il
I
du même nombre en deux échelles autres qite l rt-
fuelle, avec la racine h de la première, trouver la
racine de la fécondé.
Solution commune. Si dans l’un & dans 1 autre cm; j
on réduit ( par le problème II.) l’expreffion A à 1H
chelle ufuelle, le problème IV. ne fera plus que le
premier , ni le problème V . que le troifieme. ^ ^
Exemple pour le problème 4. Un nombre exprime
par 16053 dans Y échelle feptenaire, comment le fera-
t-il dans la duodénaire ?
16053 réduit ( problème 2.) à l’échelle ufuelle, devient
4497; puis cherchant (problème 1.) 1 expref-
fion de 4497 dans 1 '•échelle duodenaire, on trouve
2.729. I
Exemple pour le problème 5. Le meme nombre qui
eft exprimé par 16053 dans l’ échelle feptenaire , 1 eft
par 2729 dans une autre echelle: quelle eft la racine
de cette fécondé échelle ?
160 5 3 réduit à l1échelle ufuelle , devient 4497 »
puis opérant (problème 3.) fur 4497 8c fur 2729,
on trouve 12 pour la racine de la fécondé échelle.
* Echelle , (Anatomie.) il fe dit des deux rampes
ou contours du limaçon. Voye^ Limaçon.
Echelle , c’eft en Mujîque, le nom qu’on a donné
à la fucceflion diatonique de fept notes, ut, re,
mi, f a , fol, la, f i ; parce que ces notes fe trouvent
rangées en maniéré d’échelons fur les portées de la
Mufique.
Cette énumération de tous les fons de notre fyftème
rangés par ordre , que nous appelions échelle ,
les Grecs pour le leur l’appelloient diagramme. On
peut voir au mot Système, le diagramme complet
de toute la Mufique ancienne.
S. Grégoire fut le premier qui changea les tétra-
cordes des anciens en un eptacorde, ou fucceflion de
fept notes ; au bout defquelles commençant une autre
oéïave, on trouve les mêmes fons répétés dans
le même ordre. Cette découverte eft très-belle ; 8c
il eft fingulier que les Grecs qui voyoient fort bien
les propriétés de l’o&ave, ayent crû malgré cela
devoir refter attachés à leurs tétracordes. Grégoire
exprima ces fept notes avec les fept premières
lettres de l’alphabet latin ; Guy Aretin donna
d’autres noms aux fix premières : mais il négligea
d’en donner un à la feptieme note, qu’en France
nous avons depuis appelléef i , 8c qui n’a point encore
d’autre nom que b chez la plupart des peuples
de l’Europe. Voye[ Gamme.
Il ne faut pas croire que les rapports des tons 8c
femi-tons dont Y échelle eft compofée, foient des choies
arbitraires, & qu’on eût pû par d’autres divisons
donner aux fons de cette échelle un ordre & des
rapports différens, fans diminuer la perfection du
fyftème. Notre fyftème eft le meilleur, parce qu’il
eft engendré par les confonnances 8c par les différences
qui font entr’elles. « Que l’on ait entendu
» plufieurs fois, dit M. Sauveur, l’accord de la quin-
» te 8c celui de la quarte, on eft porté naturellement
h à imaginer la différence qui eft entre eux ; elle s’u-
» nit & fe lie avec eux dans notre.efprit, 8c parti-
» cipe à leur agrément : voilà le ton majeur. Il en va
• "» de même du ton mineur, qui eft la différence de la
» tierce mineure à la quarte, & du femi-ton majeur
» qui eft celle de la même quarte à la tierce majeu-
» re ». Or le ton majeur, le ton mineur, & le femi-
ton majeur, voilà les degrés diatoniques dont notre
échelle eft compofée félon les rapports fuivans.
