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celle dont il s’ agiffoit alors était beaucoup" moins |
confid érable que celle qui vient d’être exécutée.
Ce qu’il y a de particulier , c’éft que l ’auteur de
ce mémoire ,__àu lieu de fonder la critique finies
projets que Germain Soufflot vculoit exécuter
alors , en imagina un autre , d’après des règles
proposées par Charles Fontana , architefte italien ,
dans un ouvrage qui a pour titre : Défendions dd itm-
pio Vaticano. Nous ne dirons rien iur les dimen-
fiôns, que preferit Fontana, relativement* à la forme
ôt à la décc ration des dômes ou coupoles. Mais quant
à l'épaifieur qu’il indique pour les^murs qui doivent
foutenir les coupoles , & qu’il fixe à un dixième du
diamètre intérieur, nous ne pouvons pas nous empêcher
de dire , que ceite règ'en’eft fondée fur aucun
princi;# certain ; puifqu’aux édifices cités par lui ,
tels que la tour du dôme de S. André délia yalit, à
Rome , dont i’épaifieur eft , félon lu i, de fept palmes
& demie & le diamètre intérieur de fôixante-
quaterze ; cell§.du mur de la coupole de S. Carlo à
Catinari , quieftde fept palmes un quart & le diamètre
de foixante-douze ; celle de là coupole délia ma-
doua de mîracoli, qui a fept palmes deux tiers & le
diamètre foixante- dix-huit; la coupole de Santa-Margarita
in monte Fiafcone, qui a cent quinze palmes
de diamètre & treize palmes d’épaifieur de mur ; on
peut en oppofer d’autres , tels que le dôme de Saint-
Pierre de Rome, dont I’épaifieur du mur deJatour ,
mefurée entre les contre-forts , comme Fontana a
pris celle qu’il cite , n’eft que la quatorzième partie
c!u diamètre intérieur : celle du mur , qui forme la
tour du dôme de S. Luc , aufli à Rome, n’a que, la
treizième. A Dijon, il ÿ a une rotonde terminée par .
une coupole en maçonnerie , dont le mur circulaire ,
qui la forme, n’a que la dix-huitième partie du diamètre
intérieur. Mais comme tous ces exemples ne
fixent point lé terme précis, auquel on pourroit réduire
l ’épaiffeur des murs circulaires, qui doivent
foutenir des voûtes en coupoles , on ne peut pas fe
difpenfer d’avoir recours aux principes de mécanique
, pour réfoudre cette queftiory d’une manière
fatisfaifante : c’eft ce que nous allons examiner.
L ’auteur du mémoire s’eft contenté d’appliquer
à la coupole de fon projet , la-formule de Bélidor ,
quoique cette formule n’ait été faite que pour des
voûtes en berceau fupportées par deux murs ou
pieds-droits ifolés & parallèles. Mais , pour trou-
verTépaiffeur des murs ou pieds-droits d’une voûte
fphérique ou fphéroide de même ceintre , il falloit
déterminer le jufle rapport delà pouffée d’ une voûte
fphérique , comparé à celle d’une voûte en berceau 1
de mêmes ceintre , diamètre & épaiffeur.
L ’auteur du mémoire cite un paflage deFrézier ,
au troifième volume de fon Traité de la coupe des
pierres, ou il tâche de prouver que « les voûtés
» fphériques pouffent plus de la moitié moins que
» les berceaux firaples de mêmes ceintre , diamètre
» &épaiffeur où charge ; & par conféquenc, en ne
» donnant à leurs pieds-droits que la moitié de celle
» des berceaux conditionnés de -même , ils feront
» encore plus forts qu’il n’eft néceffaire, pour les
» mettre en équilibre ave® la pou fiée. »
La coupole , prop'ofée par l'auteur , a' foixantc-
trois pieds do diamètre; fon ceintre eft furmonté d’un
douzième ; fon épaiffeur réduite eft de vingt-quatre
pouces,.elle eft élevée fur'des pieds-droits de trente-
fix pieds de.hautèur. Celapofé, il trouve que , peur
une voûte en berceau de mêmes ceintre. diamèrre &
épaiffeur, il faudrait donner aux piecs-droits huit
pieds dix pouce- onze lignes quatre points,& la moitié
feulement pour les murs de la coupole prop-ofée, c’eft-
- à-dire , quatre pieds cinq pouces cinq lignes deux
tiers. 11 ajoute à ce réfultat deux pieds huit pouces
pour les 1 ailles des colonnes engagées , bafe & fty-
Iobate-, qui décorent l’extérieur ; ce qui donnerok,
- pour la plus grande ép.iifieur du mur de la tour du
dômepropofé par i ’ayteur du mémoire , fept pieds
un pouce cinq lignes huit points : mais par des ccn-
fidérations qui lui font particulières, & les autorités
qu’il cite, il prétend qu’il faut neuf pieds. Cepeni
dant, commefia règle de Frézier n’eft qu’ un à-peu-
près , nous allons" faire en. forte de fixer plus exactement
