéroïde. Voyei Figure de la
TERRE.
Ainfi M. Richer trouva, par une expérience faite
en llle de Cayenne, vers le quatrième degré de latitude
, qu’un pendule qui bat les fécondés à Paris ,
devoit être racourci d’une ligne 8c un quart, pour
réduire fes vibrations au tems d’une fécondé.
M. Deshayes , dans un voyage qu’il fit en Amérique
, confirma l’obfervation de M. Richer ; mais il
ajoute que la diminution établie par cet auteur paroît
trop petite.
M. Couplet le jeune , à fon retour d’un voyage en
Bréfil 8c en Portugal, fe réunit à M. Deshayes, quant
àlanéceflïté de raccourcir le pendule vers l’équateur,
plus que n’avoit fait M. Richer. Il obferva que même
à Lisbonne, le pendule à fécondés doit être deux
lignes 7 plus court qu’à Paris ; ce qui eft une plus
grande diminution que celle de Cayenne , telle que
M. Richer l’a déterminée, quoique Cayenne ait 24
degrés moins de latitude que Lisbonne. Mais les ob-
fervations de M. Couplet n’ont point paru affez exactes
à M. Newton pour qu’on put s’y fier : crajjiori-
bus , dit-il, hujus obferyationibus minus fidendum eft.
Prop. xx. liv. I I I . de fes principes.
D ’autres auteurs ont prétendu que la diminution
du pendule ne fe faifoit point regulierement: Meflieurs
Picard 8c de la Hire ont trouvé la longueur du pendule
à fécondés exactement la même a Bayonne, à
Paris, 8c à Vranibourg en Danemarck ; quoique la
première ville foit à 43 degrés é de latitude , 8c la
derniere à 53°, 3 V
C ’eft pourquoi M, de la Hire préfuma que la diminution
n’eft qu’apparente , que la verge de fer avec
laquelle M. Richer mefura fon pendule , peut s’être
alôngée par les grandes chaleurs de l’île de Cayenne;
8c qu’ainfi , en approchant de la ligne , le pendule ne
devroit pas proprement être raccourci, abftraétion
faite de la chaleur. Mais en premier lieu, on pourroit
répondre,que fuivant la table donnée parM. Newton
de la longueur du pendule aux différentes latitudes, la
différence des longueurs du pendule à 43 degrés 8c
demi & a 3 5 degrés, eft affez petite pour avoir été
difficile à appercevoir ; car cette différence n’eft que
d’environ de lignes ; à plus forte raifon la différence
à Bayonne 8c à Paris fera-t-elle encore plus
infenfible. A l’égard de l’obfervation- de M. de la Hire
fur l’accroiffement des verges du pendule par le froid,
& leur dilatation par la chaleur, M. Newton répond
que dans l’expérience que M. de la Hire. rapporte ,
la chaleur de la verge étoit plus grande que celle du
corps humain, parce que les métaux s’échauffent
beaucoup au foleil, au lieu que la verge d’un pendule'
n’eft jamais expoféê à la chaleur directe du foleil, &
ne reçoit jamais un degré de chaleur égal à celui du
corps humain*; d’où il conclut qu’une verge de pendule
longue d’environ 3 piés, peut ê tre, à la vérité,
un peu plus longue en été qu’en hyver, & à l’équateur
que dans nos climats , fi on a egard à la chaleur,
mais que fon alongement ne doit pas être affez grand
pour produire toute la différence que l’on obferve
dans la longueur à\\ pendule. M. Newton ajoute qu’on
ne peut point attribuer non plus cette différence aux
erreurs des Aftronomes françois ; car quoique leurs
obfervations ne s’accordent pas parfaitement entr’el-
les, cependant la différence en eft fi petite, qu’elle
peut être négligée. En comparant entr’ elles ces différentes
obfervations , M. Newton croit qu’on peut
prendre deux lignes pour la quantité dont le pendule
à fécondés doit être augmenté fous l’équateur.
