Il eft très-aile de conftruire cette table : car Ÿéquateur
étant fuppofé divifé en 360 degrés, comme il
fait fa révolution en 24 heures 8c uniformément., il
s’enfuit qu’il fait 15 degrés par heure ; par conséquent
en une minute la 60e partie de 15 degrés,
c’eft - à - dire 15 minutes de degré, en une fécondé
15 fécondés de degré, 8c ainfi de fuite ; 8c il ne faut
plus que des additions fort limples , pour favoir le
nombre de degrés, de minutes, 8c de fécondés qu’il
parcourt dans un tems donné.
Dans cette table, les minutes, fécondés, &c. de
degré, font en romain ; & les minutes, fécondés, 8cç.
d’heure, font en italique. Ainli on voit par les trois
premières colonnes, qu’à une minute de degre de
Xéquateur répondent o minutes 4 fécondés d’heure ;
de même par la 4e & la 5 e colonne, ou par les trois
dernieres, on voit que 5 minutes d’heure donnent
75 fécondés de degré, ou une minute 15 lecondes.
L’ufage de cette table eft facile. Suppofez , par
exemple , que l’on propofe de convertir en tems
ic) degrés 13 minutes 7 fécondés de \é équateur ; auprès
de 15 degrés, dans la première colonne, on
trouve une heure o minutes 00 fécondés ; auprès de
4 degrés, on trouve 16 minutes 00 fécondés ; auprès
de 10 minutes, 40 fécondés,• auprès de 3 minutes ,
1 1 fécondés 000 tierces ; auprès de 5 fécondés, 00
minutes 10 tierces ; & auprès de 2 fécondés, 8 tier-^
ces : ce qui ajouté enfemble donne une heure 16 minutes
< 2 fécondés 28 tierces.
De plus, fuppofé que l’on propofe de trouver quels
degrés, minutes, Grc. de l’équateur répondent à 23
heures 25 minutes 17 fécondés & 9 tierces ; auprès
de 21 heures, dans la quatrième colonne de la table,
on trouve 315 degrés ; auprès de 2 heures, 30
degrés; auprès de 20minutes, 5 degrés; auprès de
ç minutes, o degré 15 minutes ;. auprès de 10 fécondés,
2 minutes 30 fécondés; auprès de 5 fécondés,
une minute 15 fécondés o tierces ; auprès de 2 fécondés,
30 fécondés o tierces ; auprès de 6 tierces,
une fécondé 30 tierces ; auprès de 3 tierces, 45 tierces
: le tout ajoûté enfemble donne 351 degrés 19
minutes 17 fécondés 15 tierces.
On voit par-là que cette table eft fort utile dans
la recherche des longitudes ; car connoiffant la différence
des heures entre deux lieux, par le moyen
des éclipfes de Lune ou des fatellites de Jupiter, on
connoît tout de fuite par cette table de combien de.
degrés les méridiens de ces lieux font éloignés l’un
de l’autre. Par exemple, s’il eft une heure à Conftan-
tinople lorfqu’il eft midi à Paris, on voit que le Soleil
paffe au méridien de Paris une heure après le méridien
de Conftantinople, & que par conféquent le
méridien de Paris eft plus occidental de i 5 degrés,
que celui de Conftantinople. Voye^ Lo ngitude.
Elévation ou hauteur de l'équateur, eft un arc d’un
cercle vertical, qui eft compris entre l’équateur &
i’horifon.
L’élévation de Véquateur avec’ celle du pôle eft toujours
égale à un quart de cercle! ; o u , ce qui revient
au même, l’élévation de Xéquateur eft égale à la dif-
tance du pôle au zénith. Cette élévation eft donc le
complément de la hauteur du pôle ou de la latitude.
Voye^ L atitude & Hauteur du Pô l e ; voye^
auJJi Elévation & Hauteur;. (O)
EQUATION, f. f. en Algèbre, lignifie une eoçpref-
Jion de la même quantité préfentée fous deux dénominations
différentes. Voye^ Eg a l it é .
Ainfi quand on dit 2 x 3 = 4 -f- 2 ; cela'veut dire
qu’il y a équation entre deux fois trois 8c quatre plus
deux.
