de principes qu’eft établi tout l ’art-analytique, an
moins pour ce qui regarde la geometffe readrgne,
en y ajoûfant feulement là' prspofit. i du VI. livre
d’Ëuclide, lorfque la queftion propose regarde des
jiufaces, & aüffi quelques; propofitions -des XI. &
XII. livres. En effet toutes les difficultés des problèmes
de là géométrie refliligne peuvent fe réduire à
la feule compofition des lignes & à la fimuitude des
triangles ; de forte qu’il ne fe rencontre jamais d oc-
cafion.de faire ufage d’autres théorèmes, parce que
tous lès autres théorèmes dont on pourrôit fe fervrr,
peuvent fe réduire à ces deux-là, & que par confe-
quent ces derniers peuvent leur être lubflitues dans
quelque folution que ce puiffe être. I
6°. Pour accommoder ces théorèmes a la conitruc-
tlon des problèmes, il eft fouvent néceffaire d'augmenter
la figure, foit en prolongeant certaines lignes
iufqu’à ce quelles en coupent d’autres, ou qu elles
deviennent d’une certaine longueur ; foit en tirant
des parallèles ou des perpendiculaires de quelque
point remarquable.; foit en joignant quelques points
remarquables ; foit enfin-comme cela arrive quelquefois
en conftruifant une nouvelle figure fuivant
d’autres méthodes, félon que le demandent les problèmes
& les théorèmes dont on veut faire ufage
pour la réfoudre. . ,1 '
Par exemple, fi deux lignes qui ne fe rencontrent
point l’une & l’autre, font des angles donnés avec
une certaine autre ligne, on peut les prolonger juf-
qu’à ce qu’elles fe rencontrent ; de maniéré qu on
aura un triangle dont on connoîtra tous les angles,
& par eonféquent le rapport des: côtés ; ou bien fi
un andé eft donné , ou doit être égal à un angle
quelconque, fouvent on peut compléter la figure,
& en former un triangle donné defpece , ou tem-
blable à quelqu’autre : ce qui fe fa it , fort en prolongeant
quelques-unes des lignes delà figure, loit
en tirant une ligne qui fouftende un angle. Si un triangle
propofé eft obiiquangle, fouvent on le refoud en
deux triangles rectangles, en abaiflant une perpendiculaire
d’un des-angles fur le côté -oppofé. Si la que-
.ftioïf.regarde des figures de plufieurs. cotes, on les
refoud er. triangles par des lignes diagonales, & amfi
des autres : maisd faut toujours avoir attention que
par cès divifions la figure fe trouve partagée, on
en triangles donnés, ou en triangles femblables, ou
en triangles rectangles ( '
Ainfi, dans l’exemple propofé, on tirera la dia-
gonale B D , afin que le trapèfe A B C D puiffe fe
'refoudre en deux triangles, l’un reaangl eA B D ,& c
-l’autre obiiquangle B C D ( fig. S.). On refondra en-
fuite le triangle obiiquangle en deux triangles rectangles
en abaiflant une perpendiculaire de quel-
qu’un des angles B ,C ,D , {m le côté oppofé; par
exemple, du point B fur la ligne C D , qu on pro-
: longera en E , afin que B E- puiffe la rencontrer perpendiculairement.
Or comme les iüigXesBAD &
B C D pris enfemble font deux droits (par la prop.
