fitive ? le voici. Si on eut propofé ce problème-:
trouver un nombre x plus grand que i , & tel que ( x
—- i ) 2, f 0lt *8*1 ^ ? t on auroit eu précifément la
même-équation que celle qui eft donnée par la folu-
tion du problème précédent ; & en ce cas x — ^ auroit
été la vraie valeur de l’inconnue, ainfi Y équation
i—2 x-{-x x = 4 repréfente réellement ces deux-
c i , ( i — x ) 2 = j 8c ( x —i ) a = i , qui font la tra-
duftion algébrique de deux queftions, très-différentes
dans -leur énoncé. La première de ces queftions
a pour réponfe x = 4, la fécondé x = -f-* Donc, quoique
les racines d’une équation foient toutes deux
réelles & pofitives, il ne s’enfuit pas toûjours qu’elles
réfolvent toutes exactement & rigoureufement
la queftion ; mais elles la réfolvent , en la prëfen-
tant en deux fens différens, dont l’Algebre ne peut
exprimer la différence ; par exemple, dans le cas
dont il s’agit, l’énoncé devroit être : trouver une
grandeur x telle que la retranchant de l’unité, ou retranchant
l’unité d’elle, le quarré du refte foit égal
à La traduâion algébrique du premier énoncé eft
par fa nature plus générale que ce premier énoncé ;
c’eft donc le fécond qu’il faut y fubftituer pour répondre
à toute l’étendue de la traduction. Plufieurs
algébriftes regardent cette généralité comme une
richeffe de l’Algebre, qui, diferit-ils, répond non
feulement à ce qu’on lui demande, mais encore à ce
qu’on ne lui demandoit pas, 8c qu’on ne fongeoit
pas à lui demander. Pour m oi, je ne puis m’empêcher
d’avoiier que cette richeffe prétendue me paroît
un inconvénient. Souvent il en réfulte qu’une équation
monte à un degré beaucoup plus haut qu’elle
ne monteroit, fi elle ne renfermoit que les feules
racines propres à la vraie folution de la queftion,
telle qu’elle eft propofée. Il eft vrai que cet inconvénient
feroit beaucoup moindre, 8c feroit même
en un fens une véritable richeffe, fi on avoit une
méthode générale pour réfoudre les équations de tous
les degrés ; il ne s’agiroit plus que de démêler parmi
les racines celles dont on auroit vraiment befoin :
mais malheureufement on fe trouve arrêté dès le troi-
fieme degré. Il feroit donc à fouhaiter, puifqu’on ne
peut réfoudre toute équation, qu’on pût au moins
l’abaiffer au degré de la queftion, c ’eft-à-dire à n’avoir
qu’autant d’unités dans l’expofant de fon degré que
la queftion a de folutions vraies 8c directes, mais la
nature de l’Algebre ne paroît pas le permettre.
30. Si on propofoit de trouver un nombre x , tel
que retranchant l’unité de ce nombre, le quarré du
refte fut égal à quatre, on trouveroit (x — 1 ) 2 = 4 ,
x = 3 8c x = — 1. La première racine x = 3 , qui eft
réelle 8c pofitive, réfout la queftion ; à l ’égard de
x — — 1 , elle ne réfout point la queftion propofée,
elle réfout celle - ci : trouver un nombre, auquel
ajoutant l’unité, le quarré de la fomme foit égal à
quatre. On voit que dans cet énoncé, ajouter fe
trouve au lieu de retrancher, & fomme au lieu de refte.
En effet (x - f i ) 2 = 4 donne x = 1 & * = — 3 , qui
font précifément les racines de Y équation précédente
prifes avec des lignes contraires. D ’oîi l’on voit que
les racines négatives fatisfont à la queftion, non
telle qu’elle eft propofée, mais avec de légers chan-
gemens qui confiftent à ajoûter ce qu’on devoit retrancher
, ou à retrancher ce qu’on devoit ajoûter.
Le ligne — qui précédé ces racines indique une fauffe
fuppofition qui a été faite dans l’énoncé, d’addition
au lieu de fouftraction, &c. 8c ce ligne — redreffe
cette fauffe fuppofition. En veut-on un exemple plus
fimple ? qu’on propofe de trouver un nombre x , qui
étant ajouté à 20, la fomme foit égale à 10, on aura
2.0 + ^ = 10 8c x = — 10, ce qui lignifie qu’il falloit
énoncer ainfi la queftion : trouver un nombre qui
étant retranché de 20, le refte foit égal à 10, 8c ce
nombre eft 10.
