réponds que les principes de cette géométrie font
fimples & clairs, & qu’ils doivent etre préférés des
qu’ils fourniffent le moyen de démontrer plus aile- .
ment. Foy. Infini & D ifférentiel. En effet, pourquoi
ne mettra-t-on pas à la tête d’un traité des lec-
tions coniques des.principes de calcul différentiel,
lorfque ces principes Amplifieront & abrégeront les
démonflrations ? J’ofe dire que l’opinion contraire
ne feroit qu’un préjugé mal fondé. Il y a cent raiions
pour la détruire, & pas une pour la foûtemr. Les
principes de la géométrie de l’infini étant applicables
à tout, on ne fauroit les donner trop tôt; & d elt
bien aifé de'les expliquer nettement. On doit traiter
le problème des tangentes d’une courbe par le calcul
différentiel, celui de la quadrature & de la rectification
par le calcul intégral, & ainfi du r e l i e , parce
que ces méthodes font les plus fimples & les plus
aifées à retenir. Foye^ Elémens & Mathématiques.
H H , La maniéré dont nous venons de démontrer 1 égalité
des parallélogrammes circonfcrits à Vellipfe, a donne
occafion à M. Euler de chercher les courbes qui peuvent
avoir une propriété femblable. Foye^ les mem.
de Berlin , année i y46.
Au lieu de confidérer d’abord Vellipfe par rapport
à fes axes, on peut la confidérer, comme nous a vons
fait dans l'article Conique , par rapport a fon équation
envifagée de la maniéré la plus générale. Cette
équation, comme on le peut voir à l'article eue, le
réduira toujours à l’équation des diamètres u u =e
m _ n ^ i , en ne faifant même changer de poution
qu’une des coordonnées. Voye1 Courbe , «S’c.
Le fphéroïde formé par une ellipfe autour de Ion
axe, eft à la fphere qui a cet axe pour diamètre,
comme le quarré de l’axe elt au quarre de Ion conjugué
; c’eft une fuite du rapport des ordonnées correspondantes
de Vellipfe & du cercle qui a le meme axe. Voyti Sphéroïde ; voye{aujjiles articles.COEUR
(Géométrie') & CONOÏDE.
Nous a v ê S aït ci-deffus & au otàConique,
comment on décrit Vellipfe par un mouvement continu
; cette maniéré de la décrire eft la plus fimple
qu'on puiffe employer fur le terrein, & même,fur le.
papier'rimais toutes lès deferiptions organiques de
courbes furie p’apierfont'incBÉimodes. V iyt{Compas
elliptique. La defeription par plufieurs points
doit être préférée, y ay e{ DtscüiPTiuN ét CounBK.
On peut décrire Yclliffepor plufieurs points, en di-
vifant en raifon du petit àxé au grand les ordonnées
du cercle circor.fcrit. Voyt^ù. la fin du I I . livré e s
feBons coniques de M. de l’Hopifàl, plifiiürs umts,
méthodes très-fimples de décrire riellipfe par plufieurs
points. Il y a des géomètres tjui enfeignent a décrire
Vellipfe (ut le papier par un mouvement continu,
iiiivant la méthode qui fera expliquée à Y article Oval
e - mais cette méthode ëft fautive: ce n eft point
une ellipfe qu’on décrit, c’eft un compofé d’arcs de
cercle qui forment une ovale à la v u e , & qui n elt
pas même proprement une- courbe géométrique. Aucune
portion lYcllipji n’eft ur. arc de cercle. La p.euve
en eft, quele'ïàyondeladévelçppeede'cette courbe .
n’eft conftant en aucun enclrdit. On peut le démontrer
d’une infinité d'autres maniérés. Voye^-Deve-
loppèk 6-Oscûlatecr. , , „ .
