quatrième ; & la fomm.e 4 x •%- b c dr d de toutes
ces parties fera égaie à a. Retranchant b -f- c -f- d
de part ôc d’autre, on aura ^x x xa — b — c — d Ôc
a — b — c — d
Imaginons, par exemple, qu’on propofe de divi-
fer une ligne de vingt pies en quatre parties, de maniéré
que l’excès de la fécondé partie fur la première
foit de 2 pies, celui de la troifxeme de 3 pies, 6c celui
de la quatrième de 7 pies, on aura x ou V~b~ c~^-
= = 1, ■»■- + 4--- 4, * + < = 5 • &
x + d = 9. On peut fe fervir de la même méthode
pour divifer une quantité donnée en un nombre quelconque
de parties avec des conditions pareilles.
40. Une perfonne voulant diflribuer trois fous à
un certain nombre de pauvres, trouve qu’il lui manque
huit fous ; ainfi elle ne leur donne à chacun que
deux fous, 8e elle a trois fous de relie. On demande
combien cette perfonne avoit d’argent, 6c combien
il y avoit de pauvres ? Soit x le nombre des pauvres ;
6c comme il s’en faut huit fous qu’ils ne puilfent
avoir trois fous chacun, l’argent ell donc 3 x — 8 ,
dont il faut ôter 2 x , 8c il doit relier 3 ; donc 3 x —
8 — 2 x = 3 ou * = 11.
c°. Le pouvoir ou l’intenlité d’un agent étant donnés
, déterminer combien il faut d’agens femblables
pour produire un effet donné a dans un .tems donné
b. Suppofons que l’agent puiffe produire dans le
tems d l’effet c9 on dira comme le tems d ell au tems
b , ainfi l’effet c que l’agent peut produire dans le
tems d, ell à l’effet qu’il peut produire dans le tems
b , qui fera par conféquent — . Enfuite on dira, comme
l’effet ell à l’effet ay ainli un des agens ell à
tous les agens ; donc le nombre des agens fera %-c.
V o y c i Réglé de tr o is . .*
Par exemple, li un clerc ôu fecrétaire tranfcrit
quinze feuilles en huit jours de tems, on demande
combien il faudra de clercs pour tranfcrire 405 feuilles
en neuf jours? Rép. 24. Carfion fubflitue 8 pour
d , ï 5 pour c f 405 pour a , 8c 9 pour b , le nombre
^ deviendra , c’eR-à-dire ou 24.
" 6°. Les puilfances de différens agens étant données
, déterminer le tems x dans lequel ils produi-
roient un effet donné d9 étant jointes enfemble. Suppofons
que les puilfances des agens A , B , C 9 foient
telles que dans les tems et-f-9 g , ils produifent les
effets a-f b, c, ces agens dans le tems x produiront
les effets *— , y 9 y , on aura donc a- f + y + y
^ d t & x x z y - ^ — 7 .
Imaginons, par exemple, que trois ouvriers finif-
fent un certain ouvrage en différens tems. Par exemple
, A une fois en trois femaines , 2? trois fois en huit
femaines, 6c c cinq fois en douze femaines, on de-
mande combien il leur faudra de tems pour finir le
même ouvrage, en y travaillant tous enfemble ; les
puilfances, des agens font telles que dans les tems 3,
8 , 12 , ils produisit les effets i , 3, 5 , 6c on veut
favoir en combien de tems ils produiroient l’effet 1,
étant réunis. Aulieu de d 9b, c yd, e, ƒ , g , on écrira
1 ,3 , 5, r, 3, 8 , 1 2 , 6c il viendra x — t
& de femaine, c’ell-à-dire fix jours cinq heures 6c f
d’heure poiir le tems qu’ils mettroient à finir l’ouvrage
propofe.
7°. Etant données les pefanteurs fpécifiques de
plufieurs 'choies- mêlées enfemble, 6c la pefanteur
Spécifique de leur mélange , trouver la proportion
des ingrédiens dont le mélange ell compofé. Suppofons
que e foit la gravité fpécifique du mélange A +
B , a celle de A , 6c b celle de B ; comme la gravité
abfolue ou le poids d’un corps ell en raifon compo-
fée de fon volume 6c de fa pefanteur fpécifique (yoy.
