lafîre n’a que trois diamètres de fa partie baffe, &: eft
recouvert d’un chapiteau dorique.
PILAU, f. m. terme de relation ; forte de préparation
de r iz , fort en ufage chez les Turcs.
Ce peuple fobre, uniforme dans toutes les a fiions
de fa v ie , fe contente de peu, & ne détruit point la
f'anté par trop de bonne chere. Le riz eft le^ fondement
de toute la cuifine des T lires ; ils 1 apprêtent de
trois différentes maniérés. Ce qu’ils appellentpilau,
éft tin riz f e c , moelleux, qui fe fond dans la bouche,
& qui eft plus agréable que les poules & les queues
de mouton avec quoi il a bouilli. On le laiffe cuire a
petit feu avec peu de bouillon fans le remuer ni le
découvrir, car en le remuant & en l’expofant à l’air,
il fe mettroit en bouillie.
La fécondé maniéré d’apprêter le riz s’appelle lap-
pa ; il eft cuit & nourri dans le bouillon , à la meme
confiftance que parmi nous, & on le mange avec une
cuillier , au lieu que les Turcs font fauter dans leur
bouche avec le pouce le pilau par petits pelotons,
& que le creux de la main leur tient lieu d’affiette.
La troifieme eft le tchorba ; c’eft une efpece de crème
de riz , qu’ils avalent comme un bouillon : il fem-
ble que ce toit la préparation du riz dont les anciens
nourrifloient les malades ; fume hoc ptifanarium ori{a,
dit Horace. (D. J.)
P IL C O M A Y O , l e , ou RIO PILCOMAYO,
( Géog. mod.) grande riviere ce l’Amérique méridionale.
Elle prend fa fource dans la province de los
Charcas, & fe jette dans le Paraguay, vers les x6d.
de latitude méridionale.
PILE, f. f. (Géom.&Phyf.) amas de corps placés
les uns fur les autres.
Pi le , fe dit dans l 'Artillerie, d’un amas de plufieurs
chofes miles les unes fur les autres. Ainfi, une pile
de boulets, de bombes, &c. font des boulets ou des
bombes arrangées les unes fur les autres.
Les piles de boulets ont ordinairement pour bafe
un triangle équilatéral, un quarré, & un rettangle
ou quarré long. Il y a des méthodes ou des tables
particulières pour trouver le nombre des boulets que
contiennent chacune de ces piles ; on peut voir fur ce
fujet lès mémoires d artillerie de S. Remy ; le cours de
mathématique de M. Belidor ; la deuxieme édition de
notre traité d'artillerie, &c. (Q)
Problème fur les corps fphériques rangés en piles. Trouver
le nombre des corps fphériques ranges en piles.
Rifolution. Ce problème fe diftingue en deux dif-
férens cas : car ou la pile eft quadrangulaire, lorfque
fa bafe ou fon premier étage a quatre côtés ; ou triangulaire
, lorfqu’elle n’en a que trois. Pour la
ayant fuppofé le plus petit nombre de fpheres, ou le
plus petit côté de la bafe = a , le plus grand — b ;
l’expreffion ou la formule générale de toutes les fpheres
contenues dans la pile fera —------.
Dlmonflration.
Si l’on fait attention à la maniéré dont cette pile eft
arrangée, on s’appercevra qu’elle eft compofee d’un
certain nombre d’étages quadrangulaires mis les uns
fur les autres ; chaque étage des rangs , chaque rang
dans le même étage pris du même fens d’un égal
nombre de fpheres : que les rangs d’un étage fupérieur
ont une fphere de moins que ceux de l’étage immédiatement
plus bas ; ce qui eft vifible par l’infpefHon
des figures A , B , C , D , E , qui repréfentent ces
étages. Si on les conçoit mis les uns fur les autres ,
& que chaque fphere fupérieure pofant fur cjuatre
autres inférieures., chaque rang d’un étage fuperieur
fe trouve entre les deux rangs de l’etage inferieur.
Ainfi le premier étage
= a b = .a b
le f é c o n d — a — i X b — i == a b — i X a + b + i
l e troifieme = à — 2 X b — ï = a b — l X a + b + 4
le q u a t rièm e = — y x b— 3 = <z£ — 3 X a + b + 9
l e c in q u ièm e — a — ^ X b — 4 — a b — \ X a + b + 16
L e nom b re d’ é ta ge s e ft to û jo u r s é g a l au p lu s p e t it
n om b r e — a ; c a r fi dans c e t e x em p le a = 5 , o n au ra
a — 5 = o : ainfi le s é ta g e s fin iffen t dans le c in q u ièm e
a, — 4 X b — 4. P u ifq u e d o n c ch a q u e é ta g e co n t ien t
l e r e f t a n g le (a b') , il y au ra au tan t d e c e s r e fta flg le s
q u e d’ é ta g e s . P a r co n fé q u e ilt p o u r a v o i r la fom m e
d e to u s c e s r e ô a n g l e s , il fau t m u lt ip lie r ( a b ) p a r le
p lu s p e t i t n om b r e ( a ) : a in fi dans to u s le s ca s p o f f i-
b le s o n a u ra la fom m e des p rem ie r s te rm e s d e tous
le s é ta g e s = a ï b.
