VIII. L’efpace A D ,fig. 6 o , parcouru fur un plan
incliné A C étant donné, déterminer l’efpace qüi fe-
roit parcouru dans le même tems, fur un autre plan
incliné. Du point D élevez une perpendiculaire D B
qui rencontre la verticale A B au point B , la longueur
A B fera l’efpace que le corps parcourt pendant
ce tems en tombant perpendiculairement : c’eft
pourquoi fi du point B l’on abaiffe une perpendiculaire
B E fur le plan A F , A E fera la partie de ce
plan incliné que le corps parcourra dans le même
tems qu’il tomberoit perpendiculairement du point
A âu point B , & par conféqiient dans lé même tems
qu’il parcouroit la partie A D dans l’autre plan incliné
A C.
Aînfi puifque A B eft à A D comme le finus total
eft au fmus de l’angle d’inclinaifon C , &c que A B eft
à A E comme le finus total eft au fmus de l’angle d’in-
elinaifon F , les efpaces A D , A E , que le corps parcourt
dans le même tems fur différen s plans inclinés,
feront comme les fmus des angles d’inclinaifon C , F,
ou comme les pefanteurs relpeélives fur les mêmes
plans ; &c par cônféqüent aufli réciproquement,
comme les longueurs des plans d’egale hauteur
A C , A F: d’où l’on voit que le problème peut être
réfolu de différentes maniérés par le calcul.
IX. Les vîteffes acquifes dans le même tems fur
différens plans inclinés font, comme les efpaces parcourus
dans le même tems. Il s’enfuit de-la qu’elles
font aufli comme les finus des angles d’inclinaifon C,
F , ou comme les pefanteurs refpeélives fur les mêmes
plans, & réciproquement comme les longueurs
des plans A C, A F , d’égale hauteur.
X . Quand un corps qui defcend fur un plan incliné
A C arrive à la ligne horifontale C B , il a acquis
la même vîteffe qu’il auroit acquife en descendant
verticalement jufqu’à la même ligne horifontale CB.
Cela fe peut prouver aifément par le principe
ç d e = udu àe ^article F o r c e s ACCÉLÉRATRICES ;
car on voit que ««e ft proportionnelle à tp e , & comme
les forces accélératrices <p fur AC&cûir A B font
entr’elles en raifon inverfe des longueurs parcourues
A C&c A B, c’eft-à-dire en raifon inverfe de e , il s’enfuit
qu’aux points C&c B on a 9 c égal de part & d’autre.
Donc , &c.
Il fuit de-là i ° qu’un corps pefant qui defcend par
différens plans inclinés A C ,A G ,A F , a acquis la
même vîteffe quand il arrive à la même ligne horifontale
CF.
XI. Le tems de la defcente le long d’un plan incliné
A C eft au tems de la defcente perpendiculaire par
A B , comme la longueur du plan A C eft à fa hauteur
A B ; 6c les tems de la defcente par différens
plans inclinés d’égale hauteur A C ,A G , font comme
les longueurs des plans : car dans le mouvement uniformément
accéléré lorfqite les vîteffes finales font
égales, les tems font entr’eux comme les efpaces
parcourus. C ’eft une fuite dés principes pofés au mot
A c c é l é r a t io n .
XII. Si le diamètre d’un cercle A B , fig. Ci, eft
perpendiculaire à la ligne horifontale L M , un corps
defcendra d’un point quelconque de la circonférence
D E le long des plans inclinés D E , E B , C B , & c . .
dans le même tems qu’il defcendroit par le diamètre
A B ; cela fe déduit aifément des propofitions précédentes.
Toutes ces propofitions fur lés plans inclinés peuvent
fe démontrer aifément par la méthode fuiVante ;
foit p la pefanteur, h le finus d’inclinaifon du plan,
I étant le finus total,/»h feraja partie de la pefanteur
qui agit pour mouvoir le corps le long du plan ;
& fi on nomme x la longueur d’une partie quelconque
du plan, à commencer du point d’où le .corps eft
parti, & u la viteffe du corps ; on aura par le principe
des forces accélératrices (yoyei Forces ACC£-
LÉRÀTRICES), p h d x -=.udü , & ü u = . ip h x , de
plus le tems dt fera = — = x/-f donc / == - - i f .