D ensité) a A fera le poids de a 9& b B celui de 2?,
ôc a A -{-b B fera = c A c B ; donc a A — c A =
e B - b B f & C a - e : e - b : : B : A .
Suppofons, par exemple, que la pefanteur fpécifique
de l’or foit 19, celle de l’argent 10y , ôc celle
d’une couronne compofée d’or & d’argent 17, on aura
A : B : : e — b:a — c :: 7— y : 2 : : 20 : 6 : : 10 :
3 ; ce fera le rapport du volume de l’or de la couronne
au volume de l’argfent : ÔC 190.3 1 : : 19 X 10 :
10 f x 3 :: a x e — b :b x a — e ; ce fera le rapport du
poids de l’or de la couronne au poids de l’argent : enfin
221 : 3 1 , comme le poids de la couronne ell au
poids de l’argent. V o y t{ Al l iag e .
Pour réduire en équations les problèmes géométriques,
on remarquera d’abord que les quellions
géométriques ou celles qui ont pour objet la quantité
continue, fe mettent en équations de la même
maniéré que les quellions arithmétiques. Ainli la première
regle que nous devons donner ic i, ell de fui-
vre pour ces fortes de problèmes les mêmes réglés
que pour les problèmes numériques.
Suppofons, par exemple, qu’on demande de couper
une ligne droite^ B (Planched’AIgeb.fig. (T.)en
moyenne & extrême raifon en C; c’ell-à-dire de trouver
un point C, tel que B E quarré de la plus grande
partie foit égal au reflangle B D fait de la ligne entière
& de fa plus petite partie.
Suppofant A BxzafècC BxzXf on aura A C=k
a — x y &c x x = a par a — x j équation du fécond degré,
qui étant réfolue, comme on i’enfeignera plus
bas, donnera x = — \ a -J- j/y a a.
Mais il ell rare que les problèmes géométriques
fe réduifent li facilement en équations ; leur folution
dépend prefque toujours de différentes polirions 8c
relations de lignes : de forte qu’il faut louvent un
art particulier 6c de certaines réglés pour traduire
ces quellions en langage algébrique. Il ell vrai que
ces réglés font fort difficiles à donner ; le génie ell la
meilleure 6c la plus sûre qu’on ait à fuivre dans ces
cas-là.
Qn peut cependant en donner quelques-unes,
mais fort générales, pour aider ceux qui ne Ibnt pas
verfés dans ces opérations : celles que nous allons
donner fönt principalement tirées de M. Newton.
Obfërvoris donc, ï° . que les problèmes concernant
les lignes qui doivent avoir un certain rapport
les unes aux autres, peuvent être différemment en-
vifagés, en fuppofant telles ou telles chofes connues
& données, & telles ou telles autres inconnues ; cependant
quelles que foient les quantités que l’on
prend pôiff connues ôc cèlles qu’on prend pour inconnues
, les équations que l’on aura feront les mêmes
quant au fond, 6c ne différeront entr’elles- que
par les noms qui ferviront à diflinguer les grandeurs
connues d’avec les inconnues.
Suppofons, par exemple, qu’on p*opofe de comparer
les côtés B C f B D 9 ôc la bafe C D ( figure y*
d’Algèbre) d’un triangle ifqfcele infcrit dans un cerclé
, avec le diamètre de ce même cercle. On peut
fe propofer la queflion, ou en regardant le diamètre
comme donné, avec les côtés, 6c cherchant enfuite
la bafe, ou en cherchant le diamètre par le moyen
de la bafe & des côtés fuppofés donnés, ou enfin en
cherchant les côtés par le moyen de la bafe 6c du
diamètre. Or fous quelque forme qu’on fe propofe
ce problème, les équations qui ferviront à le réfoudre
auront toujours la mémeTorme.
