+ r (en fâtfaflt, fi l’on v eu t, abftraûïon de fan éga-
Kté à zéro, & en la regardant comme une quantité
algébrique réelle) fera divifible exaâement par *—a.
Car il eft évident, i° . que x ne montant qu’au premier
degré dans le diviléur, on pourra par les réglés
de la divifion algébrique ordinaire ( voye^ D iv is
io n ) , pouffer l’opération jufqu’à ce qu’on arrive
à un refie que j’appelle R , & dans lequel x ne fe
trouvera pas. Soit donc Q le quotient, il efl évident
que u au produit du quotient Q par le divifeur
x —a , on ajoûte le refie R , on aura une quantité
égale & identique au dividende. Or, en faifant dans
le dividende x — a , tout s’évanouit par l ’hypothefe ;
donc tout doit s’évanoiiir aulîi, en faifant x — a
dans la quantité ( x - a ) Q + A , & cette quantité
doit alors fe réduire à zéro ; mais en faifant x — a,
cette quantité eft (<* — <z)Q + Æ. Donc, puifque
(a—a) Q - j - i ? = o ,o n a ü = o. Donc la divifion fe
Fait fans refie. Donc x m -\-pxm + q xm . . . . +
r fe divife exactement par x — a.
Je fais un raifonnement femblable fur le quotient
provenu de la divifion : je fuppofe que b fubflitué à
la place de x , faffe évanoiiir tous les termes de ce
quotient, je dis qu’il efl divifible par x —b ; & U efl
évident que fi b fubflitué à la place de x , fait évanoiiir
le quotient Q , il fera évanouir auffi le dividende
: car le dividende efl = (Xm~a) Q. > donc toute
fuppofition qui réduira Q à zéro, y réduira aufïi le
dividende. Donc x —b divife aufïi exactement le dividende.
On trouvera de même, qu’en fuppofantune quantité
c” qui fubftituée à la place de * , faffe évanoiiir
le quotient de Q divifé par x — b, ce nouveau quotient
, & par conféquent le dividende, fera divifible
par x — c. t
Ainfi on aura autant de quantités fimples x — a ,
x — b, x — c, qu’il y a d’unités dans m, lefquelles
quantités fimples donneront par leur multiplication
le dividende ou équation propofée.
On pourra donc , au lieu de Yéquation donnée,
fuppofer (x —a) (x — b) (x — c) = o : mais il faut
bien fe garder d’en conclure, comme font tous les
auteurs d’Algebre, qu’on aura x — a — o , x —b= ©,
x — c = o , &c. car, pourra dire un commençant,
comment fe peut-il faire qu’une même quantité x
foit égale à plufieurs grandeurs différentes a ,b , c >
Si vous dites que x , dans ces équations, ne défigne
qu’en apparence la même grandeur, & défigne en
effet des grandeurs différentes, en ce cas vous vous
rejettez dans une autre difficulté ; car fi cela étoit,
dans une équation du fécond degré, par exemple,
comme x x + p x + q , x x ne feroit plus un quarré,
cependant tous les Algébrifles le traitent comme tel ?
Voici la réponfe à cette difficulté, qui, comme je le
fai par expérience, peut embarraffer bien des com-
mençans. La quantité propofée efl le produit de x
— a par x — b, par x — c , &c. Or la quantité pro-r
pofée efl fuppofée égale à zéro, & quand une quantité
efl égare à zéro, il faut qu’un de fes fadeurs le
foit ; ainfi la quantité ou équation propofée efl le
produit de x — a=z?o par x — b & par x — c, &c.
ou de x — b=z o par x —a & p a r * — c ,& c . ou de
x —c — o par x — a&i par x — b , &c. Dans chacun
de ces cas on ne fuppofe à la fois qu’une des équations
partielles égale à zéro ; a: efl la même quantité
dans chacun des cas, & elle efl différente dans
les différens cas. Ainfix x — a x ab — o eü. x —a
— b x
= 0 par x — b, ou x — b = o par x — a; cette équation
x x — a x -\-abz=. o repréfente ces deux-ci ;
— b x
l ’une aa — aa-\-ab(en mettant a pour x ) , ôc l’au-
— ab
tre b b — a b + a b (en mettant b pour x ).