On peut définir Véquation un rapport d’égalité entre
deux quantités de différente dénomination, comme
quand on dit 60 fous = 3 liv. ou 20 fous = 1 liv..
ou b = 4- e, ou 12 5= &c._
A inli m ettre des q u an tités en équation, c 4eft ire*
p ré fe n te r p a r u n e do u b le expreffion des q u an tités
réellem en t égales 8c identiques»
L e ca ra fte re ou le ligne d'équation eft ss o u 6c ; ce
d e rn ie r eft plus fréq u en t dans les anciens algébriftes,
& l’a u tre dans les m o dernes. Fqye^ C a r a c t è r e .
L a réfo lu tion des p roblèm es p a r le m o y en de leu rs
équationsy eft l’o b jet de l’A lgèbre. Voye^ ALGEBRE.
Membres d'une équation, ce fon t les d eu x qu an tités
q u i fo n t fép arées p a r le ligne = ou oc ; 8c termes
d'une équation y ce fo n t les différentes q u a n tité s o u
p a rtie s, d o n t ch aq u e m em bre de l’équation eft com -
p o fé , 8c qui fo n t jointes e n tr’elles p a r les lignes 4*
8c —. A infi dan s l’équation b + c z z d > b 4- e eft un
membre y & d l’a u tre ; & b, c , d , fo n t les term es ; 8c
l’équation lignifie que la feule q u an tité d eft égale
a u x d eu x b 8c c prifes enfem ble. Foye^ T erme,
M e m b r e .
Racine d'une équation, eft la v a le u r de la q u an tité
in co n n ue de l’équation. Ainfi dans l’équation a2 -p
b* = x 2, la racin e eft \Za2 + b2. Voye{R a c in e .
L es équations y eu ég ard à la puiffance plus o u m oins
g rand e à laquelle l ’in co n n ue y m o n te , fe d iv ifen t e n
équations fim p les, q u a rré e s, c u b iq u es, Grc.
Equation firnple o u du premier degré, eft celle dans
laq u elle l’in co n n u e ne m o n te qu ’à la p rem ière puiffance
o u au p rem ier d e g ré , com m e x = a 4- b.
Equation quarrée o u du fécond degré, eft celle Oit
la plus h a u te puiffance de l ’in co n n ue eft de d eu x di-
m e n fio n s, com m e x 2 = a2 4- b2 o u x 2 + a xxz b b^
F o y e i Q u a RRÉ Gr DEGRE»
Equation cubique ou du troifieme degré , eft celle o it
la plus h a u te puiffance de l’in co n n ue eft de trois dim
en fio n s, com m e x 1 = a* — b\ o u x* -j- a x x 4*
b b x = c* . Voye{ CUBIQUE.
Si la q u an tité in co n n ue eft de q u a tre d im e nfio n s,
com m e x 4 x=. a4 — b4 ou æ4 a x * ,-K b? x = c4 9
l'équation eft ap p ellée biquadratique o u quarrée quarrée,
ou plus com m u n ém en t du quatrième degre ; fi 1 in co
n n u e a cinq d im enfio n s, l'équation eft n o m m é e ^ r-
de-folide o u du cinquième degré, 8 tc. V . PUISSANCE.
O n p e u t confidérer les équations fous d eu x po in ts
de v u e , o u com m e les d ernieres conciufions au x quelles
on a rriv e dan s la folution des p ro b lèm e s,
o u com m e les m o y en s p a r lelquels on p a rv ie n t à la
folu tio n finale. Ÿoye^ S o l u t io n & P r o b l è m e .
Les équations de la p rem ière elp ece n e ren te rm e n t
qu ’une q u an tité in co n n ue m êlée av e c d’a u tre s q u an tités
données o u co n n u es ; celles d e la fécondé efi»
p ece ren ferm en t différentes q u an tités in co n n ue s q u i
d o iv en t ê tre com p arées & com binées e n fem b le, ju f-
qu ’à ce que l’o n a rriv e à u n e n o u v e lle équation qui
n e ren ferm e p lu s qu ’une in co n n u e m êlée a v e c des
connues.
P o u r tro u v e r la v a le u r de c e tte in c o n n u e , o n prép
a re 8c o n tran sfo rm e l'équation de différentes m an
iérés , q u i ifervent à l’abaiffer au m oindre d e g ré , 8c
à la ren d re la plus firnple q u ’il eft poflible.