Ainfi, fuppofons que l’on cherche le diamètre, ou
nommera A B 9 x y C D y ay ôc B C ou B D , b } en-
fuite tirant A C , on remarquera que les triangles
A B C ôc C B E font femblables, 6c qu’ainfi A B :
B C : : B C : B E , ou x : b : : b ; B £ ; donc B E —
h-~ & C E = y C D ou \ a ; 8c comme l’angle C E B
efl un angle droit, CE * B E* = B C?1, c’efl-à-dire
— 4- = b b. Cette équation étant réfolue donnera
le diamètre cherché x. Si c’efl la bafe qu’on demande
, on fera A B = c , C D =z x 9àc B C on B Dx=. b ;
enfuite on tirera A C , 6c les triangles femblables
A B C 6c C B E donneront A B :B C:: B C . B E ,
ou c : b : : b : B E.
Donc B E t= — &tCÈ =x { C D ou Z x;&c comme
l’angle C B E ell droit, on aura C E 1 + B E z z=.
C B 1 -j donc y x x + b b. D ’où fon tirera la
Valeur de la bafe cherchée x .
Enfin fi les côtés BC ôc B D font fuppofés inconnus
, on fera A B = c, C O = a, ôc B C ou B D =2
x f on tirera enfuite A C ; 8c à caufe des triangles
femblables A B C 6c C B E , On aura A B : B C::
B C : B E ou c : x : : x : B E ; donc B E
C E = y C D ou ÿ<z,6c l’angle droit C B E donnera
C E 7, 4- B E 7, = B C 1} c’efi-à-dire ÿ a a + ^ = x x ;
équation qui étant réfolue donnera la valeur x d’un
des côtés cherchés.
On voit par-là que le calcul pour arriver à Véquor-
lion, 6c f équation elle-même, font femblables dans
tous les cas, excepté que les mêmes lignes y font
défignées par des lettres différentes félon les données
6c les inconnues que l’on fuppofe. Il efl vrai que la
différence des données fait que la réfolution des
équations efl différente ; mais elle ne produit point
de changement dans l’équation même. Ainfi on n’efl
point abfolument obligé de prendre telle ou telle
quantité pour inconnue ; mais on efl le maître de
choifir pour données 6c pour inconnues les quantités
qu’on croit les plus propres à faciliter la folution
de la queflion.
30. Un problème étant donc propofé, il faut commencer
par comparer entr’elles les quantités qu’il
renferme, 6c fans faire aucune diflinâion entre les
connues & les inconnues, examiner le rapport qu’elles
ont enfemble, afin de connoître quelles font celles
d’entr’elles qui peuvent faire trouver plus facilement
les autres. Dans cet examen il n’efl pas nécef-
faire de s’affûrer par un calcul algébrique exprès,
que telles ou telles quantités peuvent être déduites
de telles ou telles autres ; il fuffit de remarquer en
général qu’on peut les en tirer par le moyen de quelque
connexion direéle qui efl entr’elles.
Par exemple, fi on donne un cercle doiit le diamètre
foit A D (Jig. 8. algébr.) 8c dans lequel foient
iniçrites trois lignes A B , B C 9 C D 9 defquelles on
demande B C , les autres étant connues, il efl évident
au premier cbup-d’oeil que le diamètre A D détermine
le demi-cercle, 6c que les lignes A B &c ÇD9
qu’on fuppofe infcrites dans le cercle, déterminent
auffi les points B 6c C 9 6c que par conféquent la ligne
cherchée B C a une connexion direfle avec les
■ lignes données. Voilà dequoi il fuffit de s’afFûrer
d ’abord, fans examiner par quel calcul analytique
la valeur de la ligne B C peut être réellement déduite
de la valeur des trois lignes données.
40. Après avoir examiné les différentes maniérés
dont on peut compofer ôc décompofer les termes de
1 la queflion, il faut fe fervir de quelque méthode fyn-
.thétique, en prenant pour données certaines lignes,
par le moyen defquelles on puiffe arriver à la con-
noiflance des autres, de maniéré que le retour de
celles-ci aux premières foit plus difficile; car quoiqu’on
puiffe fuivre dans le calcul différentes routes,
cependant il faut le commencer par bien choifir fes
données ; & une queflion efl fouvent plus facile à
refoudre., en choififfant des données qui rendent les
inconnues plus faciles à trouver, qu’en confidérànt
le problème fous la forme aétuelle fous laquelle il
efl propofé.