40. Si on propofoit cette queftion , trouver un
nombre x , tel que, ajoûtant l’unité à ce nombre, le
quarré du tout l'oit égal à 7 , on auroit (x-j- i ) 2 = £ ,
x = — Ÿ, x = — voilà deux racines négatives, ce
qui lignifie qu’il falloit changer ainfi la queftion ;
trouver un nombre t e l, que* retranchant l’unité de
ce nombre, s’il eft plus grand, ou le retranchant de
l’unité, s’il eft plus petit, le quarré du refte foit
égal à 4* C ’eft précifément le cas du n°. 1 précédent
, dont les racines font les mêmes que de ce cas-
c i, avec des lignes contraires.
5°. Tout nous prouve donc que les racines négatives
ne font deftinées qu’à indiquer de fauffes fup-
pofitions faites dans l’énoncé, & que le calcul re-
dreffe. C ’eft pour cela que les racines négatives ont
été appellées fauftes par plufieurs auteurs, & les racines
pofitives, vraies, parce que les premières ne
fatisfont, pour ainfi dire, qu’à un faux énoncé de la
queftion. Au refte je dois encore remarquer ici que
quand toutes les racines font négatives, comme dans
le cas précédent, l’inconvénient eft leger ; ces racines
négatives indiquent que la folution avoit u n .
énoncé abfolument faux : redreffez l’énoncé, toutes
les racines deviendront pofitives. Mais quand elles
font en partie pofitives, & en partie négatives, l’inconvénient
que caufe la folution algébrique eft, ce
me femble, alors plus grand ; elles indiquent que l’énoncé
de la queftion eft, pour ainfi dire, en partie
vrai & en partie faux; elles mêlent, malgré nous,
une queftion étrangère avec la queftion propofée ;
fans qu’il foit poflible de l’en féparer, en rectifiant
même l’énoncé ; car qu’on change dans l’énoncé les
mots ajoûter & fomme, en ôter 8c refte, la racine né-i
gative devient à la vérité pofitive ; mais la pofitive
devient négative, & on fe trouve toûjours dans le
même embarras, fans pouvoir réduire la queftion à
un énoncé qui ne donne que des racines réelles po-
litives. Il en eft de même dans le cas du n°. 1 précédent
, où , quoique les racines foient toutes réelles
8c pofitives, cependant elles ne réfolvent pas toutes
la queftion ; néanmoins il y a encore cette différence
entre ce cas & celui du n°. 3 , que dans celui-ci, pour
changer les racines négatives en pofitives, il ne faut
changer qu’en partie les lignes de x -f- 1 , c*eft-à-dire
écrire x —i ou 1—x ; au lieu que dans le cas du n°. 1,
il faut changer tout-à-la-fois les deux lignes de 1—x ,
8c écrire x — 1 dans l’énoncé, pour employer la racine
pofitive inutile à la queftion.
6°. Les racines négatives, je le répété, font un
inconvénient, fur-tout lorfqu’elles font mêlées avec
les pofitives ; mais il y a bien de l’apparence qu’on
ne parviendra jamais à lever cet inconvénient ; peut-
être pourroit-on le diminuer, fi on avoit une bonne
méthode de réfoudre les équations. C ’eft ce que nous
tâcherons plus bas de faire fentir, ou plûtôt entrevoir,
en parlant des équations du fécond degré. Mais
ce qui prouve que les racines négatives ne font pas
tout-à-fait inutiles à la folution d’un problème, c’eft
l’application de l’Algebre à la Géométrie. Les ordonnées
négatives d’une courbe font aulîi réelles qué
les pofitives, & appartiennent auffi effentiellement
à la courbe ; nous l’avons prouvé au mot C ourbe
d’une maniéré auffi rigoureufe que nouvelle, en fai-
fant voir que les ordonnées négatives deviennent
pofitives, en tranfpofant feulement l’axe. De même
en transformant une équation algébrique, on peut
rendre toutes les racines réelles pofitives ; car foit
b la plus grande des racines négatives, 8c foit fait:*;
= £ — A , A étant une quantité plus grande que b ou
égale à b ; alors les fadeurs, au lieu d’être, par exemple,
x — a9 x -\-b9 feront^ — A — a , -{- Æ, toutes
deux pofitives. Voy. encore fur cet article ce que
nous dirons plus bas, en parlant des équations applis
quées à la Géométrie,.
