(fig. 21. n. 2.) de la maniéré expliquée ci-deffus.
Ou en la définifl'ant par une de fes propriétés fup-
pofée connue, c’eft une ligne courbe dans laquelle
le quarré de la demi-ordonnée P M (Jig. 2.1.) eft au
reftangle des fegmens A P , 8>c B P de l’axe, comme
le paramétré eft à l’axe ; ainfi fuppofant A B = a, le
paramétrés b, P M = y , A P — x , on aura b: a-.:
y y . a x—x x s & par coniéquent a y y = a b x —b x x .
Nous ne donnons point la démonftration de cette
propriété, parce qu’elle fe trouve par-tout. Nous
avons expofé les différentes définitions qu’on peut
donner de Yellipfe, & cette derniere propriété peut
être regardée, fi l’on veut, comme une des définitions
qu’on peut en donner, auquel cas la démonstration
en feroit Superflue. Mais la meilleure maniéré
de traiter de Yellipfe & de toutes les Serions coniques
géométriquement, eft de les confidérer d’abord
dans le cône, d’en déduire leur équation, & de les
transporter de-là Sur le plan, pour confidérer plus
facilement leurs propriétés, & pour trouver, fi l’on
veut, la maniéré de les décrire par un mouvement
continu, ou par plufieurs points. Ainfi des propriétés
de Yellipfe transportée & confidérée Sur le plan,
réSulte la description de Yellipfe telle que nous l’avons
donnée au mot C o n iq u e .
J’ai dit que la meilleure maniéré de traiter géomé-
triquementles Seûions coniques, & en particulier Yellipfe
y étoit de les faire .naître dans le cône ; car Sx on
veut les confidérer algébriquement par la nature &
les différences de leurs équations, la meilleure maniéré
eft celle dont j’ai parlé au mot C o n iq u e . Voy.
àufji les articles COURBE 6- CONSTRUC TION.
Si on prenoit les abfciffes * au centre C, on trou-
veroit y y = ( ^ — x x ÿ ^ j . Quelquefois cette
équation eft plus commode que a y y — a b x— b x x .
De cette derniere équation il sfenfuit, i°. quey y—
b x } c’eft-à- dire que le quarré de la demi-ordonnée
eft égal au re&angle du paramétré par l’abfciffe
, moins un autre reûangle formé par la même
abfciffe, & une quatrième proportionnelle à l’axe,
au paramétré, & à l ’abfciffe.
20. Le paramétré, l’abfciffe, & la demi-ordonnée
d’une ellipfe, étant donnés, on trouvera l’axe en faisant
ces proportions b : y : : y : y- j , $cx WÊÊ : x : :
x : a. V oy e z CO N S T R U C T IO N .
30. L’abfciffe A P , l ’axe A B , & l’ordonnée PM,
étant donnés, on trouve le paramétré en faifant b =
-dLZ-L— I conftruifant enfuite cette valeur de b Suivant
les réglés expliquées au mot C o n s t r u c t io n .
40. Si du grand axe A B comme diamètre ( figure
22. ) , on décrit un cercle A C B ,&c que par le foyer
F on mene F C ordonnée à l’axe, F C Sera la moitié
du petit axe, & F D la moitié du paramétré du grand
axe. Car l ’aSfciffe G F — yf ( F E 1 — G E*~) = y/
a é tant le quarré du petit axe. V. P a r a m
é t r é & F o y e r ; Or C F Z = a-~ — G F * , par la
propriété du cercle ; donc C F — —L L = la moitié
du petit axe. Or C F 1 eft à D F 2, comme la moitié
du grand axe eft au demi-paramétré, c’eft-à-dire
comme le quarré de la moitié du petit axe eft au
quarré de la moitié du paramétré; donc D F — la
moitié du paramétré. Le cercle qui a pour diamètre
le grand axe de Yellipfe, eft appellé circonfcrit à Yellipfe;
le cercle qui a pour diamètre le petit axe, eft
appellé cercle injerit : en effet le premier de ces cercles
eft extérieur, le. Second intérieur à Veliipjè.
