tre m é rite dans le m êm e hom m e. V J e u . Article
de M. le Chevalier d e J a u c o u r t .
* ECHECHIRIA, f. f. (Myth.) déeffe des treves
ou fufpenfions d’armes ; elle avoit fa ftatue à Olym-
pie ; elle étoit repréfentée comme recevant une couronne
d’olivier.
E C H É E , f. f. en termes de Cardeur, eft une certaine
quantité de fil dévidé fur le dévidoir ; cette
quantité eft ordinairement de trois cents tours du
dévidoir.
* ECHELAGE, f. m. ( Jurifpr. ) terme de coutume
; c’eft le droit de pofer une échelle fur l’héritage
d’autrui, pour relever quelque ruine. Ce qui
eft droit d’échelage d’un côté, eft fervitude d'échelage
de l’autre.
* ECHELETTE, f. f. (Archit. (Econ. ruß. & Arts
mich.) c’eft une petite échelle, V. l'articleUcHELLE.
C ’eft ainfi qu’on nomme fur-tout celle qu’on place
fur le dos des bêtes de fommes, pour y placer de la
viande, du foin, de la paille, en un mot ce qu’on
veut tranfporter; & celle qu’on place fur le devant
d’une charrette ridelée, qui eft plus large en - bas
qu’en-haut, & qui fert dans ces cas à contenir le foin
dont la charrette eft chargée.
ECHELIER ou RANCHER, f. m. (Archit.) c’eft
une longue pieee de bois traverfée de petits échelons
, appellés ranches, qu’on pofe à plomb pour def-
cendre dans une carrière , & en arc - boutant pour
monter à un engin, grue, gruau, &c. (P)
E c h e l ie r , (Hydr.) voÿc^ R a n c h e r . (K)
ECHELLE, 1. f. en Mathématiques, confine en
une ou plufieurs lignes tirées fur du papier, du carton
, du bois, du métal, ou toute autre matière, di-
vilées en parties égales ou inégales. Ces échelles font
fort utiles, quand on veut repréfenter en petit &
dans leur jufte proportion, les diftances que l’on a
prifes fur le terrein.
Il y a des échelles de différente efpece, appropriées
à différens ufages. Les principales font.
L’échelle des parties égales , qui n’eft autre chofe
qu’une ligne,telle que A B (Planche d.’Arp.fig. 3 7 .) ,
divifée en un nombre quelconque de parties égales,
par exemple 5 ou 10 , ou davantage ; une de ces
parties eft enfuite fubdivifée en 10, ou un plus grand
nombre de parties égales plus petites.
Quand une ligne eft ainfi divifée ; fi une des plus
grandes divifions repréfente 10 d’une mefure quelr
conque, par exemple 10 milles ,10 chaînes ,10 tov-
fes, 10 piés, ou io pouces, chacune des petites divifions
que cette grande divifion contient, repré-
fentera un mille, une chaîne, une toife, un pié, ou
un pouce.
L’ufage de cette échelle eft fort aifé à concevoir.
Par exemple, fi l’on veut repréfenter par fon moyen
une diftance de 3 Emilie, ou de 3 2 perches, on prendra
avec le compas l’intervalle de trois grandes divifions
qui valent 30 ; & l’intervalle de deux petites
divifions, pour les unités : en traçant cette longueur
fur le papier, elle contiendra 31 parties de Véchelle,
dont chacune eft fuppofée valoir un mille ou une
perche, ou &c. S’il s’agiffoit de mefurer une ligne
quelconque avec une échelle donnée, on prendroit
la longueur de la ligne avec un compas,; & appliquant
une des pointes de cet inftrument fur une des
grandes divifions de Xéchelle , on remarqueroit oîi
tombe l’autre pointe: alors le nombre des grandes
& des petites divifions, qui fe trouveroit renfermé
entre les pointes du compas, donneroit le nombre
de milles, de perches, &c.
Les échelles proportionnelles, que l’on appelle aufli
logarithmiques, font des nombres artificiels ou des
logarithmes, placés fur des lignes, afin d’avoir l’avantage
de pouvoir multiplier, divifer, &c, avec
le compas. Voye^ Lo ça r ithm e .