le rapport de la pouffée des voûtes fphériques
avec celle des voûtes en berceau, ainfi que la rciii-
tance des pieds-droits de l’une & de l’autre. ■
L’expérience & les principes de mathématiques
prouvent que, dans toute forte de voûtes en berceau,
les parties inférieures , jufqu’à une certaine hauteur,
. tendent à tomber en dedans, & que les parties Supérieures
ne fe foutiennent qu en agifiant en fens Contraire
, en repouffant les parties inférieures & les
pieds-droits qui les foutiennent. Bélidor fuppofe dans
la formule que, dans les berceaux en plein ceintre, la
partie qui caufe la pouffée eft préci ément la moitié
de la voûte , & que l’autre moitié , divifée en-deux
parties, Forme les deux parties inférieures ; d’où il
réfulfe que , dans les berceaux circulaires extradof-
fés, d’égale épaiffeur, la partie pouffante eft égale
aux deux parties quirefiftënt ; de forte que fi l ’effort
avec lequel les parties inférieures tendent à tomber en
dedans , étoit égal à celui aveclequella partie fupé-
rieure agit, il n’exifteroit.point de pouffée : mais
comme la partie fupérieure agit avec beaucoup pics
de force , à caufe de fa-pofition , c’eft la différence
de ces deux efforts oppofés qui tend à renverfér les
pieds - droits, & que pour cette raifon on appelle
pouffée ( voye{ ce mot ). D ’après cet expofé , on voit
qu’il eft pofîibleyen diminuant le poids où le volume
de la partie pouffante , & augmentant celui des parties
qui réfiftent, de détruire entièrement la poujjci.
C ’eft ce qui arrive dans les voûtes fphëriqués, ainfi
que nous allons le faire voir.
Le profil d’une voûte en berceau étant le même
que cèlui d’une voûté fphérique fie même ceintre ,
épaiffeur & diamètre, la y'zg. 210 peut repréfenter l’un
& l ’autre ; de-forte que, dans ce profil, les parties
' pouffantes & réfiliantes.pàroiifentégalés : mais fi 0:1
les confidère en plan 211 ) , on verra que ce qui
- repréfente la partie pouffante d’ une voûte eu bercéau,
dont la longueur eft égale au diamètre , eft un rec*
c o u
; ta r pie qui a pour longueur ce même diamètre, fur
•une largeur "égale à celui du cercle , qui exprime la
partie pouffante d’une ' voûte fphérique. Ces deux
figures montrent ,-au premier coup-d’oeil, que la partie
pouffante d’une yo .te lphérique eft beaucoup
moindre que celle d’une voûte en berceau. - ;
• Pour déterminer, d’une manière plus précifë, le
rapport de ces parties dans l ’une & l’autre voûte ,
nous allons y appliquer la théorie de là fameule pro-
pofition d’Archimède , par laquelle il prouve que la
furface d’une fphèreeft égale à. celle d’un cylindre
de même longueur & diamètre-; d’où il .réfulte que ,
dans aine voûte fphérique, la fuperbeie de la partie
pouffante eft égale àla circonférence du Cercle majeur
, dont Mm eft le diamètre , par la flèche
IN (/z*. 212), & que celle dé la-partie qui réfute
, eft égale au produit de la même circonférence,
par O N ; de forte que., dans cette efpèce de
voûte , la partie pouffante eft a celle qui réfifte ,
■ comme IN eft à O N ; comme le finusverfe de
45 degrés eft à ce finus ; comme 29, 289 eft à
-70,711 ; c’éft-à-dire, que ce rapport eft moindre que
celui de 3 3 7 , mais que nous allons adopter, quoique
moins avantageux. Suppofant donc la fohdité de
chaque voûte égale.à 10 , la partie pouffante de la
voûte en berceau fera ,s0,& celle de la voûte fphéri-
• que ; c’eft à-dire, que le rapport de la pouffée
d’une voûte fphérique eft à celle d’une voûte en ber- ;
i.ceau de mêmes diamètre, ceintre & épaiffeur,comme
' 3 eft à j . Maïs fi l’on fait attention , que la pouffée
des voûtes en berceau agit contre deux murs ifolés,
dont les longueurs ajoutées enlemble ne font que les
• jT du mur. circulaire-, qui fou tiendrait une voûte
fphérique de même diamètre , on verra que l’épa.f-
■' feur dumur circulaire doit encoreêtre réduite en rai-
-fon invèrfe de la longueur des murs ; c’éft à-dire ;
qu il ne faudra, pour une voûte fphérique y que les
J des | , ou les *' de l’épjiffeur qu’ilfaudroit pour
une voûte en berceau , ce qui réduiroit l’épaiffeui,
\ du nu de la tour du dôme propofë par l’auteur du
mémoire , à trois pieds quatre poupes; •& fi l’on
’ vouloit avoir égard aux avant-corps & aux faillies des
■ décorations extérieures , qui augmentent beaucoup
' la réfiftance de cette tour , on trouveroit que trois
‘ pieds font plus'quefuffifans.