12, du III. Eucl.), aufli-bien que B C E & B C D , il
s’enfuit que les angles B A D & B C E font égaux;
• par eonféquent les triangles B C E & D A B font
femblables. Ainii prenant A D , A B U B C pour
données, & cherchant C D , on peut faire le calcul
rde la maniéré fuivante. A D & A B donnent B D
-à calife du triangle re&angle A B D . A D , A B , BD
BC, à caufe des triangles femblables A BD & CE B,
donnent B E U C E .B D & B E donnent E D , à
caufe du triangle re&angle B E D , 6c E D —E C
■ donne CZ?. Ainfi on aura une équation entre la valeur
de la ligne CD trouvée par ce calcul , & la valeur
de cette même ligne exprimée par une lettre
é algébrique. On peut aufli (& fouvent il vaut mieux
fuivré cette méthode, que de pouffer trop loin un
feul & même calcul) ; on peut, dis-je, ççmunencer
le calcul par différens principes , ou au moins le
continuer par diverfes méthodes, pour arriver à une
feule & même conclufion, afin de pouvoir trouver
deux valeurs différemment exprimées de la même
quantité, lefquelles valeurs puiffent être enfuite faites
égales l’une à l’autre. Ainfi A D , A B U B C 9
donnent B D , B E & C E , comme ci-devant, en-
fuite C D + CE donne E D , enfin D B & È D donnent
B E , à caufe du triangle re&angle B E D.
7°. Ayant choiû & déterminé la méthode fuivant
laquelle on doit procéder, & fait fa figure, on donne
d’abord des noms aux quantités qui doivent entrer
dans le calcul, c’eft-à-dire defqueiles on doit tirer
la valeur des autres jufqu’à ce qu’on arrive à une
équation; pour cela on aura foin de choifir celles qui
renferment toutes les conditions du problème, Se
qui paroiffent, autant qu’on peut en juger, les plus
propres à rendre la conclufion fimple & facile, de
maniéré cependant qu’elle ne foit pas plus fimple que
le fujet & le deffein du calculateur ne le demandent.
Ainfi il ne faut point donner de nouveaux noms aux
quantités dont on peut exprimer la valeur par celle
des quantités à qui on a déjà donné.de_s noms. Par
exemple, fi une ligne donnée eft divifée en parties,
ou fi on a un triangle reétangle, on doit laiffer fans
nom quelqu’une des parties de la ligne ou toute la
ligne entière, ou un des côtés du triangle , parce
que les valeurs de ces quantités peuvent fe déduire
de la valeur dés données, comme dans l’exemple
déjà propofé. Si on fait A D z = x & tB A x z a , on ne
marquera B D par aucune lettre , parce qu’elle eft
le troifieme côté du triangle reftangle ABD , &c que
par eonféquent fa valeur eft V x x — & a ■ Si on nomme
enfuite B C, b, on verra que les triangles femblables
D A B & B C E donnent^ D : A B : : B Cz
C E . Or de ces quatre lignes les trois premières font
déjà données ; ainfi on ne donnera point de nom
à la quatrième C E , dont la valeur fe trouvera être
— par le moyen de la proportion précédente. Si
donc on nomme D C , c, on ne donnera point de
nom à D E , parce que fes parties D C & C E , étant
l’une c , l’autre a- j , leur fournie c + ^ eft la va-,
leur dz D E .
8°. Par les différentes opérations qu’on fait pour
exprimer les lignes auxquelles on n a point donné
de noms, le problème eft déjà prefque réduit à une
équation; car après qu’on a exprimé ainfi les différentes
lignes qui doivent entrer dans la folution de
la queftion propofée., il ne faut plus que faire attention
aux conditions du problème, pour découvrir
une équation.
Par exemple, dans le problème dont nous avons
déjà parlé, il ne faut que trouver par le moyen des
triangles reâangles B C E & B D E , deux valeurs
de B E ; en effet on aura B C Z — C E * ou b b —
= B E 1 & B D * - D E * , ou x x - a a ^ - c * c -
■ xabj iîA* = B E* . Egalant enfemble ces deux valeurs
de B E * , & ôtant — ^ 9 on aura l’équation
bb — x x — a a — c c — , qui délivrée des 'Frac-;
tions, donne x} ■ =. a a x -\~b b x + 2 a b c -f- c c x .
q°. A l’égard de la géométrie des lignes courbes,'
on a coûtume de déterminer ces lignes, ou en les
fuppofant décrites par le mouvement local de quelques
lignes droites, ou en les repréfentant par des
équations qui expriment indéfiniment le rapport de
certaines lignes droites difpofées entr’elles dans un
certain ordre & fuivant une certaine loi , & terminées
à la courbe par une de leurs extrémités. Voye^
C o u r b e 6* L i e u .