ç°. Le paramétré & l’axe A B étant donnés, on
prouvera facilement l’axe conjugué , puilque c’eft
line moyenne proportionnelle entre l’axe & le paramétré
; à quoi il faut ajouter que le quarré du demi
axe conjugué eft égal au reèlangle formé Sur B f
à c fA (Jig. 2 / .) ou fur A F & B F.
6°. Dans une ellipfe quelconque, les quarrés des
demi-ordonnées P M , pm , &c. font entr’eux comme
les reélangles formés Sur les fegmens de l’axe :
d’où il s’enfuit que D C 2 : P M~ : : C B 7- : A P x
B P , & par conséquent D C 2 : B C1 : : P M 2 : A P x
B P ; c’eft-à-dire que le quarré du petit axe eft au
quarré du grand, comme le quarré de la demi-ordonnée
eft au reélangle formé fur les fegmens de
l’axe.
70. La droite F D (fig. 24.) tirée du foyer F à l’extrémité
du demi-axe conjugué, étant égale à la moitié
de l’axe tranfverfe A C , il s’enfuit que les axes
conjugués étant donnés, on peut aifément déterminer
les foyers. Pour cela on coupera le grand axe
A B en. deux parties égales en C , on élevera du
point C la perpendiculaire C D égale au demi-axe
conjugué ; enfin du point D pris pour centre, & de
l’intervalle C A , on décrira un arc de cercle, il déterminera
les foyers F & ƒ par fes interférions avec
le grand axe.
8°. Comme lafomme des deux droites FM Sc fM ,
tirées des deux points F & c f , au même point de la
circonférence M , eft toujours égale au grand axe
A B , il s’enfuit .de-là que les axes conjugués d’une
ellipfe étant donnés, on peut facilement décrire Yellipfe.
Voyez C o n iq u e .
90. Le re&angle formé fur les fegmens de l’axe
conjugué eft au quarré de la demi-ordonnée, comme
le quarré de l’axe conjugué eft au quarré du grand
axe ; d’où il s’enfuit que les coordonnées à l’axe conjugué
ont entr’elles un rapport analogue à celui qui
régné entre les coordonnées au grand axe.
io°. Pour déterminer la foûtangente P T (figure
2 3.) & la foûnormale P R dans une ellipfe quelconque
, on fera : comme le premier axe eft au paramétré
, ainfi la diftance de la demi-ordonnée au centre
eft à la foûnormale. Voyez So û n o r m a l e .
i i °. Le reèlangle fous les fegmens de l’axe eft
égal au reûangle formé de la diftance de la demi-
ordonnée au centre & de la foûtangente. Voyez
S o û t a n g e n t e .
12°. Le reâangle fait de la foûtangente & de la
diftance de l’ordonnée au centre, eft égal à la différence
du quarré de cette diftance & du quarré du demi
axe tranfverfe.
130. Dans toute ellipfe le quarré de la demi-ordonnée
à un diamètre quelconque, eft au quarré du de-
mi-diametre conjugué, comme le reûangle fait fous
les fegmens du diamètre eft au quarré du diamètre;
& par conféquent le rapport des demi-ordonnées
des diamètres eft le même que celui des ordonnées
des axes ; le paramétré d’un diamètre quelconque
eft aulïi une troifieme proportionnelle à ce diamètre
& à fon conjugué.
Nous avons rapporté ces propriétés de Yellipfe la
plûpart fans démonftration, pour deux raifons : la
première, afin que le leèleur ait fous les yeux dans
un affez petit efpace les principales propriétés de
Yellipfe, auxquelles il peut joindre celles dont on a
déjà fait mention à Yarticle C o n iq u e . La fécondé
raifon eft de donner au leéleur l’occafion de s’exercer
en cherchant la démonftration de ces propriétés.