M. de Maupertuis, a la fin de fon traité de la parallaxe
de la luxe, nous a donné un précis des principales
opérations qui ont été faites pour la mefure du
pendule dans les différens endroits de la terre par les
plus habiles obfervateurs, 8c il y joint les obferya-
tions qui ont été faites par lui-même 8c par meilleurs
Clairaut, Camus, le Monnier, &c. à Pello pour y
déterminer la longueur du pendule. Il déduit enfuite
de ces obfervations les rapports de la pefanteur en
différens lieux , dont il a formé une table ; il trouva
par exemple qu’un poids de 100000 livres à Paris pe-
î'eroit à Pello 100137, & à Londres 10001.8. Poye{
Figure de la terre. Voye^ aufli les ouvrages de
meflieurs Bouguer, la Condamine, Bofcowich, &c. fut
cet. important fujet.
4°. Si deux pendules font leurs vibrations dans de;
arcs femblables, les tems de leurs ofcillations font
en raifon fous-doublée de leurs longueurs.
D ’où il fuit que les longueurs des pendules, qui
font leurs vibrations dans des arcs femblables, fonj
en raifôîf doublée des tems que durent les ofcillations.
50. Les nombres des ofcillations ifochrones faites,
dans le même tems par deux pendules , font réciproquement
comme les tems employés aux différentes
vibrations.
Ainfi les longueurs des pendules, qui font leurs vibrations
dans des petits arcs femblables, font en raifon
doublée réciproque des nombres d’ofcillations
faites dans le même tems.
6°. Les longueurs des penàiles , fiifpcridus entre
'deux
deuxcycloïdes, font en raifon doublée des tems, pendant
lefquels fe font les différentes ofcillations.
D ’où il fuit qu’elles font en raifon doublée réciproque
des nombres d’ofcillatiorp faites dans le même
tems ; 8c que les tems des ofcillations , faites en
différentes cycloïdes, font en raifon fous-doublée
des longueurs des pendules.
7°. Pour trouver la longueur d’un pendule, qui faffe
un certain nombre de vibrations en un tems donné
quelconque.-
Supp'ofons que l’on demande 50 vibrations dans
le tems d’une minute, 8c que l’on demandé la longueur
de la verge, en comptant du point de fufpen-
fion jufqu’au centre d’ofcillation ou de là boule qui
eft au bout : c’eft une réglé confiante que les longueurs
des pendules font Fune à l’autre réciproquement
comme les quarrés de leurs vibrations. Maintenant
fuppofons qu’un pendule à fécondés, c’eft-à-dire
, qui fait 60 vibrations dans une minute, eft de
39 pouces & |||; dites donc, le quarrë’de '50, qui
eft de 2500, eft au quarré de 66 , qui eft de 3600 ,
comme 3 9 ~Q eft à la longueur du pendule cherché,
que l’on trouvera de 56 policés 7^-.
Remarque pratique. Puifque le produit des termes
moyens "de la proportion fera toujours 14112pp,
c’eu-à-dire, 3600 x 39 77, il n’y a feulement qu’à
divifer ce nombre par le quarré du nombre des vibrations
afligne ; 8c le quotient donnera la longueur
d’un pendule, qui fera précifement autant de vibrations
dans une minute.
8° . La longueur d’un pendule étant connue, trouver
le nombre dé vibrations qu’il fera dans un tems
donné. '
Cette queftion eft l’inverfe de la première : dites
la longueur donnée 56 eft- à la longueur du pendule
à fécondés, qui fert de modèle, c’eft-à-dire ic i,
eft à 39 7 7 , comme le quarré des vibrations de ce
dernier pendule dans un tems donné ; par exemple ,
une minute eft au quarré des vibrations cherchées ;
c’eft-à-dire, 56 77. 39' ~ : : 3600. 2500 , & la racine
quarrée de 2506 ou 50 fera le nombre des vibrations
que l’on demande. ^
Mais dans la pratique , il faut agir ici comnïe dans
le premier problème; vous n’aurez feulement qu’à di-
viïer 1411200 par la longueur, vous aurez le quarré
du nombre des vibrations ; de même que l’on divife
ce nombre par le quarré des vibrations pour trouver
la longueur.
Sur ces principes M. Derham a eonftruit une table
des vibrations des pendules des différentes longueurs
dans l’efpace d’une minute.
pLenodnuglue eeunr p douu - pLenodnugluee eunr p douu - VJnermi°nu,een
1. 375- 7* 30. . 68. à..
3- 216. 9.
4-
187. 8.
39. 2. 68.p.,.
5- 168. 0. 40. 59- 5-
6 . M3- 3- 5°-.. 53. 1.
