mes pairs manquent,il eft évident que chaque racine
pofitive a fa pareille négative. Cela eft évident
: car faifant y y = 11 équation eft du troiiieme
degré. Voy, Abaissement. Or foient A , B , C 9 les
valeurs de {> on aura donc y y — A ; donc y = 4*
y/ A ,y = — y/ A : de même y\=. + y/ 2?,y = 4 y/C'.
Cèla pofé.
Soit a une des valeurs de y , — a en fera une autre
; &c Péquation * * + ƒ * + { donnera
* * -+ « * + 1 + V m H S * ' '
x x - a x + l + S + £ = o.
' Uéquation x x — y x-\-u> donnera
* * - a * + l+ - i j f - + £ = o
x x + à x + i + t î - £ = 0.
Ces deux dernieres équations reviennent au même
que les deux précédentes ; donc voilà déjà quatre
équations réduites à deux, & vingt-quatre à douze.
Je dis maintenant que x x +<ix + | ^ j_ — ,
donnera les mêmes racines que x x + ^ * 4- —-
+ Tl » en litppofant + b > — b deux autres racines de
Y équation y b -f- x q y * , &c. = o. Car fo i ty y — aaf
y y — bb9y y — c e , les trois racines, on aura x q
== — a a— b b — C c , r = a b c ; & les deux équations
précédentes deviendront x x +_<* x — -f* -*r —
+ r î j ‘ = o , & * * + 4* — y + i j - - ^
o , dont les racines font aifées à trouver, & font les
mêmes. On trouvera de même que x x + c x —
4- ^ Cp ab — o , donne encore les mêmes racines
; donc en général les douze racines fe réduifent
à quatre, & ces quatre feront
+ 4 ?.
+ ï + *=%. r ,
+ î + ‘- T ■
Car il faut remarquer que le ligne — de — répond
à + a x , & que le figne 4- répond à — a x ; il ne
faut pas prendre + a x avec -j- é c> ni — a x avec
Si on fait quatre équations fimples des quatre valeurs
précédentes de x 9 on formera par le produit
line équation du quatrième degré qui fera la même
que la propofée, en mettant pour q , s , r, leurs va-
«, aa—bb—cc o* an bb — date — b b ce t o , • leurs — - - - a "~ y 1— --------- ^".4; * & a b c.
Ainfi tout s’accorde parfaitement, comme on le
voit. Il y a quelques auteurs qui ont traité ce dernier
article des équations du quatrième degré avec
affez de foin ; mais, ce me femble, d’une maniéré
moins fimple que nous ne venons de faire.
En réfolvant d’une certaine façon quelques équations
du quatrième degré, on tomberoit dans un inconvénient
femblable à celui du cas irréduûible ,
ç’eft-à-dire qu’on trouveroit des quantités réelles
foiis une forme imaginaire. Soit, par exemple, x 4 —
= o , on a deux- racines réelles x = a 9 x = — a ,
& deux autres imaginaires x = \/ — a a , x — —
V — a a ; cependant fi on fuppofoit que Y équation
x 4 — a4 — o , fût venue de ces deux-ci x x -\-p x +
q ,x x — p x + q,OÀ troüvèroit x q — pp xzO,qq=:
— a4 : ainfi on auroit pour lës deux équations, dont
la multiplication produit -x4 ■— a4 , ces déux-ci :
* x ± .r ÿ/4 z y / ~ ^ i = o ;
x X~\Z x y/4 2- V' — a4 " t v — a4 = o ;
équations d’oîi l’on ne tirera que des valeurs de x
fous une forme imaginaire ; néanmoins de ces différentes
valeurs une fera = a, & une autre =j — a,
Voye^ fur cela Y article Imaginaire. Voye^ aujji les
mémoires de l'acad. de Berlin , 174Ç 9 & Y ouvrage cité
de M. de Bougainville.