Ainfi, dans l’exemple que nous venons dé donner
, fi on propofe de trouver A D > les trois autres
lignes étant connues, je vois d’abord que ce problème
efl difficile à réfoudre fynthétiquement ; mais que
cependant s’il étoit ainfi réfolu, je pourrois facilement
appercevoir la connexion direâe qui efl entre
cette ligne ôc les autres. Je prends donc A D pour
donnée, 6c je commence à faire mon calcul comme
fi elle étoit en effet connue, 8c que quelqu’une des
autres quantités A B , B C ou C D , fïit inconnue ;
combinant enfuite les quantités données avec les
autres, j’aurai toûjours une équation en comparant
entr’elles deux valeurs de la même quantité ’■ foit que
l’une de ces valeurs foit une lettre par laquelle cette
quantité aura été marquée, en commençant le calcul
; 6c l’autre, une expreffioji de cette quantité
qu’on aura trouvée par le calcul même, foit que les
deux valeurs ayent été trouvées chacune par deux
différens calculs.
50. Ayant ainfi comparé en général les termes de
la queflion entr’eux, il faut encore de l’art 6c de l’a-
dreffe pour trouver parmi les connexions Ou relations
particulières des lignes, celles qui font les plus
propres pour le calcul ; car il arrive fouvent que tel
rapport qui paroît facile à exprimer algébriquement,
quand on l’envifage au premier coup-d’oeiî, ne peut
être trouvé que par un long cirçuit ; de maniéré qu’on
efl quelquefois obligé de recommencer une nouvelle
figure, 6c de faire fon calcul pas-à-pas, comme on
pourra s’en affûrer en cherchant B C par le moyen
de A D f A B ôc C D . Car on ne peut y parvenir
que par des propofitions dont l’énoncé foit tel, qu’elles
puiffent être rendues en langage algébrique, ÔC
dont quelques-unes peuvent fe tirer d’Euclidei A x .
icf. propojit. 4. L. VI. & propojit, 4/. L. I. element.
Pour parvenir plus aifément à connoître les rapports
des lignes qui entrent dans une figure, On peut
employer différens moyens : en premier lieu, l’addh
tion ÔC la fou lira élion des lignes ; car par lés valeurs
des parties on peut trouver celles du tout, ou par
la valeur du tout 6c par celle d’une des parties, on
peut connoître la valeur de l’autre partie: en fécond
lieu, par la proportionnalité des lignes ; car, comme
nous l’avons déjà fuppofé dans quelques exemples
ci-deffus, le reélangle des termes moyens d’une
proportion, divifé par un des extrêmes, donne
l’autre, ou ce qui efl la même.chôfe, fi les valeurs
de quatre quantités font en proportion, le produit
des extrêmes efl égal au produit des moyens. Eoyeç
Pr o po rt ion . La meilleure maniéré de trouver la
proportionnalité des lignes, efl de fe fervir des triangles
femblables ; ôc comme la fimilitude des trian-
-gles fe connoît par l’égalité de leurs angles, l’ana-
lyfle doit principalement fe rendre ce point familier.
Pour cela il doit pofféder les propofit. 5 ,1 3 , 15, 29«
3 2 du premier livre d’Euclide; les propofit. 4 , 5, d,
7, 8, du livre VI. ôc les 2 0 ,2 1 , %%, 27 ôc 31 du livre
III. On peut y ajouter la troifieme propofit. du
livre VI. ou les propofit. 35 6c 36 du livre III. Troj>
Reniement, on fait auffi beaucoup d’ufage de l’addition
8c de la fouflraélion des qüarrés > fur-tout lorfe
qu’il fe trouve des triangles reôangles dans la figure.
On ajoute enfemble les quarrés des deux petits cô*
tés pour avoir le quarré du grand, ou du quarré du
plus grand côté on ôte le quarré d’un des côtés, pour
avoir le quarré de l’autre, C e il fur ce petit nombre