Les coëfficiens des féconds termes — 1 X a + b ,
- I X a + b , — 3 X a + b 9 — A t X a + b > &c. font
une progreffion arithmétique dès nombres naturels
1 2, 3, 4, &c. Le plus petit terme de cette progrel-
fion eft = 1 , le plus grand = a — 1 , puifque dans le
premier étage il n’y en a point : ainfi la fomme de
cette progreffion ou des coëfficiens des féconds termes
eft changeant les fignes, puifque ces'
coëfficiens font négatifs, vient pour la fomme des
coëfficiens — ; laquelle multipliée par ( a + b ) ,
donne la fomme des feconds
termes = — -—— X a + b =2 — ----- --------— •
Les derniers termes 1 , 4 , 9 , *6 , ^ c' f°nt ^eS
quarrés de la progreffion des nombres naturels 1,2,
3 , 4 , &c. dont le premier terme = 1 , le dernier
= a — 1 ; puifque dans le premier étage il n’y en a
point : ainfi la fomme de ces quarrés (félon ce qu’on
enfeigne dans l’analyfe) , eft auffi la
fomme des derniers termes = ——"-7— — •
On a donc trouvé dans tous les cas poffibles la
fomme des premiers termes = a1 b.
féconds , — -------------• .
troifiemes , = ------ -6------ .
Lefquelles fommes ajoutées & réduites au même dénominateur
, donnent pour la formule générale de la
fomme de toutes les fpheres contenues dans la pile
quadrangulaire — —— ~~6+ Ce qu’il falloit
démontrer. v
Corollaire. Si a == b , la formule devient
: alors la pile fe préfente fous la figure
O
d’une pyramide quadrangulaire ÉÉ
dont la bafe eft un quarré de même que tous fes autres
étages, dont le dernier ou le plus haut 11’a qu’une
fphere : ce qui fait que j’ai renfermé dans un feul cas
la réfolution de ces deux piles, quoiqu’elles paroif-
fent fi differentes ; puifque la première eft comme
une efpece de prifme, & que la derniere n’eft qu’une
pyramide.
Pour trouver le nombre des corps fphériques contenus
dans une
pile triangulaire
Ayant fuppofé le côté de la bafe == a , la formule de
toutes les fpheres contenues dans cette pile fera
Démonf ration. Cette pile eft compofée d’un certain
nombre d’étages équilatéraux mis les uns fur les autres
; chaque étage des rangs des fpheres font une
progreffion arithmétique des nombres naturels : ainfi
chaque étage eft la fomme de cette progreffion, dont le
plus petit terme = 1 ; le plus grand eft le nombre des
fpheres contenues dans le plus grand rang ou côté de
cet étage. Le plus grand rang d’un étage fupérieur a
une fphere de moins que le plus grand rang de l’étage
immédiatement.plus bas. Tout cela s’apperçoit facilement
par l’infpeâion des figures A , B , C , D , E ,
qui repréfentent ces étages, fi on les conçoit mis les
uns fur les autres.
O
o ô a ô o B o a a o c o o o
E0 a — 1 , a— 2 ,
a -4 .
Cela pofé, puifque le plus grand rang du plus bas
étage , ou le plus grand terme de la progreffion
arithmétique contenue dans cet étage eft = a , le plus
petit = 1 ; on a la fomme de cette progreffion, ou la
valeur du plus bas étage = ——— • Le plus grand rang
du fécond étage étant = a — 1 , du troifieme — a— 2,
dû quatrième = a — y , &c. en fubftituant fucceffive-
ment pour chaque étage à la place de ( a ) ces quantités
dans la valeur du plus bas étage, on aura ces
étages ainfi qu’on les voit rangés ic i, fçavoir le
premier = ——
fécond
troifieme = -— .
quatrième = a— \ a~ —.
cinquième = —— - lx.
Ce nombre d’étages eft toûjours — a ; car le plus
grand rang du plus bas étage étant = a , du fécond
= <z — 1 , du troifieme — a— 2 , du quatrième — a— 3,
&c. Si dans cet exemple a = 5 , on aura <z — ç = o.