On,a; déjà dit un mot de l’ufage, de lOttpJetom
l’Aftronômie, & on a vû ci-deffus que ^ étant 1 anomalie
vraie, a la diftancé moyenne, & ƒ 1 excentricité
( Foye{ Anomalie & Excentricité ) , on a
la diftancé r de la planete au foyer = i or
iuppofant/très-petite par rapport à a , on peut ai-
iément réduire en férié cette valeur de r. Foye^Qi-
nome, D éveloppement, & Série; de plus l’ele-
ment du fçfteur qui repréfente l’anomalie moyenne
E L L
(Voyei L o i de Kepler «S* Anomalie) eft proportionnel
à d z a ~ lf —_ A a - ƒ col.*)1 ?; d’où^ il eft aife de con/*
dure par les fériés fk. le calcul intégral, que fi £eft
l’anomalie moyenne, on aura £ = { 4~ i ƒ fin. ç 4~
^ f in . 3 i + f— fin. 3 1 y & c. & par la méthode du
retour des fuites (' Voye1 Suite 6* Retour) , on au-
ta î/ f in . f-l-L^-fin. a ji$ -
, &c. ainfi on a également la valeur de l’anomalie
moyenne par la vraie, ou celle de la vraie
’ par la moyenne, ce qui dônne la folution du problème
de Kepler développé au mot Anomalie. J ai
mis ici ces formules, afin que les Aftronomes puif-
fent s’en fervir au befoin. Foye^ Equation du
CENTRE.
Si Vellipfe eft peu excentrique, & qu’une des lignes
menées au foyer foit a -\-%, l’autre fera a—1 ,
{ étant une très-petite quantité ; donc le produit a a —
£ £ de ces deux lignes peut être regardé comme conftant
6l égal à a a , à caufe de la petiteffe de 1 £. Or
fi des deux extrémités,d’un arc infiniment petit dV-
lipfe on mene des lignes à chaque foyer, on trouvera
, après avoir décrit de petits arcs du foyer comme
centre & des rayons a - f { , a — { , que ces petits arcs
font égaux ; nommant donc * chacun de ces petits
arcs , on trouvera que le feéleur qui a a -J- ç pour
! rayon, eft a &que l’angle qui a a — { pour
rayon, eft —~ ; donc le rapport du fecteur à l’angle
eft — 1— ; donc il peut être cenfé conftant, fur
quoi voye^ l’article fuivant E l l i p s e de M. Caffini.
De ce que la fomme des lignes menées aux foyers
eft confiante, il s’enfuit, comme il eft aifé de le
vo ir, que menant deux lignes d’un même point aux
deux foyers, la différentielle de l’une eft égale à la
différentielle de l’autre prife négativement. Or on
conclura de-Ià tres-ailement, & par la plus fimple
géométrie élémentaire, que les deux lignes dont il
s’agit font des angles égaux avec la tangente qui
pall'e par le point d’où elles partent. Donc un corps
partant du foyer d’une ellipfe & choquant la furface,
fera renvoyé à l’autre foyer. Voye£ R é f l e x io n .
De-là l’ufage de cette propriété dans l’Acouftique &
& dans l’Optique. Voye{ Miroir, E ch o , C a b inets
SECRETS. Voilà encore une propriété de 1 el-
lipfe que le calcul différentiel, ou plutôt le fimple
principe de ce calcul démontré tres-elegamment &
très-fimpiement. Si les deux foyers d’une ellipfe s e-
loi«nent jul'qu’à arriver aux extrémités du grand axe,
Vellipfe devient alors une ligne droite ; & fi un des
foyers reliant en place, l’autre s’en éloigne à l’infini
, elle devient parabole. Voye^ Parabole-
Ellipfes à l’infini ou de tous les genres, ce font
celles qui font défignées par les équations générales
a y m^ n = b xmx a—x n, & que quelques-uns appel-,
lent elliptoïdes. Foye{ Elliptoïde: Mais ces mots
ou façons de parler lont peu en ufage. " ' ;
Vellipfe ordinaire eft nommée ellipfe apollonïenne
ou $ Apollonius, quand on la compare à celles-ci,
ou qu’on Veut l’en diftinguer. V. Apollonien. (O ) Ellipse de M. Caffîni , autrement nommée cajffi-
noide, eft une courbe que feu M. Jean Dominique
Càffini avoit imaginée pour expliquer les mouvè-
mens des planètes ; cette courbe a deux foyers F , f
ïfig. 24.), dont la propriété eft telle que le; produit
FM x M f de deux lignes quelconques menées de
ces foyers à un point quelconqùe M de la courbe,
eft toujours égal à une quantité confiante ; àu lieu
que dans Vellipfe ordinaire ou d’Apollonius , c elt
I la fomme de ces lignes, & non leur produit, qui eft
égale à une quantité confiante. M. l’abbé de Cua
dans fes ufages de Vdnalyfe de Defcartes , a déterminé
les principales propriétés de cette courbe. Il y examine
les différentes figures qu’elle peut avoir, &
dont nous avons rapporté quelques-unes à Varticle Conjugué , & il conclud que cette courbe n’a pas
été bien connue par ceux qui en ont parlé avant lui,
fi on en excepte cependant l’illuftre. M. Grégory. ,
yoye[ ajlron. phyfiq. & géométr. élément, page 33 /•
édit, de Geneve, 1726, ou les tranf phil. Sept. 1704.