U t, f a , f o l , la , f i ,
Pour fervir de preuve à ce calcul, il ne faut que
compofer tous ces rapports, 8c l’on trouvera le
rapport total en raifon double, c ’eft-à-dire, comme
un eft à deux : ce qui eft en effet le rapport exa&des
deux termes extrêmes, ou de Y ut à fon oâave.
U échelle dont nous venons de parler, eft celle
qu’on nomme naturelle ou diatonique ; mais les modernes
divifant fes degrés en d’autres intervalles plus
petits, en ont tiré une autre échelle qu’ils ont appellée
échelle femi-tonique ou chromatique; parce qu’elle
procédé par femi-tons.
Pour former cette échelle, on n’a fait que partager
en deux intervalles égaux chacun des cinq tons entiers
de l’oftave ; ce qui, avec les deux femi-tons
qui s’y trouvoient déjà, fait une fucceflion de douze
femi-tons fur treize, d’une oftave à l’autre.
L’ufage de cette échelle eft de donner les moyens
de moduler fur telle note qu’on veut choilir pour
fondamentale, 8c de pouvoir faire fur cette note un
intervalle quelconque.Tant qu’on s’eft contenté d’établir
pour tonique une note de la gamme à volonté,
fans s’embarraffer fi les fons par lefquels devoit paf-
fer la modulation, étoienf avec cette note dans les
rapports convenables, Y échelle femi-tonique étoit
peu néceffaire ; quelque dièfe, quelque f i bémol,
compofoient tout ce qu’on appelloit [es feintes de la
Mufique : c’étoient feulement deux touches à ajouter
au clavier diatonique. Mais depuis qu’on a crû
fentir la néceflité d’établir entre les divers tons une
fimilitude parfaite, il a fallu trouver des moyens de
tranfporter les mêmes chants 8c les mêmes intervalles,
plus haut & plus bas, félon le ton qu’on choi-
fiffoit. U échelle chromatique eft donc devenue d’une
néceflité indifpenfable, & c’eft par fon moyen qu’on
porte un chant fur tel degré du clavier que l’on
veut choifir, 8c qu’on le rend exa&ement, fur cette
nouvelle pofition, tel qu’il peut avoir été imaginé
fur une autre.
Ces cinq fons ajoûtés ne forment pas dans la Mu-
flque de nouveaux degrés : mais ils fe marquent tous
fur le degré le plus voifin par un bémol, fi ce degré
eft plus haut ; par un dièfe, s’il eft plus bas ; 8c la note
prend toûjours le nom du degré où elle eft placée*
Poye{ Bémol & Dièse.
Pour afligner maintenant les rapports de ces nouveaux
intervalles, il faut favoir que les deux parties
ou femi-tons qui compofent le ton majeur, font dans
les rapports de 15 à 16, 8c de 128 à 135 ; & que les
deux qui compofent aufli le ton mineur, font dans
les rapports de 15 à 16, & de 24 à 25 : de forte qu’en
divifant toute l’oâave félon Y échelle femi-tonique ,
on en a tous les termes dans les rapports fuivans.
U t, u t ré, mi],, mi, fa , fa % , f o l , f o l% , la, fi\>, f i ,
1 * 128 1 5 U - , 1 — , 1 i_L 24 i_L 128^
tï y a encore deux autres éfpeces d*échelle femi-
îônique, qui viennent de deux autres maniérés de
divifer l’octave par femi-tons.
? La première fe fait en prenan^une moyenne arith*
inétique ôu harmonique entre les deux termes du
ton majeur, &: üh autre entre ceux du ton mineur :
c,e qui divife l’un 8c l’autre ton en deux femi-ton$
preique égaux. Ainfi le ton majeur 8 9 eft divifé en
'16 17 , 17 18 arithmétiquement , les nombres fe-
préfentant les longueurs des cordes : mais quand ils
'repréfentènt les vibrations, les longueurs des cor-
- ■ U t, ini-yfa,
f S m iT S ?u ,a 9 * ; :-2 p * T ô * T f *
M. Salmon rapporte dans les tranfaétions philo-
fophiques, qu’il a fait en préfence de la fociété
royale, une expérience de cette échelle fur des cordes
divilees exa&ement félon ces proportions , 8c
.qu’elles furent parfaitement d’accord avec d’autres
inftrumens , touchés par les meilleures mains. M.