Toutes celles que nous venons d’énoncer fe dé-
duifent aifément de l’équation y y — (a x — x x")
- ou ~ ~ x x ) - , félon qu’on prendra les abfciffes
au centre ou au fommet, pour démontrer plus
Amplement ces propriétés. Pour démontrer les propriétés
des foyers, on nommera C F (fig. 21.) f i &
on remarquera que fi « eft le fécond axe, on aura
j f — l l En voilà plus qu’il n’en faut
pour mettre le le&eur fur la voie. On peut remarquer
ici en paffant que le cercle eft une efpece d'el-
ûpfe dans laquelle les foyers coïncident avec le
centre. I I
Pour trouver les tangentes de Yellipfe, rien n eft
plus fimple & plus commode que d’employer la méthode
du calcul différentiel ; on a y y ± b x -------- ;
d o n c 2 y dy=zb d x — 2 . * t l • d o n c la foû tan g en te
L y - b Voyez les articles SoÛ TA N G EN -
t e 6* T a n g e n t e . A l ’égard de la foûperpendicu-
culaire ou foûnormale, elle eYty- j-J o u —
b- — Lf. En voilà affez pour démontrer les propofi-
tions énoncées ci-deffùs au fujet des tangentes de
Vellipfe.
Nous avons déjà vû au mot C o n iq u e , & nous
prouverons encore au mot Q u a d r a t u r e , que la
quadrature de Yellipfe dépend de celle du cercle,
puifque Yellipfe eft au cercle circonfcrit en raifon du
petit axe au grand. A l’égard de la reélification de
Yellipfe, c’eft un problème d’un genre fupérieur à celui
de la quadrature du cercle, ou du moins tout-à-
fait indépendant de cette quadrature, R e c t i f
i c a t i o n ; vcye^auffii_dans les mémoires que j’ai
donnés à l’académie de Berlin pour l’année 1746,
& dans le traité du calcul intégral de M. de Bougainville
le jeune , les différentielles qui fe rapportent à
la re&ification de Yellipfe.
Au lieu de rapporter Yellipfe à des coordonnées
reêiangles ou à des ordonnées parallèles, on peut
confidérer fon équation par rapport à l’angle que
font avec l’axe les lignes menées du foyer. Cette
confidération eft utile dans l’Aftronomie, parce que
les planètes, comme l’on fait, décrivent des ellipfes
dont le foleil eft le foyer. Or fi on nomme a la moitié
du grand axe d’une ellipfe , fia. diftance du foyer
au centre, q le cofinus de l’angle qu’une ligne menée
du foyer à Yellipfe , fait avec l’ax e , r la longueur
de cette ligne ; on aura r — “ “ Z/{ > fi on rapporte
l’équation au foyer le plus éloigné, & . r = / f >
li on la rapporte au foyer le plus proche. De-là on
peut tirer la folution de plufieurs problèmes aftro-
nomiques, comme de décrire une ellipfe dans laquelle
trois diftances au foyer font données, &c.
Voyez les mémoires de Vacadem. de Berlin pour l’année
1747, & plufieurs autres ouvrages d'Afironomie.
Mais la maniéré la plus générale de confidérer
Yellipfe en Géométrie, eft de la confidérer par l’équation
aux ordonnées parallèles. Nous allons entrer
dans quelques confidérations fur ce fujet, qui pourront
être utiles aux commençans, peut-être même
aux géomètres plus avancés.
L’équation d’une ellipfe rapportée aux axes, les
coordonnées étant prifes au centre, eû.y y = k —
g x x , k exprimant un quarré ou re&angle connu ,
& g un nombre confiant & connu ; cela réfulte de
ce qu’on a vû ci-deffus. Transformons les axes de
cette courbe, de maniéré qu’ils ne foient plus rectangles,
fi on v eu t, piais qu’ils ayent la même origine
, & fervons-nous pour cela des réglés expliquées
aux articles CO U R B E & TR AN S FO RM A T IO N ,
on verra qu’en fuppofant un des axes dans une.po-
fition quelconque, il fera pofîible de donner une telle
pofition à l’autre, que l’équation transformée foit
de cette forme uu = m — n n , m & n marquant
aufli des confiantes déterminées. En effet fuppofons
eue l’angle des premiers axes foit droit, que E foit
l’angle du nouvel axe avec l’un‘des axes primitifs,
& F l’angle q u e l’a x e ch erch é fa it a v e c l’ax e conju
g u é à l’axe p rim itif ; fo it finus E = e , cofinus E =
y/i — e e , on a u ra finus 90 -f- E = y /i — e e, cofin.