Ÿ - Si on propofoit de trouver un nombre#., tel
que (# + i)2 4- 4 fut ° h auïoit x ■ == -*- i -j-
V — 4, & x = — 1 qui indiquent que l’é—n oVn/ic-é 4de ; lav qalueeufrtiso nim eafgt ianbafiurers-
de, & qu’il n’eft pas poflible de la réfoudre. Mais,
dira-t-on, pourquoi deux racines imaginaires ? une
"feule fuffiroit pour avertir de l’abfurdité. Je réponds
que les deux imaginaires aVertiffent que la queltiOri
e‘ft abfurde rion-leulement dans fon énoncé, mais
même dans tout autre qu’on lui fubftitueroit, c’eft-
à-dire en mettant x — 1 ou 1 — x à la place de x 4-1 •
En effet 1 —r x 4- 4 = o , ou x —.i 4 -4 = 0 , donne
•xxz 1 — y/— 4 & x = 1 4. y/ —4; racines imaginaires
& de ligne contraire aüx précédentes, parce que
l’énoncé de la queftion, quoique changé, demeure
impoffible.
", o°. Ainfi, quand Une équation n’a que des racines
négatives Ou fauffes, cela indique que le problème
eft impoffible dans le fens direft, mais non pas dans
un îfutre fens ; au lieu que quand elle n^a que des racines
imaginaires, cela indique que le problème eft
impoffible dans quelque fens qu’on le préfente. Quand
les racines font réelles 8c incommenfurables, cela
indique que le problème n’a point de folution mimétique
exafte , mais qu’ôn peut trouver uii nombre
qui approche auffi près qu’on voudra dés conditions
proposées ; donc les racines négatives, imaginaires
8c incommenfurables, défignent différentes efpeces
d’impoffibilité dans la folution, mais d’impoffibilité
plus ou moins entière, plus ou moins ablblue.
ù°. Mais quand les racines imaginaires font mêlées
avec des racines réelles, qu’eft-ce qu’indiquent
alors ces racines imaginaires ? Par exemple, 7^
bt = 0 , a pour racine réelle u — b, & deux autrès
racines imaginaires qui font celles de Y équation uu-\-
b u 4- b b = 0, comme on l’a vû au mot Cas irréduc
tib le. Ces deux racines imaginaires, dira-t-on,
paroiffent ici bien inutiles. Je réponds que ces deux
imaginaires ne font point*de trop; elles indiquent
que s’il y avoit une quantité u, telle que u u 4- b u -f-
b b pût être égal à zéro, le cube de cette quantité u
feroit égal à £*. Voilà, ce me femble, tout ce qui
regarde les racines des équations fuffifamment éclairci
; paffons à d’autres obfervations.
Il y a quelques remarques à faire fur la maniéré dont
on réfoud ordinairement les équations du 2d degré :
foit x x — p x—q, on eii conclud tout de fuite x —
L = + V pp^.q • mais, dira-t-on, pourquoi fait-on
x, — ?- pofitif égal à la quantité négative — ^ 4-
dqe ?s irla ecfitn ebsi eéng valreasi ;q muea ids ecuex dqouita rêrtérse édgeasu rxa cdionnens ednet
même figne : cela eft évident ; car de ce qtie 4 = 4,
en conclura-t-on que 2 = — 2 ? D’ailleurs p- — x eft
auffi-bien que x — p- la racine de x x —p x -f- p-£; on
devroit donc avoir + x ± p- = + ^ ± l 4. q. Je réponds,
i°. que cette derniere équation donne les quatre
fuivantes x — \ =? V ^ ~ +
q — X = — ^ a ~~ X = ; ^ P~4^r<l : o r l eS deux dernieres font évidemment les mêmes que les
deux premières ; il fuffit donc de prendre le double
figne + dans un des membres, & non dans les deux
à la fois. 2°. J’aimerois mieux réfoudre Y équation en
raifonnant de cette forte : La racine quarrée de x x —
p x + t - E&x - £ ,f i * > £ ;& ; ! - x ,f i * < £ ;
lè fécorid, oh a - — # =± v £-£ -\-q : ce font ces
deux cas très-diftinfts & très-clairement énoncés dé
cette maniéré,qu’on énonce tous les deux énfemblé
implicitement j & fi je l’ofe dire, obfcurément, en
écrivant x —p- + q. Les ihventeufs dé
l’Algebre ont imaginé cette expreffion pour abréger
; 8c cette expreffion commode rend la métaphy*
fique plus obfeure. Voye^ fur cela ce qui a été dit au
mot Elémens des Sciences.