L a th éo rie 8c la p ra tiq u e des équations , c’eft-
à-d ire la fo lu tio n des queftions p a r les équations, a
plufieurs b ranches ou p arties. i° . L a d én om in atio n
qu’on d o it d o n n er au x différentes q u a n tité s e n les
ex p rim an t p a r les lignes o u fym b o les co n v en ab les.
20. L a réduéfion du p ro b lèm e en équation.'30. L a réduction
de l’équation m êm e au deg re le plus bas 8c à
la form e la plus firnple. 4 0. O n y p e u t a jo u ter la fo lu
tio n de l'équation ou la re p rélen tatio n de les racines
p a r des n om bres o u des lignes. N ous allons do n n
e r d ’a b o rd les rég lés p articu lières au x d eux p re m
iers articles, c’cft-à-dire en g én éral la m éth od e de
m e ttre en équation u n e queftion p ro p o fée.
U n e qu eftio n o u u n p ro b lèm e é ta n t p ro p o fé , on
fuppofe q u e les chofes ch erch ées o u dem andées font
déjà trouvées, 8c on les marque ordinairement pa t.
les dernieres lettres x ,y , 8cc.:de l’alphabet, marquant
en même tems les quantités connues par les
premières lettres de l’alphabet, commet, c, d, 8ce.
H E | Q u an t it é , C a rac tère, Grc.
Toutes les quantités qui doivent entrer dans la
queftion , étant ainfi nommées, on examine fi la
queftion eft fujette à reftriâion, ou non, c’eft-à^dire
fi elle eft déterminée ou indéterminée. Voici les réglés
par lefqu elles on peut le favoir.
i°. S’il y a plus de quantités inconnues qu’il n’y
a üéquations données ou renfermées dans la queftion,
le problème eft indéterminé^ 8c peut avoir une infinité
de folutions. Quand les équations ne font pas
expreffément contenues dans le problème, on les
trouve par le moyen des théorèmes fur l’égalité des
grandeurs. VoyefEGM..
20. Si les équations données ou renfermées dans
le problème font précifément en même nombre que
les quantités inconnues, le problème eft déterminé,
c’eft-à-dire n’admet qu’un nombre de folutions limité.
30. S’il y a moins d’inconniies que à'équations, le
problème eft plus que déterminé, 8c on découvre
quelquefois qu’il eft impoflible par les contradictions
qui fe trouvent dans les équations. Voye^ D éterminé.
Maintenant, pour mettre une queftion en équation
, c’eft-à-dire pour la réduire en différentes équations
médiates par le moyen defquelles on puiffe parvenir
à une équation finale, la principale chofe à laquelle
on doit faire attention, c’eft d’exprimer toutes
les conditions de la queftion par autant dééquations.
Pour y parvenir, il faut examiner fi les propo-
fitions ou mots dans lefquels la queftion eft exprimée,
peuvent être rendus par des termes algébriques,
comme nous rendons nos idées ordinaires en
caraûeres grecs, latins ou françois, &c. Si cela eft
ainfi, comme il arrive généralement dans toutes les
queftions que l’on fait fur les nombres ou fur les
quantités abftraites , en ce cas il faut donner des
noms aux quantités inconnues & connues, autant
que la queftion le demande, & traduire ainfi en langage
algébrique le fens de la queftion. Cès conditions
ainfi traduites donneront autant dé équations que
le problème peut en fournir. On a déjà donné au mot
Arithmét ique universelle un exemple de cette
traduâion d’une queftion en langage algébrique.
Donnons encore un autre exemple. Un marchand
augmente tous les ans fon bien d’un tiers, en ôtant
100 liv. qu’il dépenfe par an dans fa famille, au bout
de trois ans il trouve fon bien doublé. On demande
combien ce marchand avoir de bien au commencement
de ces trois ans. Pour réfoudre cette queftion,
il faut bien prendre garde aux différentes propofi-
tions qu’elle renferme, & qui fourniront les équations
fui vantes.
En langage ordinaire
un marchand a un
bien dont il dépenfe
la première année
100 liv.
Et augmente le ref-
te d’un tiers.
La fécondé année
il dépenfe 100 liv.
Et augmente le ref-
te d’un tiers.
La troifieme année
il dépenfe 100 liv.
Et augmente le ref-
te d’un tiers.