E n Géographie & en Architecture u n e échelle eft
u n e lig ne d iv ifée en p arties é g a le s, & placée au-bas
d’une c a r te , d ’u n d effein , o u d’u n p la n , p o u r fe r-
v ir d e com m u n e m efure à to u te s le$ p arties d ’un b â tim
e n t , o u bien à to u tes les diftances & à tous les
lieu x d’u n e carte. Voyt{ C a r t e .
Dans les grandes cartes , comme celles des
royaumes & des provinces, &c. ¥ échelle repréfente
ordinairement des lieues , des milles , &c. c’eft ce
qui fait que l’on dit une échelle de lieues, une échelle
de milles , &c.
Dans les cartes particulières, comme celles d’une
feigneurie , d’une ville , d’une ferme, &c. l’échelle
repréfente ordinairement des perches, ou des toifes
fubdivifées en piés.
Les échelles dont on fait ordinairement ufage dans
le Dejfein, ou le plan d’un bâtiment, repréfentent
des modules, des toifes, des piés, des pouces, &
autres mefures femblables.
Pour trouver fur une carte la diftance entre deux
villes, on en prend l’intervalle avec lin compas ; &
appliquant cet intervalle fur l'échelle de la carte, on
jugera par le nombre de divifions qu’il renferme, de
la diftance des deux villes. Par la même méthode ,
on trouve la hauteur d’un étage dans un plan de bâtiment.
L ‘‘échelle de front, en Perfpeciive , eft une ligne
droite parallèle à la ligne horifontale, & divifée en
parties égales, qui repréfentent des piés, des pouces,
&c.
U échelle fuyante eft' aufli une ligne droite verticale
dans un deffein de perfpeôive, & divifée en
parties inégales, qui repréfentent des piés, des pouces
, &c. Harris & Chambers. (E)
Pour en donner une idée plus précife, foit Q M
(fig. iS de Perfpect.) une ligne horifontale divifée en
parties égales Q I , I I I , I I I I I , //ƒ/*% &c. & foit
tirée du point P , que je fuppofe être la place de
l’oe il, des lignes P I , P I I , P I I I , &c. qui coupent
en 1 , 2 , 3 , &c' ligne verticale Q B . Il eft aifé de
s’aflïirer à l’oeil, & de démontrer par la Géométrie,
qu’en fuppofant la ligne horifontale Q N divifée en
parties égales, les parties correfpondantes Q i , 1 2 ,
23, &c. de la verticale iront toûjours en diminuant;
& que menant P O horifontale, la verticale Q O fera
l’ échelle de toutes les parties de la ligne Q N , quelque
grande qu’on fuppofe cette derniere ligne : c’eft
ce qui a fait donner à l’échelle Q i l le nom ¥ échelle
fuyante. Pour avoir le rapport d’une partie quelconque
23 de l’échelle fuyante à la partie correfpondante
I I I I I , on mènera la verticale I I a , & on confidé-
rera que 23 eft à Ha comme P 2 eft à P I I , comme
M Qeft à M i l , & que l i a eft à I I I I I comme P ML
eft à M1I I ; donc 23 eft à I I I I I comme M Q multiplié
par P M eft à M i l multiplié par M I I I ; donc
en fuppofant les parties I I I I I très-petites par rapport
à la ligne entière. Donc les parties de Xéchelle
fuyante feront entr’elles à-peu-près dans la raifon
inverfe des quarrés des parties correfpondantes
M i l ; ou pour parler plus exactement, deux parties
voifines 23 , 34 de l’échelle fuyante, font entr’elles
comme M I V à M I I , c’eft-à-dire en raifon
inverfe des parties M I I , M IV . ( O)
E c h e l l e s a r i t h m é t iq u e s . Quoique nous
ayons déjà traité cette matière aux mots A r i t h m é t
i q u e , B i n a i r e , C a l c u l , D a c t v l o n o m ie ,
D é c im a l , & autres, l’article fuivant qui nous a été
communiqué fur ce même objet nous paroît digne
d’être donné au public. Il eft de M. Rallier des Our-
mes, confeiller d’honneur au préfidial de Rennes,
qui veut bien concourir à notre travail pour ce volume
& les fuivans, comme on le verra par plu-
fieufs
fleurs excellens articles qu’il nous a envoyés."