Si on avoit x x 4• p x — q > alors on trouvéroit,
en fuivaftt le raifonnement précédent, x 4- ^ =
4-^, ce qui neftOnnêroit que la racine pofiti*
ve ; à l’égard de la racine négative ou fauffe, on n’en
a que faire , puifqü’elle ne réfout pas le problème ;
cependant on auroit cette racine, fi on vouloit, en
changeant l’énoncé de la queftion fuivant les réglés
données ci- deffus ; ce qui donneroit x x — p x = <?
dans le premier cas, on a j
Tome V,
J - - V i 4 dans
On voit donc que par cette maniéré que je pro*
pofe de réfoudre les équations.du feçpnd degré, on
îepareroit les racines pofitives néceffaires d’avec les
inutiles, les Vraies d’avec les fauffes, &c. cette méthode
s’appliqiieroit aUx autres degrés, fi Oh avoit
une réglé générale pour réfoudre toute équation :
mais la réglé dont il s’agit eft encore à trouver.
J’ai donné au mot C as irréductible une théorie
fuffifante & neuve prefque à tous égards de la
réfolution des équations du troifieme degré ; j ’y renvoyé
le leôeur. Je n’y aifuppofé qu’une propofition, t
c’eft que fi le fécond terme d’une équation du troifieme
degré eft nul, 8c que les trois racines foient réel*
les, le troifieme terme a toûjours le figne —. La queftion
fe réduit à prouver que fi^ a -\- b 4- c zs= 0 , a t
b y e» étant de tel figne qu’on voudra , 8c réelles j
(yoye[ C oefficient) , on aura a b - f a c 4- i c négative
, c’eft-à-dire — a a — a c — c c négative, ce
qui eft évident ; donc fi le troifieme terme eft pofitif,
il y a deux racines imaginaires. Nous rappellerons
ici ce qui a été remarqué dans Yerrata du troifieme
volume, qu’à Yarticle C as IRREDUCTIBLE,l’impri*
meur a mis par-tout 2 y pour 27; cette faute d’im-
preffion rie peut embarraffer que les premiers corn-
mençans; Du refte on trouvera dans cet article, ou
explicitement, ou implicitement, toute la théorie
des équations du troifieme degré. Paffons au quatrie*
me degré.
Soit x 4 ■ \-qx7--{-rx + sx zO i une équation à réfoudre
, on fuppofe qu’elle foit le produit de x x 4-
y x O ) 8c x x — y x uxxçi^ 8c on trouve ,
en multipliant ces deux équations l’une par l’autre,
& comparant le produit terme à terme avec la propofée
, les équations fuivantes :
^ _ 1 y + .f3 - ^
y 6 + i q y 4 + q2y 2 - r r = o.
— 4 s y*
u = - = t — W B B - ü i ü j . ES ’ l jy + yj - r if** a • 2 /
L’équation y 6 , & c. — O, étant du fixieme degré â
fix racines ; & les équations x x 4-y x 4- { =2 0 , kX —
y x 4- « = o , en donnant chacude deux pour dha*
que valeur de y ; voilà donc, dira-t-on, virigt-qua*
tre racines, quoique, fuivant la théorie connue, IV-
yftiation x 4, &c. ne doive avoir que quatre racines
poffibles. Je vais montrer que-ces vingt-quatre racines
fe réduifent à quatre.
i°. Dans Yéquation y 6, &ç, = o , où tous les ter-
p p p p P ij
& . 1 I