Algébriquement.
x — IOO.
ioo + ^ 2 ou
4JÜÆ - I 0 0 OUlf- - 7gg
3 3
4 *-700 . 4 * — 700 _ 16 x -1800
A 3 9 9
M B i 100
9 , _ . -lv>. 9
16* -3700 . 16 *-3700
96 4*-148T0 0 »7 - u
Et au bout des trois
ans il eft deux fois - - ~-14— = 2 x.
plus riche qu’il n’é-
toit.
La queftion fe réduit donc à réfoudre cette équaZ
tion — *-Zi.4800 — x x , par le moyen de laquelle on
trouvera la valeur de x de la maniéré fuivante.
On multipliera l’équation par 27, & on aura 64X—
14800 = 54#,' on ôtera de part & d’autre 5 4 * , 8c
on aura 10X — 14800= o , ou 1 0 * = 14800; divi-
fant par 10, il viendra x = 1480. Ainfi ce marchand
a voit 1480 liv. de bien.
Il réfulte de ce qüe nous venons de dire, que pour
réfoudre les queftions qu’pn propofe fur les nombres
ou fur les quantités abftraites, il ne faut pref-
que que les traduire du langage ordinaire en langage
algébrique, c’eft-à-dire en caraâeres propres à exprimer
nos idées fur les rapports des quantités. Il eft
vrai qu’il peut arriver quelquefois que ledifeours
dans lequel l’équation eft propofée, ne puiffe être
rendu algébriquement; mais en y faifant quelques
petits changemens, & ayant principalement égard
au fens, plûtôt qu’aux mots, la traduftion deviendra
affez facile ; la difficulté qui peut fe rencontrer dans
cette tradu&ion vient uniquement de la différence
des idiomes, comme dans les traduâions ordinaires.
Cependant pour faciliter la folution de ces fortes de
problèmes , nous allons en donner un exemple ou
deux.
i°. Etant donné la fomme de deux nombres a, &
la différence de leurs quarrésb, trouver les nombres;
fuppoions que le plus petit de ces nombres toit x 9.
l’autre fera a — x , & les quarrés feront x x , & a a—
2 a x + x x , dont la différence eft a a — 2 a x , qui
doit être égale à 6 ; donc <2 a — 2 a x — b ,*dofic a a —
Suppofons, par exemple, que la fomme dès nombres
ou la quantité a foit = 8 ,8c que la différence
des quarrés foit 16, alors ou \ ^ fera 4 —
1 = 3 = * , & on aura a — x = 5; ; donc les nombres
cherchés font 3 & 5. Foye[ D iophante.
2°. Trouver trois quantités x , y , d o n t on con-
noiffe la fomme, étant prifes deux à deux. Suppofons
que la fomme de x Sc dey foit a , que celle de
x 8c de 1 foit b, 8c que celle de y 8c de ç (oit c , on
aura les trois équations x -\-y ==<z, x + £== b , y -f*
ç = c; pour chaffer maintenant deux des,trois quantités
x ,y , 1 , par exemple,4; 8cy, on aura par la
première 8c par la fécondé équation y =c — xr 8c { =
b — x ; on fubftituera dans la troifieme équation ces
valeurs au lieu d e y 8c de 8c l’on aura a — x 4-
b — xzxCy 8ca? = — — ; xétant trouvée, on aura
y 8c 1 par le moyen des équationsy = a— x8 t{= s
b — x.
Par exemple, fi la fomme de x 8c de y eft 9, celle
de x: 8c de ç , 1 o, 8c celle dey 8c de { , t 3 ; dans les valeurs
de x ,y 8c on écrira 9 pour «, 10 pour b , 8c
13 pour c, 8c on aura a4- b — c— 6 ,.par conféquent
a: ou “T 3 ; y ^ ou a — x =± 6 8c ^ ou ^ —
2 *
* = 7-
30. Divifer une quantité donnée, en un nombre
quelconque de parties, telles que les différences des
plus grandes fur les plus petites, foiént égaies à des
quantités données. Suppofons que a foit une quantité
que lion .propofe de.divifer en quatre parties,
telles que la première 8c la plus petite foit x ; que
Pèxcèsde la fécondé fur la première fpit>, celui de
la troifieme foit c , & celui.de la quatrième dyX + b
fera la fécondé .partie., x 4- c la troi&eme, * 4- d la
1Tome K* O û o o o ijj