duifons la qiieiHonr-La formule eft = 0 dans le cas
de l’égalité de certaines racines ; loit cette formule
appellee P. Suppofons maintenant les racines inégalés,
en forte que i f foit leur différence ( c eit-a-dire
que + f doive être ajouté à l’une, 8c — f à 1 autre),
en ce cas la formule deviendra +
q o &cc R , S , ( 2, défignant des quantités conf
ié s : o r , "pour que la méthode de M. Fontaine ait
lieu dans tous les cas , il faut, i° . que Æ ne loit jamais
— o, ou du moins que fi R = o , S le loit aufli,
en un mot que t fe trouve toujours à une puiliance
impaire dans le premier des coefficiens; autrement f
étant fuppofé très-petit, les deux formules feroient
l’une & l’autre > ou < o , t étant pofitif ou négatif:
i° . qu’en fuppofant t pofitif, R t - f S 1 t + f , o^c.
foit toujours du même figne, f ayant telle valeur
qu’on voudra : 30. qu’en fuppofant f négatif, K t +
S t t + Q F , &c. foit toujours de figne contraire au
précédent, / ayant telle valeur qu’on voudra. Ces
trois propofitions démontrées, il ne, reliera plus de
doute fur la généralité & la certitude de la mcthode
propofée par M. Fontaine. A
Il feroit encore à fouhaiter que l’auteur donnât
une démonftration de la méthode qu’il propofe, pour
approcher, aufli près qu’on veut, des racines des
équations ; il femble fuppofer encore dans 1 expole
de cette méthode, que quand une certaine valeur de
ç rend = 0 une quantité ou fonâion de tp, deux autres
valeurs de <p, l’une plus grande, 1 autre plus petite
donneront l’une moins ou plus que zéro, 1 autre
plus ou moins que zéro. Cela n’eft pas vrai en
général mais cela pourroit l’être dans le cas particulier
de M. Fontaine ; & c’efl ce qu’il feroit bon de
prouver, Foye^ Varticle RACINE.
Il nous relie à faire quelques réflexions fur les
équations appliquées à la Géométrie. Ndhs avons indiqué
au mot Découverte, par quel ƒ abonnement
Delcartes eft parvenu à appliquer les équations indéterminées
aux courbes.; les mots Courbe, D ifférentiel
, T angente', & c. Sc autres femblables,
font voir en détail les applications & les conlequen-
ces de ce principe. On a vu aufli au mot Construction
, comment on conftruit les équations par_la
Géométrie. Il ne nous refte ici qu’un mot à dire fur
la multiplicité des racines des équations en Géométrie.
Les obfervations que nous avons a faire mtçe
fujet, font une fuite de celles que nous avons déjà-
faites fur les racines multiples des équations algebri-
^ Suppofons, par exemple, qu’on propofe de divi-
fer une ligne a en moyenne 8c extrême raifon, nommant
* la partie cherchée de cette ligne, on aura j
x : : x : a — x ; d’où l’on tire x x -j- a x = a a, & x — j
_ 1 ^ 1/ f a a • )a racine négative de cette equa-
S S a Z S OE f°-
îüriota de ce problème;, trouver danilcprolongemmt
dé la ligne donnée a une ligne x , telle que a : x . .
'x : a + x ; dans ce cas la racine négative devient
pofitive', Sc la pofitive négative ; & l’équation e ft* *
Si on propofe de tirer.du point A une ligne £
( b . M d’Algct.) dans un cercle, telle que .80 étant
perùéndiculaire au diamètre A D , S i donnée de pognon,
on a i t = une ligne dphneen, on aura
en nommant B F , x , une équation du quatrième degré
qui n’aura ni fécond , ni quatrième terme; cette
équation mm deux racines pofitives B F Si B J , tel- I
les que F E d’une part, & /e de l’autre, feront égal
é s a • Sc deux autres racines égales aux deux précédentes
& de fignes contraires, parce quen ache- I
vànt le 'c e r c le p ro lo n g e a n t O B en-deffous, le
problème aura deux fôlutions pareilles ; fi f etpit plus
grand que B D , les racines-ferojent imaginâmes. |
Si on nommoit^i7, x , B O , b , A Ç , r , A B , c,
on auroit bb — x x - { - c c = a x o u z rc = z x x + à x j
la racine pofitive eft A F , & la négative A f , parce
que cette racine négative, fi on la traitoit comme
pofitive, donneroitaAr = 5/ 2i~5 Oz — x x — b b
c. c = x x — i r c , 8c non pas a x = B O1 — B F a.