90 -f■ E=z — e ; foit finus F = f , & cofinus F =
^ 1 " •/ / . S trou y e ra p f y f + ( x — )
fin. £___
finus 90 + E —F , t k ( x ---- r _________
V l/ ~ 7 7 fin. 9© + E - F X
Or finus 90 -f- E — F = fin. 90 4- E x ^ 1 * -ƒ ƒ-*
ƒ cofin. 90 4- E (voyeç S i n u s ) = v 'i — f f X
V 1 — e e-\-fe. Subftituant ces valeurs, & chaffant
x & y , on aura une équation en z 6c en u, qui fera
la transformée de l’équation y y = k — g x x ; & fuppofant
dans cette transformée que les termes où fe
trouve u z fe détruifent, on aura la valeur de / en
e convenable pour cela, & l’équation u u ==m —
n z z> Cela pofë,
Il eft vifible que pour chaque z > u a toûjours deux
valeurs égales, l’une pofitive, l’autre négative ; que
lorfque z == , on a u = o dans chacune de ces
deux valeurs, & qu’ainfila tangente à l’extrémité
d’un des deux axes eft parallèle à l’autre axe, & réciproquement
; car la tangente eft une ordonnée
qui coupe la courbe en deux points coïncidens.
Voyez T a n g e n t e & C o u r b e . On verra de plus que
ƒ = o rend e = o ; que ƒ = 1 rend e = 1 , 1 reprélen-
tant le finus total ; que ƒ = — 1 rend e = — 1 , & qu*-
ainfi il n’y a que deux axes dans Yellipfe qui -fe coupent
à angles droits ; mais que ƒ = + r, r étant moindre
que 1 , donne deux valeurs de e aufli égales én-
tr’elles, & qu’ainfi il y a toûjours deux diamètres
différens qui font avec leur conjugué le même ang
le , fi cet angle eft moindre qu’un droit. Qn peut
aufli déduire des valeurs dé / en e , de celles de m
& n , que le reftangle des deux axes eft égal au parallélogramme
formé fur deux diamètres conjugués ,
& que le quarré des deux axes eft égal au'quarré des
deux diamètres. Mais ces propofitions peuvent encore
fe démontrer de la maniéré fuivante, qui eft
bien plus fimple. f ,
Pour démontrer que les parallélogrammes for*
més autour des deux diametrqs conjugués font
égaux, imaginez un diamètre infiniment proche d’un
des conjugués, & enfuite imaginez le conjugué à cç
diamètre infiniment proche. Achevez les deux parallélogrammes
, ou plûtôtle quart de ces parallélogrammes
, vous verrez à l’inftant, & pç>ur ainfi dire
à l’oeil, par le parallélifme des tangentes aux diamètres
conjugués, que ces deux parallélogrammes
infiniment proches font* égaux ; leur différence, s’il
y en avoit, ne pouvant être qu’infiniment petite du
fécond ordre par rapport à eux. Donc, &c.
Pour démontrer maintenant que la fomme des
quarrés des diamètres conjugués eft confiante, conservez
la même figure , appeliez a un des demi-dia-
metres, b fon conjugué, a 4- d a , le demi-diametre
infiniment proche de <2, b—dble demi-diametre conjugué
; il faut donc prouver que aa-\-bb = aa-\-
2 a d a-\-b b — 2 b. db (voyez D IF F É R E N T IE L ) ou
que a d a — b d b. Or traçant du centre de l’ ellipfe &:
des rayons a, b, deux petits arcs de c e r c le * , z> on
verra d’abord évidemment que les deux quarts (Yellipfe
renfermés entre les demi-diametres conjugués^
font égaux, & qu’ainfi a x=z b z- Or x eû à d a &
Z eft à d b , comme le finus de l’angle des diamètres
eft au cofinus du même angle ; donc x : d a f . z :db £
donc puifque a x = b z» on aura a d a — b db.
On obje&era peut-être que ces deux démonftra-
tions font tirées de la confidération des quantités infiniment
petites, c’eft-à-dire d’une géométrie tranf-
cendante fupérieure à celle des ferions coniques."Je