Il eft aifé de voir par tout ce qui a été dit, qu’il
n’y à jufqu’à préfent que les équations du fécond degré
dont on ait une folution complété ; car i° . les
équations du troiiieme degré tombent fouvent dans le
cas irréductible. 2°. Si une équation du troifieqie degré
a une racine réelle & commenfurâble, cette racine
commenfurable fe préfente fous une forme in-
commenfurable, & il faut du travail pour la dégager
de cette forme. Voy. Racin e & Ex tr a c t io n . 3®.
Les équations du quatrième degré fe réduifent, comme
on vient de le voir, au troiiieme, & font par
conféquent fujettes aux mêmes inconvéniens.
Lorfqu’une équation du troiiieme degré a une racine
commenfurable , le plus court moyen de la déterminer
, eft d’elfayer tous les divifeurs du dernier
terme ; M. Newton, dans fon arithmétique univerfelle,
a donné une méthode pour abréger confidérable-
ment cét effai. Nous ne dirons rien de cette méthode
, qui a été fuffifamment expliquée & développée
par MM. Gravefande & Clairaut, dans leurs élémens
d'Algèbre.
Paffé le quatrième degré, on n’a plus de méthode,'
même imparfaite & tronquée, pour réfoudre les
équations. Si la racine eft réelle, il faut elTayer les
divifeurs du dernier terme; fi elle eft incommenfu-
rable, il faut tâcher de connoître à-peu-près cette
racine en nombres entiers, & fe fervir enfuite de la
méthode expliquée au mot Ap prox im a t ion , pour
approcher de plus en plus de là vraie valeur, La difficulté
eft d’avoir d’abord la racine cherchée exprimée
à-peu-près en nombres entiers ou rompus ; on
n’a point de méthode générale pour cela ; on n’a que
des tentatives & des effais ; la méthode des cafcades
expliquée à Y article Ca s c a d e , eft très-limitée, &
par conféquent très-fautive.fCette méthode fuppofe,
i° . que la propofée ait toutes fes racines réelles ; 20.
que Y équation du maximum des y ait aufll toutes fes
racines réelles ; 3°. que l’on puiffe connoître toutes
les racines de cette derniere équation du maximum ,
ou du moins qu’on les puiffe connoître à-peu-près,
ce qui revient à la même difficulté.
Si on trouve deux quantités a , b, peu différentes
l’une de l ’autre, qui étant fubftituées à la place de x
dans Une équation , donnent l’une un réfultat pofitif,
l’autre un réfultat négatif, il s’enfuit que la valeur
qui donne le réfultat = o, & qui eft la vraie racine
de Y équation, fera entre a & b. En effet conftruifons
une courbe de genre parabolique 9 nous verrons
clairement que fi une valeur de x donne l’ordonnée
pofitive, & qu’une autre valeur de x donne l’ordonnée
négative, la valeur de x qui donnera l’ordonnée
= 0 , fera entre ces deux-là: mais il n’en faut pas
condurè, que fi on diiqinue, ou qu’on augmente
tant foit peu cette valeur de x , qui donne le réfultat
= o , on aura deux réfultàts de figne différent ; car il
eft évident qu’une courbe parabolique peut atteindre
fon axe fans le couper, mais en le touchant feulement
; & en général poilr qu’une quantité paffe par
lé zéro, il n’eft point néceffaire que les deux états
voifins de cette quantité, l’un avant, l’autre après
l’égalité à zéro, foient des états oppofés. Cela eft
clair par les tangentes parallèles au diamètre du cerclé
, où l’ordonnée pofitive devient zéro, & redevient
enfùite pofitive, & par une infinité d’autres ça#
femblables. '
Dans les mémoires de Y academie dés Sciences pour
l'année 1747, page S65, on trouve un favant mémoire
de M. Fontaine fur la réfolution des équations.
L’auteur annonce qu’il donne ce mémoire pour l'a-
nalyfe en entier, telle qu'on ta cherche 9 dit-il inutilement
depuis l'origine de Y Algèbre. Il fe propofe en
effet de donner dans cet ouvrage des réglés pour déterminer,
dans une équation quelconque propofée,
i° . la nature & le nombre des racines, c’eft-à-dire fi
elles font réelles, égales ou inégales, toutes pofiti-
v e s , toutes négatives, ou en partie pofitives & négatives
, ou enfin imaginaires en tout ou en partie.
