té un cercle excentrique pour expliquer les irrégularités
apparentes du mouvement des planètes, &
leur différente diftance de la terre, Us ont aufli inventé
un petit cercle pour expliquer les ftations &
les rétrogradations des planetes,.Ce cercle, qu’ils appellent
épicycle, a fon centre dans la circonférence
du plus g ran d q u i eft l’exCentrique -de là planete.
Foye^ E x c e n t r i q u e .
C ’eft dans cet excentrique, que fe meut le centre
dc ce t cpicyclc, lequel emporte avec lui la planete,
dont le centre fement régulièrement dans* la circonférence
de Y épicycle, fui vaut l’ordre des fignes,
lorsqu’elle eft dansda-jpartie inférieure de Y cpicyclc,
& contre l’ordre des lignes , lorfqu’elle eft dans la
partie fuperieure.
Le point le plus haut de Y cpicyclc s’appelle, apogée
, & le point le plus bas s’appelle périgée.* Foyti Apogée &■ Périgée.
. Quoique les phénomènes des ftations & rétrogradations
des planètes s’expliquent d’une maniéré bien
plus naturelle dans le fyftème de Copernic, on ne
peut difeonvenir que la maniéré dont PtoLomée les
a fauvées ne foit ingénieufe : c’eft apparemment pour
cette raifon que M. Godin, dans, un mémoire imprimé
pgrmi ceux de l’Académie, en 1733 , a cherché
à développer cette théorie , & à donnerles lois
du mouvement apparent des planètes dans les épicycles.
Lorfqu’on ne cherche qu’à connoître les’apparences,
ôç.à conftruire des. tables , il importe peu ,
dit l’hiftorien de l’Académie, quelle hÿpothèfe on
ohoififle, pourvu que cette hÿpothèfe les fauve toutes
-, & que ces tables les rep'réfentent. De plus, les
fatellites de Jupiter & de Saturne ont, panrapport
à nous j des apparences de mouvemens femblables à
«elles que doivent avoir les planètes dans le fyftème
de Ptolomée: la Terre & la Lune, vues du Soleil ou
de quelque autre point du fyftème folaire, font aufli
dans le même cas ; c’eft pourquoi la théorie dont il'
s’agit peut être de quelque utilité. D ’ailleurs M. Go*-
din l’a donnée d’une maniéré beaucoup plus fimple
que n’ont fait julqu’ici tous les Aftronomes i il n’a
feefoin pour cela que des deux fuppofitions fuivan-
tes ; i° . la direélion apparente d’un corps qui décrit
un cercle, eft à chaque inftant la tangente au
point du cercle qu’il décrit dans cet inftant ; z°. un
corps mû par deux forces, dont les dire&ions font
angle entre elles, ou paroiffent faire angle, décrira
ou paroîtra décrire la diagonale d’un parallélogramme
formé fur ces direélions.
Le °rand cercle, dans la circonférence duquel Ycpicycle
eft fitué, s’appelle aufli le déférent de l'épicy-
c le . F o y e^ DÉFÉRENT.
Riccioli, quoique ennemi déclaré du mouvement
de la tefre, n’a jamais pu faire de tables aftrono-
miques qui s’accordaflent tant-foit-peu avec les observations,
fans fuppofer ce mouvement de la terre,
quoiqu’il appellât à fon fecours, d’une maniéré un
peu forcée, les épicycles variables, fujets à des augmentations
& à des décroiffemens perpétuels, &
différemment inclinés à Y écliptique. Foyc[ Copernic
, Station, Rétrogradation , &c.
Quoique les épicycles des planètes, imaginés par
Ptolomée, foient aujourd’hui entièrement bannis de
l’Aftronomie , cependant quelques aftronomes modernes
s’en font fervis pour expliquer les irrégularités
du mouvement de la Lune ; mais avec cette différence
, qu’ils n’ont pas prétendu que la lune parcourût
en effet la circonférence d’un épicycle, comme
Ptolomée prétendoit que les planètes la parcou-
roient : ils ont feulement dit que les inégalités apparentes
du mouvement de la Lune étoient les mêmes
que ft cette planete fe mouvoir dans un épicycle.