— b b
Dans l’un des cas, x & fes puiffances repréfen-
tent a &c fes puiffances ; dans l’autre, x & fes puiffances
repréfentent b &fes puiffances. Ainfi une équation
d’un degré quelconque repréfente réellement
autant à?équations particulières qu’il y a d’unités dans
fon degré ; équations dans chacune defquelles x a
une valeur différente. Pourfuivons & approfondif-
fons cette matière, qui, je le répété, eft fort mal
développée par-tout.
La démonflration précédente, dira-t-on, fuppofe
qu’il y a toujours une quantité a poffible,qui fubfti-
tuée à la place de x dans une quantité algébrique,
x m-\-pxm- 1 , &c. fera évanoiiir tous'les termes.
Sans doute : mais cette fuppofition eft légitime. J’ai
démontré le premier, Mém. de lac. de Berlin, ryqG9
qu’il y a voit toujours en effet une telle quantité, laquelle
fera ou réelle, ou égale à m-\-n\/—i , m
n étant réelles, & m pouvant ê t re= o . Cette pro-
pofition fondamentale de l’Algebre & même du calcul
intégral ( Voye{ Fr a ct ion rationnelle &
I n t é g r a l ) n’avoit été démontrée par perfonne
avant moi : j’y renvoyé le le£leur, il la trouvera
encore plus développée, & mife à la portée des com-
mençans dans le traité du calcul intégral de M. de
Bougainville le jeune, première partie. Voye^ Imaginaire.
De-là il s’enfuit qu’une équation eft le produit
d’autant de quantités fimples, x—a, x—b, x—c, &c-
qu’il y a d’unités dans le degré de Y équation ; quelques
unes des quantités a , b, c , ou toutes, peuvent
marquer des quantités réelles, égales ou inégales ,
imaginaires fimples comme n y/ —1, ou mixtes imaginaires
comme rn -|- n \/—i.
On remarquera maintenant que le produit de x
— a par x — b ne peut être égal à un autre produit
x —e par x —f ; car fi cela étoit, on auroit ■ *
= ‘ . Il faudroit donc ou que x —a fût divifible
exactement par x —f , ainfi que x — e par x —b,
ce qui ne fe peut, ou que x —f& c x —b euffent un
divifeur commun, ainfi que x — a x — e, ce qui
ne fe peut encore. Tout cela eft évident par foi-
même.
Donc une quantité quelconque#*-\-px-f-^,oùx
monte au fécond degre, ne peut être le produit que
de deux fadeurs fimples x —a , x — b,&c il ne peut
y en avoir d’autres que ces deux-là. Donc dans une
équation du fécond degré, x ne peut avoir que deux
valeurs différentes a ,b ,& c jamais davantage. C ’eft
une fuite des propofitions précédentes.
De même-on ne fauroit fuppofer x — a par x —b
p a r *—- fj égal à x —c par * — ƒ par * — g; car on
a,,roit c ^Tj t p#= D°nc ies
nominateurs de ces fractions devraient avoir un divifeur
commun, & par conféquent auffi leurs numérateurs
x — a , x — e, ce qui ne fe peut. Donc dans
une équation du troifîeme degré, & par la même rai-
fon dans toute équation, l’inconniie ne peut ^voir
qu’autant de valeurs, foit réelles, foit imaginaires,
qu’il y a d’unités dans le degré de Yéquation. Voilà
encore une propafition qu’aucun auteur n’avoit fuf-
fifamment prouvée. On appelle racines, les différentes
valeurs de l’inconnue. Voye^ Racin e.