On remarquera de plus, que fi un corps tomboit de la
hauteur x perpendiculairement, on auroit fa viteffe
= V i p x , & lé tems = v °dà affez pour
démontrer aifément toutes les propofitions précédentes
fur les plans inclinés.
Lois de l'afcenfion des corps fur des plans inclinés.
I. Si un corps monte dans un milieu qui ne réfifte
point, fuivant une direction quelconque perpendiculairement
, ou le long d’un plan incliné, fon mouvement
fera uniformément retardé.
D ’où il fuit i° qu’un corps qui monte perpendiculairement
ou obliquement dans un milieu de cette
nature, parcourt un efpace foufdouble de celui qu’il
parcouroit dans le même tems fur un plan horizontal
avec une vîteffe uniforme, égale à celle qu’il a au
commencement de l'on mouvement.
z°. Les efpaces parcourus en tems égaux par un
corps qui remonte ainfi, décroiffent dans un ordre
renverfé, comme les nombres impairs 7 , 5, 3 ,1 ; &
quand la force imprimée eft épuilée, le corps redef-
cend par la force de la pefanteur.
30. C ’eft pourquoi ces efpaces font dans un ordre
renverfé , comme les efpaces parcourus en tems
égaux, par un corps qui defcend le long de la même
hauteur. Car fuppofons le tems divifé en quatre parties
; dans le premier moment, le corps A defcend
par l’efpace 1 , &cB monte par 7 ; dans le fécond, A
defcend par 3 , B monte par 5 , &c.
40. D’où il fuit qu’un corps qui s’élève avec une
certaine vîteffe -, monte à une hauteur égale à celle
d’où il faut qu’il tombe pour acquérir à fa chute la
vîteffe initiale, avec laquelle il a monté.
50. Donc réciproquement un corps qüi tombe
acquiert par fa chute une force propre à le faire
remonter â la hauteur d’où il eft tombe. Voye^ Pendule.
II. Etant donné le tems qu’un corps emploie à
monter à une hauteur donnée, déterminer l’efpace
parcouru à chaque inftant ; fuppofez que le corps def-
cende de cette même hauteur dans le même tems,
& trouvez l’elpace parcouru à chaque inftant. Voye{
Mouvement & D escente. En prenant ces efpaces
dans un ordre renverfé, ils feront les mêmes que
ceux que l’on cherche.
Suppofez, par exemple, qu’un corps jette perpendiculairement
monte à une hauteur de 240 piés pendant
le tems de quatre fécondés, & que l’on demande
les efpaces qui font parcourus dans les différens tems
de cette afeenfion ; fi le corps étoit defeendu , l’efpace
parcouru dans la première minute auroit été
15 piés, dans la fécondé 4 5 , dans la troifiëme 7 5 ,
dans la quatrième 105 , &c. par conféqiient l’efpàce
parcouru en remontant dans la première minute fera
105 , dans la fécondé 7 5 , &c.
III. Si un corps defcend perpendiculairement par
A D ,fig. Cz , ou dans toute autre furface F E D , &c
qu’avec la vîteffe qu’il y a acquife, il remonte le long
d’une autre furface CD à des points d’égale hauteur;
par exemple, en G il aura la même vîteffe. Cette
propofition eft encore une fuite des précédentes fur
les plans inclinés.
Lorfqu’un corps fe meut fur un plan & qu’il rencontre
un autre plan, il eft facile de voir par le principe
de la décompofition des forces, que fa vîteffe le
long du nouveau plan eft à fa vîteffe le long du premier
plan, comme le cofinus de l’angle des plans eft
au lieu total : donc la vîteffe'perdue eft comme le finus
verfe de l’angle des plans ; or fi cet angle- eft infiniment
petit, le finus verfe eft infiniment petit da
fécond ordre. Ainfi lorfqu’un corps fe meut fur une
courbe, la perte de vîteffe qu’il fait à chaque inftant
eft infiniment petite du fécond ordre, & par confé-
quent infiniment petite du premier ordre ou nulle
dans un tems fini.