M. Machin , dans un ouvrage fort court qui a-pour
titre , tht laws. o f maoris motion y les lois du mourvernintde
ta Lune, fait mouvoir la Lune dans line ellipfe
dont le petit axe eft la moitié du grand : tandis que
le centre de cette ellipfe décrit d’un mouvement
uniforme un cercle autour de la T erre, la Lune fe
meut dans l’ellipfe , de maniéré qu’elle y parcourt
des aires porpdrtionnelles aux tems. Mais M. Clai-
raut,dans un mémoire imprimé parmi ceux de l’a-*
cadémie, en 1743 , foûtient que M. Machin fe trom*
p e; qu’on ne peut expliquer par cette fuppofition
les mouvemens de la Lune. M. Halley a fuppofé que
la lune fe môuvoit dans une ellipfe, & que le centre
de cette ellipfe étoit dans un épicycle dont le centre
fe mouvoit uniformément autour de la Terre : il a
déduit de ce mouvement les inégalités qu’on obfer-
ve dans la vîtefle de l’apogée, & dans l’excentricité
de l’orbite de cette planete. Voyeç Lune. Voyc^ aufli
les Dict. de Harris, de Chambers, & les élém. d?AJlr4
de W olf, d’où une partie de cet article eft tirée. (O )
EPICYCLOÏDE, f. f. en Géométrie, ligne courbe
qui eft engendrée par la révolution d’un point de la
circonférence d?un cercle, lequel fe meut en tournant
fur la partie convexe ou concave d’un autre
cercle.
Chaque point de la circonférence d’un cercle qui
avance en droite ligne fur un plan, tandis qu’il tourne
en même tems fur fon centre, décrit une cycloïde
(voyer Cycloïde) ; & fi le cercle générateur, au
lieu de le mouvoir fur une ligne droite , fe meut fur
la circonférence d’un autre cercle, OU égal ou inégal
à lui, la courbe que décrira chacun des points
de fa circonférence s’appelle épicycloïde.
Par exemple, fi Une roue de carroffe rouloit fur
la circonférence d’une autre roue, la courbe que dé-
criroit un des clous dé cette roue feroit une épicycloïde.
0 s
Si le mouvement progreflif du cercle roulant eft
plus grand que fon mouvement circulaire, Y épicycloïde
eft nommée allongée , & accourcie s’il eft plus
petit.
Si le cercle générateur fe meut fur la convexité
de la circonférence, Y épicycloïde eft nommée fupé-
rieurc Sc extérieure; & s’il fe meut fur fa concavité;
on la nomme épicycloïde inférieure OU intérieure; on
appelle bafe de Y épicycloïde la partie de cercle fur laquelle
fe meut le cèrcle générateur, tandis qu’il fait
un tour entier. Ainfi dans les Planches de Géométrie ,
fig. 68. D B eft la bafe de Y épicycloïde, V fon fom-
mety V R fon axé, D P FYà. moitié de Y épicycloïde
extérieure produite par la révolution du demi-cercle
V L B , qu’on appelle cercle générateur, fur le côté
convexe de la bafe D B.
On trouvera dans les Tranfact. philofoph. n. 18.8c
dans les infiniment petits de M. de l’Hôpital, les dé-
monftrations des principales propriétés de Y épicycloïde
, fur-tout ce qui concerne les tangentes de ces
courbes, leurs re&ifications & leurs quadratures;
M. Nicole a aufli donné fur la rectification des épicycloïdes
allongées & accourcies un excellent mémoire
dans le vol. de l'académie de iyo8.
Le volume de 1732 de la même académie renferme
plufieurs écrits de M M. Bernoulli, de Mauper-
tuis, Nicole, & Clairaut, fur une autre efpece dV-
picycloides appellées épicycloïdes fphériques. Çes épicycloïdes
font encore engendrées par le point de la
circonférence d’un cercle qui roule fur un autre cercle
; mais avec cette différence que dans les épicycloïdes
ordinaires le cercle roulant eft dans le même
plan que le cercle fur lequel il roule ; au lieu que
dans celle-ci le plan du cercle roulant fait un angle
confiant avec le plan de l’autre cercle. Les épicycloïdes
fphériques ont plufieurs belles propriétés que
l’on peut voir dans les mémoires dont nous venons
de parler, & dont le détail feroit au-deffus de la
portée du plus grand nombre de nos lecteurs.