Il pourroit fe préfenter aux commençans une difficulté
fur la démonflration précédente. Soit, diront-
ils, <z = 4 , b— 1 7 , c = 7 , e = 8 , & * = 2, on aura
( x — a) X ( * — b )1 = — 2 X — 15 = — 5 X — 6 =
( *—7) X ( * — 8) = ( x — c) X ( x—e) ; on peut donc
avoir, continueront-ils, ( x—a) ( x— b) == ( x — c)
( x —e). La réponfe à cette objeûion eft bien fim-
ple ; il eft vrai qu’il peut y avoir des cas o ù , en
donnant à * une certaine valeur, on ait ( x —a)
( x —b) — (x — c) (x — e)-, mais il faudroit, pour
renverfer
renverfer la démonflration précédente, que quelque
valeur qu’on donnât à x , on eût toûjours cette dernière
équation, x marquant ici une quantité générale
& indéterminée : or cela eft impoffible. En effet
, fi cela étoit, fupp#ofons x — a , on auroit donc,
à caufe de l’égalité fuppofée, (a—a) (a—b) = (a—c)
(a—é ) , c’eft-à-dire 0 = (a— c) (a — e) ; ce qui ne
fe peut, puifque c & e font différentes de a &c de
b. D e - là on tire une autre démonflration de la
propofition dont il s’agit, & qu’on peut appliquer
aux degrés^plus compofés ; par exemple, fi (x—a)
(x — b) (x — c) pouvoit être égal à (x — e) ( x — ƒ )
(x - g ) , on auroit (a — e) ( a - ƒ ) ( a - g ) = o ,
ce qui ne fe peut ; & ainfi du relie.
Je paffe un grand nombre de propofitions qu’on
trouvera fuffifamment démontrées pa r- tou t, par
exemple celles qui font indiquées au mot C oefficien
t : c ’ell principalement à des chofes nouvelles,
ou du moins préfentées d’une maniéré nouvelle &
rigoureufe, que je deftine cet article. J’obferverai
feulement que les propofitions connues fur les coeffi-
ciens des équations, fervent quelquefois à démontrer
d’une maniéré fimple & élégante des propofitions de
Géométrie ; M. de l’Hôpital, dans le liv. X . de fes
feclions coniques, s’en eft heureufement fervi pour
démontrer certaines propriétés des cordes du cercle.
Si une des racines de Y équation x m +/> * m - I . . . .
- f r = o eft un nombre entier a , pofitif ou négatif,
ce nombre a fera un des divifeurs du dernier
terme r ; car on a am pa™-1 na-\-r — o , donc
am + p am~*.............. n a — — r, donc am~l +
p am ~2 . . . . -J- n — — —. Or le premier membre de
cette équation eft un entier, puifqu’il eft compofé
d’entiers ; donc — eft un entier, donc a eft un des
divifeurs de r. La démonflration ordinaire de cette
propofition me paroît fujette à difficulté ; c’eft par
cette raifon que j ’en ai fubflitué une autre.
Si toutes les racines d’une équation font réelles,
& que tous les termes de Y équation ayent le ligne -f-,
toutes ces racines feront négatives ; car, puifque tous
les termes ont le ligne+ , il eft évident qu’il ne peut
y avoir de quantité pofitive, qui étant fubftituée à
la place de * , rende Y équation égale à zéro.
Dans une équation, les racines imaginaires vont
toûjours deux à deux ; enforte que fi a -j- b y/— i
efl racine d’une équation, a — b ÿ f—i en fera une
autre. J’ai démontré le premier cette propofition
dans les mém. de l'acad. de Berlin 1746". Voyeç aujjî
l’ouvrage de M. de Bougainville déjà cité, & l'art.
Im aginaire.
Donc puifque les racines imaginaires font toûjours
en nombre pair, il s’enfuit que dans les équations
d’un degré impair il y a du moins une racine
réelle ; ce qu’on peut encore démontrer en cette
forte. Soit, par exemple, * 3 +/> * 2- f - ÿ * - f r = o ,
en donnant à * toutes les valeurs pofitives poffibles
depuis o jufqu’à l’infini, on a toûjours un réfultat
réel, & ce réfultat devient infini & pofitif quand
* = 00, c’eft-à-dire 00 î ; de même en donnant à *
toutes les valeurs négatives poffibles depuis o jufqu’à
l’infini, on aura toûjours un réfultat réel, & le
dernier réfultat eft infini & négatif quand * = — 00,
c’eft-à-dire — ooî ; donc puifqu’on a une fuite de
réfultats tous réels & fans interruption, dont les
deux extrêmes font de différens lignes , il s’enfuit
qu’il y a un de ces réfultats égal à zéro. Donc il y
a une valeur réelle de x qui rend #? -f- p #2 + q x
4- r = o. Donc * a au moins une valeur réelle dans
cette équation. Il en efl de même des autres cas.