Les ancienjs déterminoient les courbes, ou par lei
Mouvement continu de quelque point, oit par les
feftions des folides, mais moins commodément qu’on
iie les détermine par la fécondé des deux maniérés
dont nous venons de parler. Lés calculs qui regardent
les courbes, lorfqu’on les décrit de la première
maniéré, fe font par une méthode femblable à celle
que nous avons donnée jufqu’ici. Suppofons, par
exemple, que A K C (fig. <>,.) foit une ligne courbe
décrite par le point vertical K d’un angle droit AK<p,
dont un côté A K puiffe fe mouvoir librement, en
paflant toujours par le point A donné de pofition,
tandis que l’autre côté K $ d’une longueur déterminée
coule ou gliffe le long d’une ligne droite A D ,
iaufti donnée de pofition. On demande de trouver le
point C, dans lequel une ligne droite C D aufîi donnée
de pofition doit couper cette courbe : pour cela
on tirera les lignes A C , C F , qui peuvent repréfen-
ter l’angle droit dans la pofition qu’on cherché ; on
mènera la perpendiculaire C B fur A F ; on s’appliquera
enfuite à trouver le rapport des lignes * fans
examiner celles qui font données ou celles qui ne le
font pas, & on verra que toutes dépendent de C F,
& de l’une des quatre lignes B C , B F , A F U A C ;
fuppofant donc C F — a, & C B — x , on aura d’abord
B F \/aa — x x , U A B — ÿaa_ kk ; car à
caufe des triangles reélangles A CF, CBF, on a B F :
BC : : BC : A B . De plus, comme CD eft donnée de
pofition, A D eft donnée ; ainfi on apellera-^Z?,^; on
connoît aufli la raifonde BC à B D , qu’on fuppofe-
ra comme d à c t & on aura B D c= e-j- & A B 2= b —•
- j : donc b — -j- Si ôn quarré les deux
membres de cette équation, & qu’on les multiplie en-
fuite par a a — x x , on réduira l’équation à cette forib
d de x> + aa ee— b b d d x x — la abdex+aaibdd .
Une x 4 = ---- . ' r dd + ee " --------- 9
& par le moyen des quantités données a, b > d , e ,
on tirera de cette équation la valeur de x. Cette valeur
de x ou de B C étant connue , on tirera à la
diftance B C une ligne droite parallèle k A D , qui
coupera la courbe, & C D au point cherché C.
Si, au lieu de deferiptions géométriques, on fe
fert équations pour défigner les lignes courbes, les
calculs deviendront encore plus Amples & plus faciles
, puifqu’on aura moins d’équations à trouver ;
ainfi fuppofons que l’on cherche le point d’interfec-
tion C de l’ellipfe donnée A C E (fig. 10.) avec la ligne
droite CD donnée de pofition ; pour défigner
l ’ellipfe, on prendra une des équations qui la déterminent
, comme r x ~ j x x x =-yy, dans laquelle a?
marque une partie indéterminéeZ? ou A b de l’axe
prife depuis le fommet A , U y une perpendiculaire
B C , terminée à la courbe, & où r & q font données
par l’efpece donnée de l’ellipfe. Or, puifque C D eft
donnée de pofition, A D fera aufli donnée ; on la
nommera A , U B D fera a x ; l’angle A B C fera
ûufli Sonné, & par eonféquent le rapport de B D à
B C, qu’on fuppofera être celui de 1 à c >• & B C (y)
fera a e — e x , dont le quarré e e a a — 2 e 2 a x
t e x x doit être égal à r x Cette équation
étant réduite, donnera x x — — —— --------- ou
a t t + ^ r - ^ è V a r + L L — *
X = -----------> ; l-r"*------Î 5S i .