L’auteur fuppofe dans cet ouvrage la vérité d’un
théorème que j’ai démontré le premier, & dont il a
déjà été fait mention plus haut : favoir que toute racine
imaginaire d’une équation peut toujours être exprimée
par a -f- b y/— 1 , a & b étant deux quantités
réelles, & qu’il y a en ce cas encore une autre racine
exprimée par a — b \/— 1. Nous n’entrerons
point ici dans le détail de la méthode donnée par
M. Fontaine; elle eft fi bien expliquée dans le mémoire
cité, & préfentée avec tant de précifion, que
nous ne pourrions ablolument que là tranferire ici' ;
nous y renvoyons donc le leâreur. Nous ferons feulement
les remarques fuivantes ,dans lefquelles nous
fuppolerons qu’il ait le mémoire fous les yeux. ^
i°. La quantité ou fon&ion formée des coefficiens
m, n, p , &c. (qui eft égale à zéro dans certains cas,
plus grande que zéro dans d’autres, & plus petite
dans d’autres) fe trouve, en faifant égales entr’elles,
Quelques quantités parmi les racines de Y équation;
car il y a toûjours autant de quantités af bi ci d , &c.
dans les, racines de Y équation qu’il y a de coefficiens
m f n , p", q, &c. on a donc autant dééquations entre
a y b y c y dy 8>cc. & /n , n , /;, y , &c. qu’il y a de coefficiens
m, n,py q ; & on ne peut arriver à une
quantité ou équation finale, de laquelle a y b y e9 d ,
& c . ayent difparu, que dans le cas où quelques-unes
des quantités a , £, Cydy &c. feront égales; autrement
, après toutes les opérations ordinaires defti-
nées à faire évanouir les inconnues at b yC,d, (voy.
Ev an o uir) &c. il en refteroit toûjours une, puif-
qu’il y auroit autant dé équations que d’inconnues.
Prènons, par exemple, un des cas que M. Fontaine
a propofés, x 1 — 3 * 4 - 1 — 0, ou x x — mx-\- nzs.
o ; on trouve que ( *—<z) ( * — b~) ou (x—a + b y/ — 1 )
a — b y/—1) où ( * — b + a y/— ï ) ( x —b— a
y/—i) peuvent être les trois fyftèmes de faéleurs de
cette formule. Or pour que les deux premiers fyftè-
jmes de fatteurs deviennent les mêmes, il faut que
dans le premier fy ftème b = a9Sc que dans le fécond
b — o ; d’où l’on tire xx~-zax-\-aa = xx-~mx-\-
n ; donc ot==2<x,« = a <* = ^ » donc dans le cas
d e a = b , ona m m — j^n — o. Maintenant pour que.
le fécond & le troiiieme fyftème de fa&eurs deviennent
le même, il faut que b = a dans les deux fyftèmes
; ainfi on aura x x — i.ax-\-aa-\- aa — o; donc
%i ~ t. a, n = : ia a = ; donc mm — x n — o;
ainfi mm — ^n&cm m— xn font les deux quantités
égales, plus grandes ou plus petites que zéro, qui
doivent déterminer ici les racines égales ou les racines
réelles, ou les racines imaginaires, & de plus le
figne & la forme des racines.
2°. On voit affez par la nature de la méthode de
M. Fontaine, qu’un fyftème de fa&eurs étant donné
dans le fécond, ou même dans le troiiieme degré,
on trouvera la nature de la formule dé équation qui
en ré'fulte, c’eft-à-dire le ligne de chaque coefficient
de cette formule ; mais on ne voit pas, ce me femble,
avec la même clarté comment on déterminera
la formule qui réfulte d’un fyftème de fadeurs, dans
le s équations plus compolées que le troiiieme degré ;
ni s’il fera toujours polîible d’alfignér exactement
toutes les formules qui réfultent d’un même fyftème
de fadeurs, en cas que ce fyftème puiffe produire
plufieurs formules. Il feroit à fouhaiter que ceux qui
travailleront dans la fuite d’après la méthode de ML
Fontaine, s'appliquaient à développer ce dernier
objet.