Dans une équation délivrée de fraéiions , & dont
le premier terme n’a d’autre coefficient que l’unité,
la racine ne fauroit être une fraétion-j-, dont le dé-
Tome V,
nominateur & le numérateur foient des nombres entiers
& rationnels. Voilà encore une propofition bien
mal prouvée dans prefque tous les auteurs. En voici
une meilleure démonflration. Soit X* + p x 1 - f q x
H" r = o ; & fuppofons que -y foit racine de Y équation
, on aura donc + *j- 4- r = o , &
-f-/; a1 b -f- q a bx -}- r b* = o. D on c, fuivant la
théorie des équations donnée ci - deffus, le nombre
entier a doit être divifeur du dernier terme rb* ; or
comme a & b n’ont aucun divifeur commun, car la
fraftion — eft fuppofée, comme de raifon, réduite
à fes moindres termes (Voy. D iviseur, Fr a c t io n ,’
& l’addition à Y article D iviseur dans Y errata de ce
volume), il s’enfuit que a & b* n’ont aucun divifeur
commun : donc a doit être divifeur de r ; donc
r — n a , n étant un nombre entier. Donc on aura
a.* -\~p a* b-\-qa b1 ^{-na b* = 0 ; donc a2 -\-p a b
+ qb2 + n b* = 0 . Donc, par la même raifon que
ci-deffus, a doit être un divifeur du dernier terme
q b2 -J- n b*, & par conféquent de q + b n ; donc q
■ {■ b n=z ma; donc a2-\-p a b - f b2 m a = o ; donc
a + p b + b2 m — o ; donc dL — — p — mb. Donc -£•
n’étoit point une fraélion, ce qui eft contre l ’hypo-
thefe. On démontrera de la même maniéré dans tous
les autres cas, la propofition dont il s’agit. Donc ,
&c.
Il eft évident, parla nature de cette démonflration,
qu’elle ne s’étend qu’aux fraérions rationnelles.'
Une équation fans fraérions & fans radicaux peut en
effet avoir pour racines des fraélions irrationnelles ;
par exemple, x 2— x — 1 = o, & une inanité d’autres-
Voyez <2« mot T ransformation, ce qui regarde
la maniéré de transformer une équation en une autre,'
matière qui n’a d’ailleurs aucune difficulté, &qui eft
affez bien traitée dans prefque tous les Algébrifles ;
par exemple, dans YAnalyfe démontré du P. Rey-
neau, &c.
On trouvera au mot Racin e , le fameux théorème
de Defcartes fur les racines des équations, démontré
par M. l’abbé de Gua dans les métn. de l'acad.
de 1741, auxquels le Ieéleur peut avoir recours.'
Nous nous bornerons ici à quelques réflexions générales
fur les racines des équatiotis.
Les racines d’une équation font les différentes valeurs
de l’inconnue ; il femble donc qu’un problème
doive avoir autant de folutions qu’une équation a de
racines ; & cela eft vrai en effet dans un certain fens,'
mais ceci a pourtant befoin d’une plus ample explication.
i° . Si on propofoit de trouver un nombre * , tel
que le quarré de ce nombre plus 15 fût égal à 8 fois
le nombre cherché, c’eft-à-dire tel que x x — 8*4-15
fut = 0 , on trouveroit que cette équation auroit
deux racines réelles & pofitives * = 3 , x — 5 ; & en
effet, le quarré de 3 qui eft 9 augmenté de 15, donne
24 égal a. 8 fois 3 ; & le quarré 25, augmenté de
15 , donne 40, égal à 8 fois 5. Ainfi les deux racines
de Y équation fatisfont en ce cas âu problème ,’
fans rien changer à fon énoncé. Il y a donc des cas
où toutes les racines d’une équation réfolvent chacune
le problème dans le fens le plus direft & le plus
immédiat que fon énoncé préfente.
20. Si on propofoit de trouver un nombre *
plus petit que 1 , & tel que le quarré de 1 — * fut
égal à 4» on auroit (1 — x ) 2 = 4 ? & 1 “ ■ Ar = ± . î *
donc x = i & * = | . Voilà deux racines réelles &
pofitives, cependant il n’y a proprement que la racine
j qui fatisfaffe au problème , car la racine
donne 1 — x = — \ , quantité négative. Or l’on fuppofe
dans l’énoncé que x eft plus petit que 1 ; pourquoi
donc trouye-t-on une autre racine réelle & po-‘