Nous nous contenterons de donner ici en peu de
mots une théorie des épicycloïdes fimples ou ordinaires.
Cette théorie contiendra le germe de tous les
problèmes qu’on peut fe propofer fur les épicycloïdes,
& facilitera le moyen d’étendre ces problèmes à des
épicycloïdes plus compofées.
Je fuppofe d’abord que 1 fdit le rayon du cercle
roulant ou générateur, & que Yépicycloïde foit extérieure.
Soit x l’arc qui a roulé, r le rayon de l’autre
cercle, il eft évident qu’en prenant dans ce fécond
cercle un arc = x , & tirant enfuite la corde
de l’arc x dans le cercle générateur, on aura un des
points de Y épicycloïde.Or les angles formés par deux
arcs égaux dans différens cercles, font entr’eux en
raifon inverfe des rayons de ces cercles» Voye^ An g
l e -, D e g r é , M e s u r e , &c. Donc il ne s’agit que
de divifer un angle en raifon de r à 1 , pour avoir un
point de Y épicycloïde.
Donc fi r eft à 1 en raifon de nombre à nombre,
Y épicycloïde fera une courbe géométrique, puifqu’on
peut toûjours divifer un angle géométriquement en
raifoil de nombre à nombre. F . Trisection, 6’c.
Confidérons à préfent les deux cercles comme
deux polygones réguliers d’une infinité de côtés
chacun, mais dont les côtés foient égaux, en forte
que ces polygones ne foient point femblables : il eft
vifiblé, i° . que l’angle de contingence du cercle générateur
fera d x ; que Pangle de contingence de
l’autre fêta — (voye%P o l y g o n e & C o u r b e ) : z°.
que pendant le roulement où l’application d’un co-.
lé infiniment petit du cercle générateur fur le cote
correfpondant de l’autre, une des extrémités de la
corde de l’arc x pourra être regardée comme fixe,
& que l’autre décrira un arc de cercle qui fera le petit
côté de Y épicycloïde : 3°- que la tangente de 1 çpi-
cycloïde (yqye^ T a n GEN t e ) fera par confequent perpendiculaire"
à la corde de l’arc x dans le cercle générateur:
40. que le petit côté de Yépicycloïde fera
+ d~ r \ x cord. xx=. d x X a fin. ^-X ^-±i^jdonc
l’arc total de Y épicycloïde fera X aX ( 1—cof.
yoyéi Sin u s : 50. que l’élément de l’aire de Yépicy-,
cloïde fera égal au petit triangle fcalene, dont d x eft
la bafe & cord. x un des côtés, plus aü triangle ifofi
cele qui a cord. x pour côté, & pour bafe d x (^yrr)
2 fin. *. Cela fe voit à l’oeil par la feule infpe&ion
d’une figure. Or le premier de ces élémens eft l’éle-
ment du cercle, & le fécond eft d x ^—y ^ 2 fin. - x
Y cord. x = d x (ftu» y ) = ^ x C r - .) ^
L cof.x-H Foye^ Sinus. Donc l’aire de Yépicycloïde
eù. égale à l’aire du cercle, plus k l’intégrale
de la quantité précédente ; intégrale aifée à-trou ver ;
voyeiSinus , Intégral, & le traité de M. de Bougainville
le jeune. 6°. L’angle que font enfemble
deux côtés confécutifs de Y épicycloïde, fe 'trouvera
aifément, & toûjours par la feule infpeûion d’üne
figure fort fimple; car cet angle eft égal, i° . à
20. à deux angles à la bafe d’un triangle ifofcele,
dont l’angle du fommet eft d x + -y-, c’eft - à - dire
180 — d x —— : donc l’angle de contingence eft
i ï 4-— . Or le rayon ofculateur eft égal au côté de
la courbe divifé par l’angle de contingence. Voye^ Oscillateur & Développée. Donc le rayon ofculateur
eft égal à 2 .
Si on fait r négative dans les calculs précédens,
pn aura les propriétés de Y épicycloïde intérieure,
J'orne F.
Si dans les mêmes calculs on fait tox à l’infini, on
aura les propriétés de la cycloïde ordinaire.