Pour avoir une idée des propriétés de cette courbe
, foit a fon demi-axe,/ la diftancé d’un des foyers
au centre, x i’abfciffe prife depuis le centre,y l’ordonnée
, on aura, comme il eft aifé de le prouver
parle calcul ( x x — i f x + f f + y y ) (xx-\- 2/3:4*
f f + y y ) = (a a — f ’/ 1 2, par la propriété de cette
comb e ,ou (y y + f f + x x f i — 4 f f x r a a ~
ƒ ƒ ) % ou enfin y = l—f f — x x + y ( a a - f f ) *
+ q f f x .x ] ; donc, B cette équation ne donnera
jamais que deux valeurs réelles tout au plus poury*
l ’une pofitive, l’autre négative, & égale à la pofiti-
ve ; car les deux valeurs qu’on auroit en mettant le
ligne — devant \/(aa—f f ) z 4-4/rivxferoientimaginaires
, puifquey feroit la racine d’une quantité négative.
20. En fuppofant même le ligne - f devant
cettedemierequantité, il eft vifibleque.la valeur
de y ne fera réelle que quand (<z<z—/ / ) 2 4* 4f f x x
fera > ou = (//4~ x x ) % , c’eft-à-dire quand a4 —
2 / f a a -f-, 'i . f f x x — x 4 fera > ou == o. Donc fi
( “ * - ƒ £ ) ? eft > ( * * - ƒ ƒ ) * ou
donnée fera réelle, finon elle fera imaginaire.
Donc fi a a = 2 f f , l’ordonnée fera nulle au centre
, & la courbe aura la figure d’un 8 de chiffre ou
lemnifeate ( Vyye^ Lemnis c ate) ; car on aura alors
x x = ou > 2 / /— a a , condition pour que l’ordon-
néé foit nulle ou réelle. Si 2_//> a a , les.ordonnées
réelles ne commenceront qu’au point où x —
^ y / x f f—a a , & elles finiront au point où^:=<z,*
car (a a —f f ) 2 doit aufîi être > ou = (x x — f f f 1*
Ainfi dans ce cas la courbe fera compofée de deux
courbes conjuguées & ifolées, diftantes l’une de l’autre
de la quantité 24/2 f f —aa ; & fi. dans cette fup-
pofition on a de plus a— \/% f f — a a ou ƒ a , la
courbe fe réduira à deux points conjugués uniques.
Si ƒ > a , la courbe fera totalement imaginaire.
Enfin fi 2 / ƒ < (ta, la courbe fera continue, & aura
toutes fes ordonnées réelles, égales & de ligne contraire
, depuis x = o jufqu’à x — a.
Cette courbe que M. Caffini avoit voulu introduire
dans l’Aftronomie, n’eft plus qu’une courbe
purement géométrique & de fimple curiofité ; car on
lait que les planètes décrivent des ellipfes apollonien-
nes ou ordinaires. On demandera peut-être par quelle
raifon M. Caffini avoit fubftitué cette ellipfe à celle
de Kepler. Voici ma conjeélure fur ce fujet. On fait
que la plûpart des planètes décrivent des ellipfes peu
excentriques. On fait auffi, & on peut le conclure de
l’article ellipfe qui précédé, que dans une ellipfe peu
excentrique les feâeurs faits par les rayons veéleurs
à un foyer font proportionnels à très-peu-près aux
angles correfpondans faits à l’autre foyer ; & c’efl
fur cette propriété queWard ou Sethus JFardus a établi
fa folution approchée du problème qui confifte à
trouver l’anomalie vraie d’une planete, l’anomalie
moyenne étant donnée. Foye\ Ellipse & Anomalie.