Voilà un cas oii deux racines de différens fignes n’indiquent
pas des polirions diamétralement oppofées
dans les lignes A F , A f , qui repréfentent ces racines
, mais feulement le changement de figne du fécond
terme a x dans l’équation du problème.
Dans ce dernier cas , c’eft-à-dire en prenant A F
pour l’inconnue, l’équation n’eft que du fécond degré
, au lieu qu’en prenant B F pour inconnue, elle
monte au quatrième ; d’où l’on voit comment par lé
bon choix des inconnues on peut fimplifier un problème
en plufieurs occafions.Mais, dira-t-on, pourquoi
le problème a-t-il quatre folutions dans un cas,
& deux feulement dans un autre ? Je réponds que
dans le dernier cas il a aufli quatre folutions comme
dans le premier; ou pour parler plus exactement,
que B F a quatre valeurs dans les deux cas ; car B F—
+ V A F % — A B Z , ce qui donne deux valeurs égales
de différent figne pour chaque valeur de A F .
Voyez encore d'autres obfervations lur un problème de
ce genre à l’article Situ a tio n .
Autre queftion. On propofe d’inferire dans un rectangle
donné A B D E (fig. //. alg.n. z . ) un rectangle
a b d e , dont les côtés foient également éloignés
des côtés du grand, Sc qui foit à ce grand rectangle
comme m e f t l s ' foitA B — a ,A D — b9
A C — x , on aura (a — z x ) X (b— z x ) : a b : : m:
« , & on trouvera par la réfolution de cette équation,
qu’en fuppofant m < n , x a deux valeurs réelles
& pofitives ; cependant le problème n’a évidemment
qu’une folution, mais- il renferme une condition
que l’Algèbre ne peut pas énoncer, favoir que
le reélangle a b d e foit au-dedans de l’autre: fi on
a voit a b : ( i x — a) ( i * — b) : : n : m, on trouve-
roit la même équation, 6c cependant ce ne feroit plus
le même problème. Le parallélogramme reftangle
qui fatisferoit à cette queftion, feroit alors celui
qu’on voit ,fig. / /. n.$. dans lequel A C eft égal à la
plus grande valeur pofitive de x , & A C==Ca; le
côté ad eft éloigné de A D comme le côté c a de
A B , & ainfi du refte ; mais le reftangle a b c d n’eft:
pas au-dedans de l’autre; condition que 1 Algèbre
ne peut exprimer. Voye%_ Situ a tio n .
Sur les équations différentielles, exponentielles, &cr.
voy. D ifférentiel, Exposant, Exponentiel,
Intégral, Co n stru ctio n , & c.
On appelle quelquefois équation , en Géométrie &
en Mèchanique, ce qui n’eft qu’une fimple proportionnalité
indiquée d’une maniéré abrégée ; par exemple,
quand on dit qu’un reôangle eft égal au produit
de fa bafe par fa hauteur, cela lignifie explicitement:
fi on a deux re&angles, & qu’on prenne une
quantité quelconque linéaire a pour la mefure commune
de leur bafe & de leur hauteur ; que B foit l(F
nombre de fois (entier ou rompu, rationnel ou irrationnel)
que la bafe de l’un contient d; que H foit
le nombre de fois que la hauteur du même contient a;
que b foit le nombre de fois que la bafe de l’autre
contient a ; que h foit le nombre de fois que la hauteur
du même contient a , les aires de ces deux rectangles
feront entr’elles comme le produit des nombres
B ,H , eft au produit des nombres b, h. De
même, quand on dit que l<t vitefîe d un corps qui fe
meut uniformément, eft égale a 1 efpace divifé par
le tems, cela veut dire explicitement : fi deux corps
fe meuvent uniformément, & parcourent, l’un l’el-
pace E pendant le tems T , l’autrè l’efpace e pendant
le tems t ; qu’on prenne une ligne a pour commune
mefure des efpaces E , e, & un tems 0 pour communes
mefures des tems T , t , les vîtefles feront comme
le nombre - divifé par le nombre eft au nombre
-d ivifé par le nombre E. Voye^ Mesure, Vitesse,
&c. (O)
Equation de l’Horloge, eft la même chofe
que l’équation du tems. Voyez l'article fuivant.