Malcolm ajoûte qu’ayant calculé & comparé ces
rapports , il en trouva un plus grand nombre de
faux dans cette échelle , que dans la précédente :
mais que les erreurs étoient confidérablement plus
^petites ; ce qui fait compenfation.
Enfin l’autre échelle femi - tonique eft celle, des
'Ariftoxéniens, dont le P. Merfenne a traité fort au
long , 8c que M. Rameau a tenté de renouveller
-dans ces derniers tems. Elle confifte à divifer géométriquement
l’o&ave par onze moyennes proportionnelles
en douze femi-tons, parfaitement égaux.
Comme les rapports n’en font pas rationels, nous
ne donnerons point ici ces rapports, qu’on ne peut
: exprimer que par la formule même, ou par les logarithmes
des termes de la progreflion entre les extrêmes"
1 & 2. Foye{ T e m p é r a m e n t . (S)
• L’échelle diatonique des anciens n’étoit pas difpo-
fée de la même maniéré que la nôtre ; elle procédoit
ainfi, f i ut ré mi fa fo l la : d’oii l’on voit i° . qu’elle
•commençoit par un demi-ton, & par la note fenfible
de la tonique ut, 8c qu’elle n’alloit pas jufqu’à l’octave
: 2°. qu’elle étoit compofée de deux tétracordes
•conjoints f i ut ré mi, mi fa fol la, 8c parfaitement
femblables. Ces tétracordes s’appellent conjoints ,
parce qu’ils font joints par la note mi, qui leur eft
.commune ; de plus, ils font femblables , parce que
la baffe fondamentale la plus fimple du premier eft
■ fol ut fo l ut, 8c que celle du fécond eft. ut fa u t fa ,
qui procédé précifément de même par intervalles de
quintes ; d’où il s’enfuit que la progreflion des fons
mi fà fo l la , eft précifément la même que celle des
fons f i ut ré mi, enforte que de mi k fa , il y a même
rapport que def i k ut, defak fo l, que de ut à ré, 8cc.
30. on voit de plus pourquoi cette échelle n’enferme
que fept tons ; car pour qu’elle allât jufqu’au f i , il
faudroit que ce f i pût avoir fo l pour baffe fondamentale
, ce fo l étant fa feule baffe naturelle. Or le la
précédent a pour baffe fondamentale fa : on auroit
donc fa. fo l de fuite diatoniquement à la baffe fondamentale
, ce qui eft contre les réglés de cette baffe
(voye{Ba s s e f o n d a m e n t a l e , L i a i s o n , &c. voy.
aufji l'art. P r o s l a m b a n o m e n e ) : 4 0. on voit enfin
que dans cette échelle, la du fécond tétracorde eft
tierce de fa fa baffe, comme mi du premier tétracorde
l’eft d’ut fa baffe : 50. enfin, on trouvera facilement
par le calcul, fuivant les méthodes connues &
pratiquées ci-deffus, que du ré au la la quinte n’eft
pas parfaitement jufte^ mais qu’elle eft altérée d’un
comma (voyeç ce mot) ; & que du ré au fa , la tierce
eft altérée de même.
Il eft fingulier que les Grecs, qui paroiffent n’a-
yoir eu aucune connoiffance développée de la baffe
Tome K,
des font rêèjpifOqUes * 8c en'proportion harmoni-*
ques, comme 1 f ; ce qui met le femi - ton ma*
jeur f i'a u grave , & le mineur f | à l’aigu félon
la propriété de la divifion harmonique. De la même
maniéré, le ton mineur 9 10 fe divife arithmé-1
tiquement en deux femi- tons r8- 19 & 19 20, ou
réciproquement 1 : mais cette demiere divi*
lion n’ett pas ^harmonique.