Voyei aujji les inftit. ajlronomiq. de M. le Mon-
xiier, page 5o6 , &fuiv. Le rapport du feéleur infiniment
petit à l’angle correfpondant, eft comme le
reûangle des deux lignes menées au foyer, & dans
une ellipfe peu excentrique, ce reélangle eft à-peu-
près conftant : voilà le principe de "Ward. Or M. Cafum
paroît avoir raifpnné ainfi : Puifque le rapport
des feèleurs élémentaires aux angles correfpondans
eft comme ce re&angle, il fera conftant dans une
courbe où le reftangle feroit conftant ; il a en con*
féquence imaginé fa Caffinoïdek
, Mais, 1 °. quand la Caffinoïde auroit cette proprié'
te de la proportionnalité des feéleurs aux angles, es
ne feroit pas une raifon pour l’introduire dans i’Aftro*
nomie à la place de Vellipfe conique que les planètes
décrivent en effet ; que gagne-t-on à fimplifier un
problème, lorfqu’on change l’état de la queftion ? 20*
Si dans Vellipfe conique le rapport des fe&eurs aux
angles eft comme ie re&angle des deux lignes menées
aux foyers, c’eft que la fomme de ces deux Li*
gnes eft confiante ( Foye[ Ell ipse) ; fans cela la
proportion n’a plus lieu. Ainfi même dans Vellipfe
cafjinienne les fefteurs ne font pas comme les angles.
J’ai cru cette remarque allez importante pour ne la
pas négliger ici. (O)
ELLIPSE, nom que les Horlogers donnent à une
piece adaptée fur la roue annuelle d’une pendule
d’équation. Voye^ la figure nt. Planche d’Horlogerie*
C ’eft une grande plaque de laiton dont la courbure
eft irrégulière, mais reflemblant à-peu-près à celle
d’une ellipfe. Cette piece fert à faire avancer ou retarder
l’aiguille des minutes du tems vrai félon l’équation
du foleil. Foye£ là-dejfus l'article Pendule
d’Equation ; où l’on explique comment cela fe
fait, & de quelle maniéré on donne à cette plaque
la courbure requife. ( T )
ELLIPSOÏDE, f m. ( Glom.) eft le nom que quelques
géomètres ont donné au folide de révolution
que forme l’ellipfe en tournant autour de l’un ou de
l’autre de fes axes. Foye^ Sphéroïde & .Conoïde.
Vcllipfoïde eft allongé, fi l’ellipfe tourne autour de fon
grand axe ; & appîati, fi elle tourne autour de fon
petit axe. Foye^ Allongé , Applati. L’ordonnée
de l’ellipfe génératrice eft toujours à l'ordonnée cor-
refpondante du cercle qui a pour diamètre l'axe de
.révolution, comme l’autre axe eft à l’axe de révolution
: donc les cercles décrits par ces ordonnées
(Iefquels cercles forment les élémens de la fphere &
de l'ellipfoidè) font entr’eux'comme le quarré de l’axe
de révolution eft au quarré de l’autre axe': donc
la fphere eft à Vellipfoïde comme le quarré de l’axe
•de révolution eft au quarré de l’autre axe. -Foye^ Ax e, Conjugué, Cercle, Conoïde. (O)
ELLIPTICITÉ, f. f. (Géom.) Quelqu.es géomètres
modernes ont donné..çe nom à la fraèlion qui
exprimé le rapport de la différence des axes d’une ellipfe
, au grànd ou au petit axe de cette ellipfe. plus
cette fraétion eft grande, plus, pour ainfi dire, l’ellipfe
eft ellipfe, c’eft-à-dire plus elle s’éloigne du
cercle par l ’inégalité de fes axes; ainfi on peut dire
que le degré dVellipticité d’une ellipfe eft repréfenté
par cette fraétion. Il fèroit à fouhaiter que cette ex-
. preffion fut adoptée ; elle eft .commode, claire Ôc
précife. (O)
E L L IP T IQ U E , adjeélif formé d’ellipfe. Cette
phrafe.efi elliptique , ç’eft-à-dire qu’il y a quelque mot
de fous-entendu dans cette phrafe. La langue latine
. eft prefque toute elliptique, c’eft-à-dire que les Latins
faifoient un fréquent ufage, de l’ellipfe ; car comme
. on connoiffoit le rapport des mots par les terminai-
fons , la terminaifon d’un njot réveilloit aifément
dans l’efprit le mot fous-entendu, qui étoit la feule
caufe de la terminaifon du mot exprimé dans la phrafe
elliptique : au contraire nôtre langue ne fait pas
. un ufage auffi fréquent;de l’ellipfe, parce que nos
mots ne changent point de terminaifon ; nous ne
pouvons en connoître le rapport que par leur place
. ou pofition, relativement au verbe qu’ils précèdent
ou qu’ils fuivent, ou bien par les prép.ofitions dont
ils font le complément. Le premier de ces deux cas