On peut encore eonfidérer d’une autre maniéré
toutes les épicycloïdes ordinaires, allongées, accourcies
, fphériques, &c. Au lieu de faire rouler le cercle
générateur, il n’y a qu’à fuppofer que le centre
de ce cercle décrive Une ligne quelconque, & qu’en
même tems un point mobile fe meuve fur la circonférence
de ce cercle. Par le principe de la compofi-*
tion des mouvemens, on aura facilement les élémens
de Y épicycloïde j Y épicycloïde fera fimple pu ordinaire
, c’eft-àrdire ni allongée ni accourcie, fi l’arc
décrit par le centré, pendant que le point mobile
décrit la circonférence-, eft à cette circonférence
comme r -f-1 eft à r. Foye^ Roue d’Aristote.
Nous n’en dirons pas davantage fur cet article. Il
nous fuffit d’avoir mis ici en quelques lignes tout le
traité des épicycloïdes d’une maniéré aflez nouvelle
à plufieurs égards, & fourni aux commençans, &
peut-être à des géomètres plus avancés, une occa*
fion de s’exercer.
Sur i’ufàge des épicycloïdes en Méchaniquè, voye£ D ent.
M. de Maupertuis, dans les 'mémoires de l'acad. de
7.727, a examiné les figures re&ilignes formées par
le roulement d’un polygone régulier fur une ligne
droite, & il en a déduit d’une maniéré élégante les di-
menfions de la cycloïde. Pour généralifer fa théorie,
fuppofons que le roulement du polygone fe faffe à
l’extérieur fur un autre polygone régulier, dont les
côtés foient égaux à ceux du polygone roulant, il
eft aifé de voir par tout ce qui a été dit ci - deflïis ,
i° . que la. figure reéliligne formée ainfi fera égale à
l ’aire du polygone roulant, plus à un triangle ifofcele
qui auroit 1 pour côté, & pour angle au fommet
la fomme des angles extérieurs des deux polygones
, ce triangle étant multiplié par la moitié ae
la fomme des quarrés des cordes dû polygone roulant
: or on a dans le liv. X . des feclions coniques de
M. de l’Hôpital, une méthode fort fimple pour trouver
la fomme de cès quarrés. a°. Le contour de la
figure fera égal à la corde de la fomme des angles
extérieurs, multipliée par la fomme des cordes du
polygone roulant: or on a dans le même ouvrage
& au même endroit la méthode de trouver la fomme
des cordes d’un polygone. 30. L’angle extérieur
formé par. deux côtés reRilignes confécutifs de IV-
picycloïde, eft égal à la moitié de l’angle au centre
du polygone roulant, plus à l’angle extérieur de
l’autre polygone.
Enfin il eft vifible que cette méthode peut s’étendre
très-aifément à la recherche des propriétés de
toute épicycloïde formée par le roulement d’une
courbe quelconque fur une autre quelconque. (O)
* EPIDAURIE, adj..pris fubft. fête que les habi-
tans d’Epidaure célébrèrent en l’honneur d’Èfculape,
& que les Athéniens inftituerent aufli parmi eux.
* EPIDELIUS, (Myth. ) furnom d’Apollon. Mé-
nophanès qui commandoit la flotte de Mit’nridate ,
pritDélos, pilla le temple d’Apollon, & jetta la fta-
tue du dieu dans la mer ; mais les eaux la foûtinrent
miraculeufement, & la portèrent fur les côtes de la
Laconie, aux environs du promontoire de Mala, où
les Lafeédémoniens éleverent un temple à Apollon E-
- pidélius, c’eft à-dire à Apollon venu de Délos. La fta-
tue merveilleufe fut placée dans ce temple, & le fa-
crilégë de l’impie Ménophanès fut puni par une mort
prompte & douloureufe. Quoiqu’il n’y ait guere de
faits merveilleux accompagnés d’un plus grand nombre
de circonftances difficiles àrejetter en doute; que
le miracle dont il s’agit ait un caraûere d’autenticité
qui n’eft pas commun, & qu’il foit confirmé par le
témoignage & le monument de tout un peuple, il ne
faut pas le croire : il n’eft pas néceflaire d’en expo*
* r* f ' - S _ î: *