Le plan de gravité ou de gravitation eft un plan
que l’on fuppofe paffer par le centre de gravité d’iin
corps & dans la direction de fa tendance , c’eft-à-
dire perpendiculaire à l’horifon. Voye^ Gr a v it é &
C entre.
Plan de réflexion, en Captoptrique, c’eft un plan
qui paffë par le point de réflexion, & qui eft perpendiculaire
au plan du miroir ou à la furface du corps
réfléchiffant. Voye^ Réf lexion.
Plan de réfraélion eft un plan qui paffe par le
.rayon incident & le rayon réfraété ou rompu. ‘V?ye%_
R éfract io n.
Plan du tableau , en Perfpeclive, c’eft une furface
plane qu’on imagine comme tranfparente, ordinairement
perpendiculaire à l’horifon , & placée entre
l’oeil du fpeélateur & l’objet qu’il v o i t , on fuppofe
que les rayons optiques qui viennent des différens
points de l’objet jufqu’à l’oeil paffent. à travers cette
furface , & qu’ils laiffent dans leur paffage des marques
qui les repréfentent fur le plan. Voye{ Perspect
iv e .
Tel eft le plan H I , PI. perfpecl. figi t , que l’on
appelle plan du tableau ; parce que l’on fuppofe que
la figure de l ’objet eft tracée fur ce plan.
Plan, géométral, en Perfpeclive , eft un plan parallèle
à l’horifon , fur lequel on fuppofe placé l’objet
que l’on fé propofe de mettre en perfpeûive. T el eft
le plan L M , PL perfp. fig. 1 ; ce plan coupe ordinairement
à angles droits le plan du tableau.
Plan horifontal , eh Perfpeclive, eft un plan qui
paffe par l’oeil du fpeélateur parallèlement à l’horifon
, coupant à angles droits le plan du tableau quand
celui-ci eft perpendiculaire au plan géométral.
P lan vertical, en Perfpeclive, c ’eft un plan qui paffe
par l’oeil du fpeélateur perpendiculairement"au plan
géométral, & ordinairement parallèle au plan du tableau.
Voye{ V ert ical.
Plan de projeélion , dans la projeélion ftéréogra-
phique de la fphere, eft le plan fur lequel on fuppofe
que les points de la fphere font projettés, & que la
fphere eft repréfentee. Voye{ Projection , &c.
Plan d’un cadran , c’eft la furface fur laquelle un
cadran eft tracé. Voye^ Cadran.
Déclinaifon d*un plan. Voye£ Varticle DÉCLINAISON.
Chambers. ( O )
Plan , pris fubftantivement,fignifie aufli, en Géométrie
, la reprefentation que l’on fait fur le papier de
la figure & de différentes parties d’un champ, d’une
maifon , ou de quelqu’autre chofe femblable. Voye%_
Varticle fuivant.
Pl a n , lever UN, che^ les Arpenteurs, c’eft l’art
de décrire fur le papier les différens angles & les différentes
lignes d’unterrein, dont on a pris les mefu-
res avec un graphometre , ou un infiniment femblable
, & avec une chaîne. Voye[ Arpentage.
Quand oh leve un terrein avec la planchette, on
n’a point befoin d’en faire le plan, il eft tout fait; cet
infiniment donnant fur le champ les différens angles
& les différences en même tems qu’on les prend fur
le terrein. Voyeç Planchet te.
Mais en travaillant avec le graphometre , ou le
demi-cercle, on prend les angles en degrés , & les
diftances en chaînes & en chaînons. Voye1 G raphom
e t r e , D emi - cercle , Planchette r o n d e ,
É querre d’A rpenteur , &c. Enforte qu’il relie à
faire une autre opération pour réduire ces nombres
en lignes, & lever le plan ou la carte. Voye[ C arte.