4
On remarquera qtie lors même que î’ort detetmihe
les courbes par des deferiptions géométriques ou par
des ferions de folides, on peut toujours les défigner
par des équations , ôc que par confequent toutes
les difficultés des problèmes qu’on peut propofer fur
les courbes, fe réduifent au cas où on envifageroit
les courbes fous ce dernier point de vue. Ainfi dans
le premier exemple (fig. $ .) , fi A B eft appellé x ,
U B C , y , la troifieme proportionnelle B F fera.
dont le quarré joint au quarré B C eft égal à CF*
c’eft-à-dire que ^— \ -y y z= a a o u y 4 + xxyyz±.
a a x x . Par cette équation on peut déterminer tous
les points C de la courbe A K C , en trouvant là longueur
de chaque ligne B C qui répond à chaque partie
de l’axe A B ; & cette équation peut être fort
utile dans la folution des problèmes qu’on aura à ré-
fôudre fur cette côurbei
Quand une courbe n’eft point donnée d’efpece ;
mais qu’on propofé de la déterminer, on peut fup-
pofer une équation à volonté qui exprime fa nature
d’une maniéré générale; on prendra cette équation
pour la véritable équation de la courbe, afin de pouvoir
par ce moyen arriver à des équations, par là
moyen defqueiles on déterminera la valeur des quantités
qu’on a prifes pour données.
Jufqu’ici nous n’avons fait que traduire l’article
équation à-peu-près tel qu’il fe trouve dans l’Encyclopédie
angloife* Cet article eft tiré prefque en entier
de l’Arithmétique univerjelle de M* Newton ; il eft aifé
d’y reconnoître en effet la main d’un grand maître;
& nous avons crû devoir le donner tel qu’il eft par
cette raifon, Y Arithmétique univerfelle n’ayant point
d’ailleurs été traduite jufqu’ici en nôtre langue. Mais
il refte encore fur la théorie des équations beaucoup
de chofes à dire pour rendre cet article complet dans
un ouvrage tel que l'Encyclopédie* Nous allons tâcher
de fatisfaire à cet objet ; & quoique la matière
ait déjà été fort maniée dans un grand nombre d’ouvrages
, nous efpérons montrer qu’elle a été traitée
d’une maniéré infuffifante à plufieurs égards, & là
préfenter d’une maniéré prefque entièrement nou-4
velle.
Je ne parlerai point ici de la maniéré de préparer
une équation, en faifant évanouir les fractions, les
radicaux, & toutes les inconnues, excepté une feule,
&c. C es opérations feront détaillées au mot Ev a nouir.
Je ne parlerai point non plus de l’abaîffement des
équations. Voye^ ABAISSEMENT & RÉDUCTION.
Je ne parlerai point enfin des équations du premier
degré, e’eft-à-dire de celles où l’inconnue ne monté
qu’ à une dimenfion : leur folution eft fans difficulté*
y. T ransposition. J’entrerai donc en matière par
les équations d’un degré plus élevé que l’unité ; je les
fuppofe abaiffées au plus petit degré poffible, & délivrés
de radicaux & de fraâions, enfin ordonnées
fuivant les dimenfions de l’inconnue x , c’eft-à-dirô
de maniéré que le premier terme contienne x élevée
au plus haut degré, que le fécond terme contienne x
élevée au plus haut degré fuivant, & ainfi de fuite
jufqu’au dernier terme , qui ne contiendra point x /
je fuppofe enfin que le premier terme n’ait d’autre
coefficient que l’unité (nous enfeignerons au moi
T ransformation cette maniéré de préparer 1’«-
quation) , & que le fécond membre de Y équation foit
zéro.
Soit d o n c * p x m 1 Jr q xm~’1 * . . . + r== 0,
Y équation à réfoudre, dans laquelle il faut trouver
la valeur de ** ......... :
Il eft évident, par l’énoncé même de la queftion,
qu’il faut trouver une quantité a, pofitive ou négative
réelle’ou imaginaire, qui étant fubftituée à la
place de et dans x m + p xm~ I + & c. tout fe détrui-
fe. Je fuppofe qu’on ait trouvé cette quantité a ,
je dis que la quantité x m + jp xm~1 + q x m " 1 « 4 * 1