I. E c h e l l e a r i t h m é t iq u e , dit-il, eft le nom
qu’on donne à une progreflion géométrique par laquelle
fe réglé la valeur relative des chiffres Amples,
ou l’accroiffement .gra&e/ de valeur qu’ils tirent du
rang qu’ils occupent entr’eux.
Elle eft formée de puiffances confécutives d’un
nombre r, toûjours égal à celui des cara&eres numériques
Ou chiffres ( y compris o ) , auquel on a
trouve bon de fe fixer dans le fyftème de numération
établi ; & le premier & le plus petit terme en
eft r°.
II. Etant donc pofée une telle progreflion, fi l’on
Conçoit une fuite de chiffres pris comme on voudra,
qui lui correfponde terme à terme, on eft convenu
que la valeur relative de chacun d’eux feroit le produit
de fa valeur propre ou abfolue par la puiffance
d e r qui lui correfpond dans la progreflion. Cette
idée neureufe nous met en état de repréfenter nettement
& avec peu de caraderes les nombres les plus
grands & incapables par leur grandeur même d’être
faifis par notre imagination.
III. Comme les rangs des chiffres fe comptent dans
le meme fens qu’eft dirigé le cours des expofans potentiels
dans la progreflion, & que le premier exposant
eft o , il fuit que l’expofant de la puiffance eft
toujours plus petit d’une unité que le rang du chiffre
correfpondant ; enforte que nommant n le rang qu’occupe
un chiffre a quelconque dans fa fuite, l ’ex-
preflion de fa valeur relative eft généralement
« X r " ' 1.
Si l ’on cherche, par exemple, la valeur du 4 dans
'437, relativement à notre échelle, où r = 10 , & où
les rangs fe comptent de droite à gauche, on la trouvera
= 4x1©3 “ J = 4 x i o 2 = 4 x 100 =400.
' I V. Le nombre r eft dit la racine de Véchelle ; &
c ’eft de lui que l’échelle même prend fon nom. rj§§f|
iio fait nommer denaire celle dont nous nous fervons ;
r — 2 donneroit Y échelle binaire ; /•== 7 la feptenaire,
& c. «
V. La progreflion décuple qui conftitue notre
échelle, eft croiffante de droite à gauche, & nous
fuppoferons la même dire&ion dans toutes les autres
auxquelles nous pourrons la comparer ; mais
elle pouvoit l’être tout aufli-bien de gauche à droite.
O11 eût pû même lui donner une direction verticale
& la rendre croiffante, foit de haut en-bas, foit de
bas en-haut. En un mot Y arbitraire avoit lieu ici tout
Comme pour l’écriture-: fi nous dirigeons nos lignes
de gauche à droite, d’autres peuples les ont dirigées
& les dirigent encore de droite à gauche; d’autres
de bas en-haut ou de haut en-bas.
VI. r trop petit nous eût réduit à employer beaucoup
de caratteres pour repréfenter un nombre affez
médiocre, r trop grand nous eût obligé de multiplier
les cara&eres, au rifqiie de furchafger la mémoire
& aux dépens de la fimplicité. r — 10 femble entre
ces deux extrêmes tenir un jufte milieu. Ce n’eft
pas que quelques favans n’ayent penfé qu’on eût pû
mieux cnoifir. Voye^ Bin a ir e . Pour mettre le lecteur
en état de juger de leur prétention, nous allons
donner le moyen de comparer entr’elles les diverfes
échelles arithmétiques. Tout peut fe réduire aux cinq
ou même aux trois problèmes ci-après-:
VII. Problème 1. L’expreflion a d’un nombre étant
donnée dans Xéchelle ufuelle, trouver l’expreflion
du même nombre dans une autre échelle quelconque,
cjjOnt la racine b eft aufli donnée.