Cela s’exécute par le moyen de deux inftrumens ,
le rapporteur & l’eehelle. Par le moyen du rapporteur,
les différens angles que l’on a ôbfervés fur le
terrein avec le graphometre ou infiniment femblable
, & dont on a écrit les degrés fur un regiftre,
font tracés fur le papier dans leur jufte grandeur.
Voyi{ Rappo rteur.
L’échelle fert à donner les véritables proportions
aux différentes diftances mefurées avec la chaîne,
quand il s’agit de les tracer fur une carte. Voye^
Echelle.
Sous ces deux articles on trouve féparément l’ufa-
ge de ces inftrumens refpèélifs, pour prendre des angles
& des diftances ; nous les donnerons ici conjointement,
en expofant la maniéré de faire le plan d’un
terrein ou d’un champ, que Fon a levé avec la planchette
ronde, ou avec le graphometre , l’un & l’autre
garnis d'une bouffole.
Méthode de faire un plan quand on a fait ufage fur le
terrein de la planchette ronde. Suppofons que'l’on ait
levé le terrein ABCDEFGHK. ( PI. d'Arpent, fig.
2ii), que l’on ait pris les différens angles avec la planchette
ronde , en tournant tout-autour, que l’on en
ait mefuré les différentes longueurs avec une chaîne,
& que l’on ait écrit fur un regiftre de la grandeur des
angles des diftances , tel que la table fuivante le re-
prefente.
A , degrés, i
, I 9 I o o 1 0 7 5
B , 2 9 7 0 0 6 8 5
C , 2 l 6 3 0 . 7 8 2
D , 3 M ô .o 6 9 6
E , 1 2 2 4 9 7 r
F , 3 2 4 3 0 7 5 4
G 9 8 3 0 7 5 4
H , , m 0 0 7 7 8
K 1 6 1 3 0 8 2 2
i° . Sur un papier ou fur une carte, dont les dimen«'
fions foient convenables, tel que LMNO Çfig. 3 /.) ,
tirez un nombre de lignes parallèles à égale diftance,
qui repréfentent des méridiens exprimes par les lignes
ponéluées.
L’ufage de ces lignes eft de diriger la pofition du
rapporteur, dont le diamettre doit toujours être placé
fur l’une de ces lignes, ou parallèlement à l’une
d’elles.
Après avoir ainfi préparé la carte ou le papier,'
prenez un point fur quelque méridien, comme A ;
placez-y le centre du rapporteur, & couchez fon diamètre
le long de ce méridien. Voyeç après cela fur le
mémoire ou le devis de votre terrein quelle eft la
grandeur du premier angle ; c’eft-à-dire quel eft le
nombre de degrés coupés par l’aiguille aimantée de
l’inftrument au point A , que la table vous donne de
191 degrés.
Préfentement, puifque 191 degrés font plus grands
qu’un demi-cercle ou que 180 degrés, il faut mettre
en bas le demi-cercle du rapport, & l’arrêtant avec
un ftile au point où eft placé fon centre, faites une
marque vis-à-vis iq i du point A , tirez par cette
marque la ligne indefinie Ab.
Le premier angle ainfi tracé, confultez encore votre
mémoire, pour favoir quelle eft la longueur de
la première ligne A B , vous y trouverez 10 chaînes
95 chaînons ; c’eft pourquoi d’une échelle convenable,
conftruite fur l’échelle d’arpenteur, prenez l’étendue
de 10 chaînes, 75 chaînons ; avec un compas
ordinaire, & mettant une de fes pointes au point A ,
marquez l’endroit où l’autre pointe tombe fur la ligne
A b , fuppofons que ce foit en B ; tirez par con-
lequent la ligne pleine A B , pour le premier cote de
votre terrein.
Procédez erifuite au fécond angle , & mettant le
centre du rapport au point B , avec le diamètre dif-
pofé comme ci-deffus, faites une marque, telle-que'