7 - 142. O. 60. ■ 48.5:
8. 132. 8. 7 °- 44- 9*1
9- 125. 2. 80. 42. 0.
10. 118. 8. 90. 39. «.
20. 84. 0. 100. 37- 5-
Remarquez que ces lois du mouvement des pendules
ne s’obferveront pas à la rigueur, à moins que
le fil quifoutient la boule n’ait aucun poids, & que
la pefanteur de tout le poids ne foit réuni en un ieul
point.
Tome XII;
C ’eft pourquoi il faut fe fervir dans la pratique d’un
fil tres-fin 8c d’une petite boule, mais d’une matière
fort pefante ; fans cela le pendule, de fimple qu’on le
fuppofe, deviendroit compofé, & ceferbitprefque
la même çhofe que fi différens poids étoient appliqués
à différens endroits de la même verge inflexible.
L’ufage des pendules, pour mefurer le tems dans les
obfervations aftronomiques, 8c dans les occafions où
l’o« a befoin d’un grand degré de précïfion, eft trop
évident pour qu’il foit befoin d’en parler ici.
1 On peut regler la longueur du pendule avant fon
application, & la faire pour battre un tems demandé,
par exemple- les,fécondés, les demi-fecondes,
&c. par l'art. 4. ou bien, on peut la prendre à volonté,
& déterminer enfuite les tems des vibrations
fuivant Y art. 8.
Quant, à l’ufage des pendules pour la mefure des
diftances inacceffibles, fort éloignées par le moyen
du, fon , voye^ Son , Chambers, Wolf, &c. (O)
Méthode générale pour trouver le mouvement d’un
pendule. !Sçit a le rayon du cercle que décrit le pendule
, ou la longueur du pendule ; b', l’abfciffe totale
qui répond à l’arc du centre, en prenant cette ab-
feiffe depuis le point le plus bas ; x , rabfciffe d\ine
portion quelconque de cet arc ; p , la pefanteur ; u
là vîteffe en un point quelconque, On aura u u = z p
(b—x ) . Voye%_ les articles Force a ccé lér a tr ice
& Plan incliné) ; & le tems employé à parcourir
un arc quelconque infiniment petit, fera
^ ^ r 7 ï é f , x :ÿ î 7 V x r ; - ° r’ lorfclue
l’arc descendu n’a pas beaucoup d’amplitude, x eft
petit par rapport a a; 6c on peut, au lieu de
écrire
-pz, x Binôme , A p-
PROXim a t ion , & E x p o s a n t ) ; de maniéré
que l’élement dù tems fera à-peu -prè s
Jpr?^) - s,c^uantité
qui étant intégrée par les réglés connues , donnera
à-peu-près le tems d’une 'demi-vibration du
pendule. Ôn peut même , lorfque l’arc defeendu eft
fort petit , négliger entièrement le terme
---- —+ * * — .; 8c alorS le tems de la defeente du
pendule fera fenfiblement le même que celui de la
defeente dans une cycloïde qui auroit le rayon of*
ciilateur à fon fommet égal au rayon du pendule.
Ori voit aufli que le tems de la defeente par un
arc de cercle , eft en général un peu plus grand que
celui de la defeente par un tel arc de cycloïde : de
plus il eft aifé de comparer le tems d’une vibration
avec le tems de la defeente verticale d’un corps le
long d’un efpace quelconque h. Car la vîteffe, à la
fin de cet efpace, eft V 2 p h , 8c l’élément du tems
eft d.h ■■I dont l’intégrale eft —— . Or le tems de | V xp h ’ b t
la demi-vibration eft égal à l’mtegrale de
- . . . ~ a tL . — ; OU de - ~ X -= =r7~
c’eft-à-dire ( en nommant c la circonférence du
rayon a') a — X Donc les deux teins font
entre eux comme à V ih . D’où il eft aifé de
tirer tous les théorèmes fiir les pendules.
Dans ces théorèmes on fait abftraftion de la réfi-
ftance de l’air ; cependant il eft bon d’y avoir égard,
8c plufieurs géomètres s’y font appliqués. Voye{ les
Mém. de Pétersbourg, tom. I I I . & V. Voye[ au/fimon
Eftai fur la réftftance des fluides , art. xcv. xevj. &
fuiv. (O)
Pendule, Réc iprocat ion du. On appelle ainfi
p p