Equation du T ems , en AJlronomie, eft la différence
entre le tems vrai ou apparent, & le tems
moyen ; c’eft-à-dire la réduûion du tems inégal apparent
, ou du mouvement inégal, foit du Soleil,
foit d’une planete, à un tems ou à un mouvement
moyen , égal & uniforme. Voye{ Tems & Mouvement.
Le tems ne fe mefure que par le mouvement ; Sc
comme le tems en Iui-meme coule toujours uniformément
, on fe fert, pour le mefurer, d’un mouvement
qu’on fuppofe égal Sc uniforme, ou qui con-
ferve toûjours la même vîtefle.
Le mouvement dyi Solêii eft celui dont on fe fert
communément pour cela, parce que ce mouvement
eft celui qu’on obferve le plus facilement : cependant
il manque de la principale qualité néceflaire
pour mefurer le tem s ,,c’eft-à-dire de l’uniformité..
En effet les Aftronomes ont remarqué que le mouvement
apparent du Soleil n’eft pas toûjours égal Sc
uniforme ; mais que ce mouvement tantôt s’accélère
, tantôt fe rallentit : il ne peut donc fervir à
mefurer le tems , qui eft uniforme par fa nature.
Foyei Soleil.
Ainfi le tems mefuré par le mouvement du Soleil,
Sc qu’on appelle le tems vrai ou apparent, eft différent
du tems moyen Sc uniforme , fuivant lequel on
mefure 8c on calcule tous les mouvemens des corps
céleftes.
Voici comment on explique cette inégalité. Le
jour naturel ou folaire n’eft pas proprement mefuré
par une révolution entière de l’équateur, ou par
vingt-quatre heures équinoxiales , mais par le tems
qui s’écoule, tandis que le plan d’un méridien qui a
pafle fous le Soleil, vient à y repaffer une fécondé
fois par la rotation de la Terre ; 8c ce tems eft la distance
qu’il y a entre le midi d’un jour Sc le midi du
jour fuivant, Voye^ Jour & Méridien.
Or fi la Terre n’avoit point d’autre mouvement
que celui de fa rotation autour de fon axe , tous les
jours feroient exaélement égaux les uns aux autres,
Sc auroient tous pour mefure le tems de la révolution
de l’équateur : mais cela n’eft pas tout-à-fait
ainfi ; car tandis que la Terre tourne autour de fon
axe, elle avance en même tems dans fon orbite :
de forte que quand un méridien qui a pafle fous le
centre du Soleil a fait une révolution entière, ce
méridien ne revient pas fous le Soleil précifément,
comme il paroît par la figure.
Soit S le Soleil (PI. AJlr.fig. 66) 8c foit A B une
portion de l’écliptique ; luppofons que la ligne M D
^repréfente un méridien quelconque, dont le plan
prolongé pafle par le centre du Soleil lorfque la Terre
eft en A ; imaginons enfuite que la Terre avance
dans fon orbite, 8c qu’en faifant une révolution autour
de fon axe elle arrive en B , le méridien M D
fe trouvera dans une pofition m d parallèle à la première
: par conféquent le méridien, dans ce nouvel
état, ne paflera pas par le centre du Soleil, 8c les
peuples qui l’habitent n’auront point encore midi,
il faut pour cela que le méridien d m fafle encore
un mouvement angulaire, 8c décrive l’angle d B f ,
afin que fon plan puifle paffer par le Soleil. Foyer
T erre.
De-là il s’enfuit que les jours folaires font plus
longs que le tems d’une révolution de la Terre autour
de fon axe.