De plus, .il faut obferver que , fi l*oa divife une
’ voûte en berceau en plufieurs tranches perpendieu-
plaires à la direélion des murs qui la fou tiennent, elles
informeront chacune un arc, dont la pouffée agira fé-
[ Parèmen.t contre les parties de piëds-aroits qui lui
k repondent, de manière que les efforts qui-^e feront
p lur chaque tranche feront abfolument indépeiîdans.
f Mais fi l’on coupe une voûte fphérique en tranches
qui foient aufli perpendiculaires àùmut cn;cu-
laire qui la foutient, ces tranches , au lieu d’être rec-
r tangulaires , fotmeront des. efpèces de triangles
(fié- 2,13 )o qni le réuniront tous au centre de la'voû-
■ te» en forte que là direélion de la pouffée changera
pour chacune, .au lieu d’être conftamment parallèle,
.comme dans lés tranchas de la voûté- en berceau ;
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d’où il réfulte que ces efforts, au lieu d’être indépendant
, fe détruifent en partie. C ’eft pour cette raifon
que l’on peut couper une voûte fphérique en deux
parties- égaies, & que les. deux niches qui en ré-
fultent peuvent fe loutenir indépendamment l’une
de l’autre, quoiqu’elles foient oppofées ; ce qui
prouve que les voûtes fphériques n’on-t prefque
point de pouffée , & qu’il fuffit de donner aux
murs circulaires qui les foutiennent , la même
épaiffeur qw?à la voûte. ( Voytr les mots Pouffée
& Voûte fphérique. )
Ênfin „ peur recoimoître l’avantage des voûtes
fphériques fur les voûtes en berceau , il luffit de
les comparer. "
Les voûtes en berceau , . confidérées comme la
formule de Bélidor les fuppofe , font compofées
dé deux-murs ifolés & .parallèles , qui foutiennent
dés .rangées de voufioirs ayant la même di-
reélion & qui peuvent fe défunir par lé moindre
effort , au lieu que les voûtes fphériques font fupportées
par des murs circulaires , dont chaque af-
fife forme cercle, ainfi que les rangs de vouf-
foirs, de manière que chacun peut fe foutenir
feul & former une voûte incomplète.
De plus, chaque pierre étant pofée en liaifon ,
il ne peut fe faire de déiunion , foie d?ns la voûte ,
foit dans le mur circulaire, ians qu’il fe faffe un
déchirement, qui exigeroit\un effort beaucoup plus
confidérable que celui de la pouffée, même d’une
voûte en berceau. .
D ’un autre côté , un mur.circulaire aune réfiftance
bien fupérieure à celle d’un mur droit
de même épaiffeur , car le bras de- levier, qui
ferme la îéfiftance de cette efpèce de mur , n’eft
égal qu’ à la moitié de fon épaiffeur , quelle que
foit fa longueur ; au lieu que celui d’un mur
circulaire augmente en railon. de ce qu’il comprend
une partie plus grande de la circonférence;
de forte que , s’il eft bien lié & qu’il forme une
circonférence entière , fon . bras de levier fera égal
au demi-diamètre extérieur.
Pour conclure , il-luffit de dire que le mur ,
.qui forme la tour du dôme du Panthéon n’a que
trois pieds un quart d’épaiffeur , & que cependant
, au lieu d une feule - coupole , il en fupporte
trdis , & de plus une lanterne , qui ne vient
d’être démolie qae pour y fubftituer un piédef-
tal & une figure coloffale de trente pieds , dont
le poids fera équivalent. Si on eût voulu avoir
égard aux procédés de l’a u t e u r à la formule
de Bébdor , on auroit trouvé plus de quinze pieds
pour I’épaifieur -de cette tour.
Quant à la., pofition de la tour du dôme fur des
pendentifs, elle n’eft pas auffi défavantageufe que
voudroit té.faire croire le même auteur: car on
peut confidérer les pendentifs, qui rachètent une
tour ronde, comme une partie de voûte fphérique,
dont chaque afiïfe forme une couronne incomplète,
qui fe termine contre les reins des grands arcs.
La charge occafionnée par la partie de la tour
j