Toute l’ottave ainfi calculée, donne les rapports
fuivans.
% , fo l, fo lM , la , f i f i , ut.
17 H 22 26 17 1 1
Tir* i 9 *v, ,4 * !' ’ ï 7* Tir*'. 16*
fondamentale, Payent dévinéè implicitement, pbur
ainfi dire, en formant leur fyftème diatonique d’une
maniéré fi fimple & fi conforme à la progreflion la
plus naturelle 8c la moins compofée de cette baffe.
On va voir que notre échelle eft plus compofée 8c
moins exaéte. 1 Il faut l’arranger ainfi, ut té mi fa
fo l, fol la f i u t, & lui donner pour fa baffe fondamentale
la plus fimple ut fo l utfa ut, fo l ré fol ut. On
voit déjà que cette baffe eft plus compofée 8c moins
fimple que la précédente, puifqifelle a un fbn ré de
plus, & qu’outre cela elle eft de neuf fons en tout.
2°. Le la, dans Y échelle diatonique, eft quinte du ré;
8c on trouvera que ce la ne fait pas avec fa une tierce
majeure jufte, ni avec ut une tierce mineure juf-
te , ni une quarte jufte avec mi, 8c que la tiercé mineure
de re k fa eft altérée aufli. Voilà donc quatre
intervalles altérés ici ; au lieu que dans Y échelle des
Grecs, il n’y en a que deux. Voye{ fur cela les ouvrages
de M. Rameau , entr’autres fa démonfiratiort
du principe de l ’harmonie , le rapport des commiffaires
de l ’académie imprimé à la fuite, & mes élément de
mufique. Dans Yéchelle ut ré mi fa fol lafi ut, les deux
tétracordes ut ré mi fa , fo l la f i ut, font disjoints ,
parce qu’ils n’ont aucun fon commun. De plus, ces
deux tétracordes, ou plûtôt les deux parties ut ré
mi fa fo l, fo l la f i ut, de T échelle moderne , font réellement
dans deux modes différens ; le premier dans
celui dlut, le fécond dans celui dufol (voy. Mode) ,
au lieu que les deux tétracordes f i ut ré mi, mi fa fol
la, de l’échelle ancienne font tous deux dans le mode
d’ut.
En ne répétant point ïe fon fol dans notre gamme,
on peut lui donner cette baffe fondamentale ut fol ut
fa ut ré fo l ut, dans laquelle le fécond ré & le fécond
fo l porteront accord de feptieme (voye{ D o u b l e
e m p l o i ) ; ainfi la baffe ne fera point fimplifiée
par-là, excepté peut-être en ce que Y échelle entière
fera alors dans le même mode.
Quand Y échelle diatonique defeend én cette forte,-
ut f i la fo l fa mi ré u t, la baffe fondamentale n*eft
point la même qu’en montant; elle eft alors Ut fo l ré
fo l tufol ut, dans laquelle le fécond fol porte accord
de feptieme, 8c répond à la fois aux deux notes con*
fécutivesyè/ fa de l ’échelle.
Nous n’avons parlé jufqu’ici que de Y échelle diatonique
du mode majeur. On peut faire des raifonne-
mens analogues fur celle du mode mineur, & en remarquer
les propriétés. Voyt{ Mode , Gamme , &c.
Voyez aufli mes élémens de mufique. (O )
Echelle, (Jurifprud.j eft une efpece de pilori
ou carcan, 8c un ligne ou marque extérieure de juf-
tice, appofé dans une place, carrefour, ou autre
lieu public.
Le terme d’échelle doit être plus ancien 8c plus général
que celui de pilori ; car la première échelle ou
poteau tournant appellé pilori, eft celui de Paris aux
halles, qui fut ainfi nommé par corruption de puits
lorri, parce qu’il y ayoit autrefois dans ce lieu le
I i i j