Cependant fi les plans de tous les méridiens
étoient perpendiculaires au plan de l’orbite terreftre,.
8c que la terre parcourût fon orbite avec un mou- •
vement uniforme, l’angle d B F feroit égal à l’angle B S A , Sc les arcs d f à c A B feroient femblables
par conféquent l’intervalle d’un midi à l’autre feroit
toûjours le même, puifque l’arc AB 8c l’angle dBF
feroient toûjours de la même quantité de degrés. •
Tous les jours folaires feroient donc égaux, 8c le.
tems moyen feroit le même que le tems vrai.
Mais les chofes font bien autrement, car la Terre
n’a point un mouvement uniforme dans fon orbite ;
elle décrit, lorfqu’elle eft aphélie, un plus petit arc,
8c lorfqu’elle eft périhélie, un plus grand arc dans le
même tems. Vyyeç plus bas Equation du Centre. '
D ’ailleurs les plans des méridiens ne font point perpendiculaires
à l’écliptique, mais à l’équateur ; 8C
cette feule raifon, indépendamment de l’inégalité du
mouvement de laTerre,doit rendre les jours inégaux,
car l’écliptique fait avec l’équateur un angle d’environ
Z3 degrés j : 8c fi.on divifé l’écliptique en
plufieurs petits arcs égaux qui repréfentent le chemin
( fuppofé uniforme ) du Soleil pendant chaque
jour , Sc que par les pôles du monde Sc par chacun
des points de divifion on fafle paffer des méridiens
céleftes , les arcs de l’équateur, compris entre ces
méridiens, ne feront point égaux entr’eux comme
les arcs de l’écliptique ; par conféquent la diftance
entre le moment oti le Soleil pafle par un méridien
Sc le moment du jour fuivant où il retourne à ce même
méridien, ne fera pas la même pour tous les
jours. Nous fubftituons ici au mouvement réel de
la Terre, le mouvement apparent du Soleil, qui produit
le même effet, 8c rend la chofe un peu plus facile
à entendre.
Ainfi en fuppofant même que le Soleil eût un
mouvement uniforme dans l’écliptique, le tems qur
coule uniformément ne pourroit être repréfenté par
la diftance entre le midi d’un, jour Sc le midi d’un
autre : les Aftronomes ont donc été obligés d’inventer
, pour la commodité dè leurs calculs, des jours
fiftifs, tous égaux entr’eux, 8c moyens entre le plus
long 8c le plus court des jours inégaux.
Pour déterminer ces jours , on a pris d’abord le
nombre, d’heures de la révolution totale du Soleil
dans l’écliptique, Sc on a divifé le tems .total en
autant de parties qu’il y a d’heures, dont vingt-quatre
compofent un jour.
De plus, comme nous ne connoiffons point dans
la nature de corps dont le mouvement foit uniforme
, 8c que cependant un tel mouvement eft la feule
vraie mefure du tems , on imagine un corps fiftif,
par ex. une étoile qui fe meut uniformément dans
l’équateur d’occident en orient, 8c qui, fans accélérer
ni retarder jamais fon mouvement, parcourt
l’équateur, précifément dans le même tems que le
Soleil fait fa révolution dans l ’écliptique : le mouvement
de cette étoile repréfente le tems égal ou
moyen , 8c fon mouvement diurne dans l’équateur
eft de 59' 8% c’eft-à-dire le même que le mouvement
moyen du Soleil dans l’écliptique : par conféquent
le jour égal 8c moyen fe détermine par l’arrivée
de cette étoile au méridien, Sc il eft égal au
tems que les 360 degrés de la circonférence de l’équateur
mettent à faire une révolution entière, 8c a
59' 8" de plus. Comme cette addition de 59' 8" eft
toûjours la même, les jours moyens font conftam-
ment égaux entr’eux.
Puis donc que le Soleil va vers l’orient inégalement,
par rapport à l’équateur, il arrivera au méridien
quelquefois plûtôt que cet aftre imaginaire, 8c
quelquefois plus tard : de-là vient la différence qu’il
y a entre le tems vrai 8c le tems moyen. On con-
noît cette différence quand on fait le lieu de l’aftre