3°. M. Fontaine fuppofe que la quantité qui eft =3
o dans le cas de la coïncidence de deux fyftèmes de
fadeurs , eft néceffairement plus grande que zéro
pour l’un de ces fyftèmes de fadeurs, & plus petite
pour Pautre. Il eft vrai qu’il arrive le plus fouvent
qu’une quantité égale à zéro dans l’hypothèfe de
deux quantités qui coïncident, eft pofitive & négative
dans les deux cas immédiatement voifins ; mais
cela n’arrive pas toûjours. Par exemple, lorfqu’une
courbe de genre parabolique touche fon axe, &c que
par conféquent l’abfciffe * répondante à l’ordonnée
y — o, a deux racines égales, il arrive fouvent qu’en
faifant * plus grande ou plus petite qu’une de ces racines
, on a y pofitive dans les deux cas. Ce n’eft pas
tout. Il pourroit arriver que dans les cas infiniment
voifins, ou extrêmement voifins de celui qui a donné
l’égalité à zéro, la quantité formée de mt n , p%
q y &c. fut plus grande que zéro pour un de ces cas,
& plus petite pour l’autre ; mais eft-il bien certain
que dans les cas qui ne feront pas fort voifins de celui
qui a donné l’égalité à zéro, il y en aura toujours
un qui donnera la fondion > o , & que l’autre
donnera la même fondion < o ? Une courbe qui
coupe fon axe en un point, a près de ce point enr
deffus & en-deffous des ordonnées de différens lignes
; mais il eft très-poffible que toutes les ordonr
nées au-deffus & au-deffous ne foient pas n.éceffaire-
ment de différens lignes, parce que la courbe peut
encore couder fon axe ailleurs. M. Fontaine dit que’
s’il y a plufieurs fondions = o , il fera toûjours facile
de reconnoître laquelle de ces fondions eft toûjours
plus grande que zéro dans l’un des deux fyftèmes, de
toûjours moindre dans l’autre ; il femble que, fuivant
fon principe, dès qu’une fondion eft égale à zéro
dans le cas de la coïncidence de deux fyftèmes dç
fadeurs, elle eft toujours plus grande que zéro dans
un de ces fyftèmes, & moindre dans l’autre. S’il y a
des cas où cela puiffe n’avoir pas lieu (comme M.
Fontaine femble l’infinuer), pourquoi, dira-tTon ,
n’arriveroit-il pas quelquefois que cela n’auroit lieu
dans aucun cas ?
Enfin M.Fontaine détermine par le calcul d’uu
feul cas numérique particulier d’un des deux lyftè-
mes, celui où la fondion eft > o , &C celui où la fondion
eft plus petite. Cela peut être encore fuje.t à dif»
ficulté ; car cela, fuppofe que la formule eft toujours
> o dans un des cas, & toûjours <(o dans l’autre. Or,
dira-t-on, ne pourroit-il pas arriver que la formule
fût à la vérité toûjours > ou < o , dans lesdeujfcas
pris enfemble ; mais qu’après avoir été plus grande
que zéro dans l’un de ces cas, jufqu’à une certaine
valeur des quantités a 9 b , c , d y &c. & plus petite
dans l’autre cas, elle devînt enfuite plus petite que
zéro dans le premier cas, & plus grande dans le fécond
?
Nous ne prétendons point par ces difficultés attaquer,
ni encore moins renverfer la méthode de M.
Fontaine ; elle nous paroît pleine de fagacité & de H-
neffe, & digne de toute l’attention des favans ; nous
la regardons comme une nouvelle preuve du génie
fupérieur que l’auteur a déjà montré dans d’autres
ouvrages (voyeç Intégral & T autochron e) ;
nous délirons feulement que M. Fontaine trouve ces
difficultés affez capables d’arrêter les géomètres,
pour daigner les lever entièrement dans un autre
écrit, & mettre fa méthode à l’abri même de toute
chicane. Afin de l’y engager, voici à quoi nous r£-