Solution. Cherchez la plus hatite puiffance de b qui
foit contenue dans a. Nommant n l’expofant de cette
puiffance, /z + i fera le nombre de chiffres de l’expreflion
cherchée. Pour l’avoir, divifez a par b , le
premier refte par bn~19 le fécond refte par b n ~ * &
Tome V,
de fuite jufqu’à bn n ou Æ0inclufivement.Taü3
ces qüotiehspris en nombres entiers & écrits à la fuite
1 un de l’autre dans l’ordre qu’ils viendront, donneront
l’expreflion cherchée dans Xéchelle dont la racine
eft b ; enforte que défignant lé premier refte par
r » le fécond refte par r, & c. la formule générale fera
bn bn -1 b 1 b^
WU M Un nombre exprimé par 4497 dans M
chelle ufuelle, comment le fera-t-il dans la feptenaire >
Subftituarit dans la for-
a — 4497?1 mule, on aura
i = 7 t>±i|1 . 11. l i . 2.
f : f ?4 $ 1 .6 .0 » . 3 = 1605.3.
e ne pourroit être exprimé dans IVainfi
On trouve. .
chelle binaire par moins de treize caractères.
' VIII. Problème z . L’expreflion A d’un nombre
étant donnée dans une échtlle quelconque (autre que
1 ufuelle), dont la racine b eft connue, trouver l’expreflion
du même nombre dans Xéchelle ufuelle.
Solution. Soient les chiffres du nombre A repréfentes
dans le même ordre par les indéterminées
c.d. e . f . . . . D .
Nommant /z-f 1 le nombre des chiffres de A , n fera
O*0,7-) l’expofant de la plus haute puiflance de b qui
y foit contenue. Cela pofé, multipliez refpeftivement
c par bn, d par bn~ *, & ainfi de fuite, jufqu’à
b° inclufivement, la fomme de tous ces produits
fera dans Xéchelle ufuelle l’exprefîion cherchée
du nombre propofé, dont la formule générale fera
cbn + d b n- 1 + ebn~1 . . . . + D b ^ L ^
Exemple. Un nombre exprimé par 16053 dans Yé-
chelle feptenaire, comment le fera-t-il dans Yéckelle
ufuelle ?
A = 16053
b = 7
c = 1 ; d = b , SccI
D ’où n — 4
Subftituant, on trouve
^><74 + 6 X71+ ôx7Z
'+ 5 X ? 1 + 3X 1=2401
,+ 2.058 + 0 + 3 5 + 3 = 14497’
IX. Problème 3 . L’expreflion a d’un nombre étant
donnée dans Xéchelle ufuelle, & l’exprefîion A du
même nombre dans une autre échelle, trouver la racine
b de cette fécondé échelle.
Solution. Par le problème précédent c £”+ dbn~*
. . . . +Z> £0;-d ,-d ’oùcÆn+ ^ bn~x. . . .-\-Db°
**“ a ~ o > équation du degré n , laquelle étant réfo-
lue donnera la valeur de b. Voyez E q u a t io n .
Exemple. Le même nombre eft exprimé par 4497
dans lechelle ufuelle, & par 16053 dans une autre
echtlle: quelle eft la racine b de cette fécondé échelle ?
Su b ftitu anton aura
a_ — 4497 0 après la réduûion
, N Â = i 6 053 l^ 4 + 6 ^ * + 5^—4494
D ou n = 4 • vc$l|l= o . . . équation à ré-
0 = 1 ; d— b, & c . j foudre.
Mais fans entrer dans aucun calcul, il eft aifé de
voir que b eft d’un côté < 10 ( puifqu’il y a plus dfe
chiffres dans A que dans a) , & d’un'autre côté > 6
(puifque 6 entre dans l’expreflion A ) ; effayant donc
les nombres entre 6 & 10, on trouve que 7 eft celui
qui convient, Sc qu’il réfoud l’équation.
X . Problème 4. Etant données les racines b & rde
deux échelles (toutes deux autres que l’ufuelle) avec
l’expreflion A d’un nombre dans la première, trouver
Pexpreflîon du même nombre dans la fécondé.
Problème i . Etant données les expreflions A & a
I i