Ainfi la pile finit dans l’étage où il y a a — 4 , qui eft
le cinquième étage oîi il n’y a qu’une fphere. Puifque
donc chaque étage contient le quarré ( a 1 ) , il y aura
autant de ces quarrés que d’étages. Par confequent
pour avoir la fomme de tous ces quarrés, il faut
multiplier ( a 1 ) par le nombre d’étages (a) : ainfi
dans tous les cas poffibles on aura la fomme des premiers
termes = — .
Tous les coëfficiens des numérateurs des féconds
termes négatifs -- 7 — L? _ L f _ Z_? ? £ c. faifant une
progreffion des nombres impairs 1 , 3 , 5 , 7 , &c.
dont le nombre des termes = a — 1 , puifque clans le
premier étage il n’y a point de coëfficient négatif ;
cette fomme eft — a — 1 — a — 2 a 4 -1 : ou changeant
les.fignes, à caufe que ces coëfficiens font né-
Tome XII,
gatifs, multipliant par (a) , & divifant par (2 ) , la
fomme de tous les féconds termes négatifs eft
— '*■ 7— - X a : à laquelle ajoutant auffi le terme
pofitif a~, vient — — X a + ~ On a donc la
fomme des féconds termes = rJL + l a ..
Les derniers termes - , - , —, &c. ou 1 , 3, 6, &ct
font une progreffion des nombres triangulaires, dont
le nombre de termes = a — 2 : car dans les deux premiers
étages il n’y en a point. Ainfi la fomme des
troifiemes. ou derniers termes !
On a donc trouvé que dans tous les cas poffibles
la fomme des premiers termes = — .
troifiemes = — ~} ~ - 1
lefquelles ajoutées & réduites au même dénominateur,
donnent pour la formule de la fomme de toutes
les fpheres contenues dans la pile triangulaire
~— + z.a» Ce qu’il falloit démontrer.
Ufage. Dans les places de guerre on a befoin de
favoir le nombre des boulets de canon rangés en
piles; ce qu’on obtiendra avec une très-grande facilité
au moyen des formules que je donne : puifque
pour la pile quadrangulaire oblongue il ne faut favoir
que les deux côtés contigus quelconques de la bafe ;
Dans les pyramides quarrées & triangulaires, qu’un
feul, & fubftituer leurs valeurs dans les formules ref-
pectives. Cet article nous a été adreffé par M. Kurd-
wanfwski, de l'académie royale des Sciences de Pruffe ,
& correfpondant de celle de Paris, qui nous afsûre l'avoir
donné il y a trïs-long-tems à la fociété des Arts , & qui
fe plaint de ce que M. l'abbé Deidier , dans un livre imprimé
en 174.5 , a fait ufage de ce problèmefans en citer
l'auteur.
P i l e , ( Archit. Hydraul. ) c’ eft un maffif de forte,
maçonnerie, dont le plan eft prefque toujours un
exagone alongé, qui fepare & porte les arches d’un
pont de pierre, ou les travées d’un pont de bois. On
conftruît ce maffif avec beaucoup de précaution.
D ’abord fon fondement eft relevé en talus •, par recoupement
, retraites & degrés, jufqu’au niveau de
la terre du fond de l’eau.
En fécond lieu, la première affife eft toute de pierres
de taille , compofee de carreaux & de boutiffes,
ceux-ci ayant deux piés de lit, & les boutiffes au
moins trois pies de queue ; ces pierres font coulées,
fichées, jointoyées , mélées de chaux &: de ciment.
On cramponne celles qu’on appellepierres de pare-
ment, les unes avec les autres , avec des crampons
de fer fcellés en plomb; outre cela,, on met à chaque
pierre de parement un crampon pour la lier avec des
libages, dont on entoure la première affife. Ces liba-
ges, de même hauteur que les pierres de parement,
lontpofés à bain de mortier, de chaux & de ciment,
& on en remplit bien les joints d’éclats de pierre dure.
On bâtit de même les autres affifes de pierres. On
peut confulter là-deffus l’Architecture hydraulique de
M. Belidor, tome IF . I. IF . c. ij.
La' conftruftion d’une pile , quoiqu’importante ,
n’eft pas cependant la choie la plus elïentielle : c’eft
fa proportion qui eft difficile à déterminer. Selon M.
Bergier, les anciens donnoient aux piles des ponts la
troifieme partie de la grandeur des arches, & même
la moitié c Hijloire des grands chemins de l'empire romain
, liv. IF . c. xxxv. Aujourd’hui onpenfe que les
piles doivent avoir moins , comme un quart, & un
cinquième. Mais fur quoi cette réglé eft-eüe fondée ?
On n’.en fait, rien ; & M. Gaûthiér, qui a réfléchi là-
deffus , croit que l’expérience feule peut fixer les di-
I I i i ij