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èn réfulte que HP : L Q : : Q R : P I , d’où l’oft tire
HP x P I— î -Q x QR & Pm = :Q n ; enfin PmzzQn.
a°. Comme PM — Ym & QN — Qn , & que par
l ’hypothèfe on a AP = BQ & AQ = B P , on aura
auffi PM2 : Q N2 : ? AP x PB : BQ x AQ.
Donc Yellipfe qui réfulte d’ une fe&iori du cône
eR une courbe fymétrique, dont la courbure aux
extrémités du grand axe eft égale, tant du côté de
la pointe du cône que du côté de fa bafe. De plus,
eette courbe eft absolument la même que celle qui
réfulte du cylindre coupé obliquement.
J’ai penfé qu’il étoit utile aux arts , & furtout
pour l’architeélure, de développer cette proportion
en faveur de ceux qui ne font pas géomètres,
parce que quelques auteurs ont prétendu prouver
le contraire, & que la plupart de ceux qui s’occupent
du trait de là coupe des pierres, de la charpente
& de la menuiferie ont adopté cette erreur.
Manière de tracer /’ellipfe par le moyen des foyers.
Nous avons dit qu’une des,propriétés de l’ellipfe
eft que la fomme des lignes, menées d’un point
quelconque de cette courbe aux deux foyers, eft
toujours égale au grand axe. 11 réfulte de cette
propriété , que fi l’on attachoit à ces points les
deux bouts d’un cordon, dont la longueur feroit ;
égale au-grànd axe, on pourroit, en plaçant une
pointe, un piquet ou un crayon, tracer cette courbe
en faifant gliffer ces inftrumens dans le_pli du
cordon que l’on fait tendre. Cette manière de
tracer Xellipfe lui a fait donner le nom d’ovale des
jardiniers, parce qu’ils font ufage de cette méthode.
Mais comme le cordon peut s’étendre pendant
l ’opération , ce moyen n’eft pas affez sûr pour les
ouvrages qur exigent une certaine précifton. Il vaut
mieux faire ufage du compas à ovale dont il a'été
parlé à l’article compas. (Voyez ce mot ).
Autre manière par plufieurs points.
On peut trouver autant de points de Yellipfe
qu’on voudra par une opération fondée fur ce
procédé ; après avoir déterminé les deux axes , &
place fur le grand les deux foyers, on prendra
~&ne grandeur quelconque qui doit être moindre
que FB & plus grande que AF =1 A/ , d’un des
foyers F & avec cette grandeur pour rayon , on
décrira une fe&ion indéfinie GH ; on portera en-
fuite cette grandeur de A en L fur le grand axe ;
on prendra le furplus L B , avec lequel on décrira
de l’autre fo y e r/ , comme centre, un autre arc qui
coupera le premier en M , qui fera un des points
de Yellipfe, puifqu’on aura MF -f- M / = AB.
Uellipfe étant une courbe fymétrique , on peut
déterminer , par ce procédé, quatre points de cette
courbe à-la-fois. Ainfi , avec une même grandeur,
on décrira du foyer F les arcs I & K , & du foyer/,
avec le même rayon^ les arcs L & N ; portant
fcnfuite cette grandeur de A en O , on décrira, avec
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un rayon égal à OB & des foyers F & ƒ t con^ .
centre, d’autres arcs qui, en coupant les premier
détermineront les points IKLN, qui feront au 1
points de la circonférence de Yellipfe.
En fuivant ce même procédé, on trouvera autant
de points qu’on voudra par le moyen defquels on
tracera à la main , ou avec une règle pliante, une
ellipfe, qui fera d’autant plus exaâe que les p0jntJ
feVont plus près les uns des autres.
Uellipfe tracée de cette manière eft parfaitement
femblable à celle qui ferçit tracée par le moyen
. des ordonnées des cercles décrits fur le petit ou le
grand axe , comme nous l’avons ci-devant ex-
plîqué.
Cette manière de tracer Yellipfe, par plufieurs
points , eft très-exacte & fort commode , mais elle
fuppofe la connoiflance des axes, & fouvent on ne
connoît que deux diamètres conjugués.
Pour deux diamètres conjugués.
Il y a différentes- manières de réfoudre ce problème;
nous avons choifi celle qui a plus de rapport
à la manière de. tracer les épures pour la
coupe des pierres ou des bois.
Soient les diamètres conjugués AB,DE ( fig. 235 )
ayant mené par le point D la ligne D T , parallèle
à AB , & par le point C , la perpendiculaire CK,
qui rencontrera D T au point. K , on prolongera
cette ligne vers F. Du point Ç , pour centre, &dii
rayon C K , on décrira le quart de cercle HK, &
avec le demi-diamètre C B , pour rayon , on décrira
un autre quart de cercle FB. On divifera la circonférence
de ces deux quarts de cercle en un
mêmé nombre de parties égales. Par chacune de
ces divifions 1,2 /3 , dans l’un & l’autre quart de
cercle , on mènera des parallèles au diamètre CB,
telles que aa' bb‘ cc dans le quart de cercle HK,&
i L , 2M, 3N dans le quart de cercle FB ; enfuite,
par les mêmes points 1, 2, 3 du même quart de
cercle FB , on mènera d’autres lignes 3g, 2h, 1 k)
parallèles à F C , par conféquent perpendiculaires à
AB , lefquelles couperont le diamètre aux points
ghk ; on mènera par ces points des lignes gc, hb) ka,
parallèles à CD , lefquelles couperont lès précédentes
aa' , AA’ , cc' aux points a, À, c, qui feront à
la circonférence de Yellipfe.
Ces points étant trouvés pour la partie DB,on
aura ceux pour la partie D A , en portant qc de q en
c', pb de p en b' & ao de 0 en a'. On répétera la
même opération pour l ’autre moitié à'ellipfe, & pat
tous les points trouvés , on fera paffer une-courbe
qui fera Yellipfe cherchée : car à caufe des parallèles
au diamètre AB , & des divifions égales des quarts
de cercle H K ,F B , les rayons CK , CF font divifés
en parties proportionnelles, de même que les lignes
CÎK, CD ; donc CD : C Q :: CF : CN & CD: CP:
CF : CM , & CD : CO :: CF : CL ; mais CQ =
g C ; Cpz=.bh,tk. CO = Kd, par la même raifon
g } CN ; A2 =s-CM & Ai s=-CL ; donc gc : bb^
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, c’eft-à-dire, que les ordonnées au diamètre
Tu 'cercle&>celies_ au diamètre de Yellipfe , font en
IWme « ifon entl'?elles'
I taire p“JI‘ r unt ell>Pfe V " ?oints ionn* f
■ « ne faut, pour parvenir à tracer un cercle dont
[ -n ne connoît ni le rayon ni le centre, que trois
I ooints; mais pour Yellipfe, il en faut cinq , tels que
I a MBND (jïg. 236 ) il eft évident qu’ils ne doivent
I „as être en ligne droite, & qu’il faut qu’ils puiffent
I convenir à une courbe fermée ; cela pofé , on
I réunira quatre de ces points par les lignes AB,MJN,
I & par le cinquième point D , on mènera une droite
I j)g parallèle à A B , prolongée indéfiniment vers I F puis on fera cette proportion MO x ON : AO
I ,x’oB :: MK X KN : DK X K F , qui donne KF =
[ AO X OB X MK X KN A ;ng je p0;nt p fera déter-
V m o x o n x o k .
* miné en portant cette valeur de K en F , puifque
toutes les lignes qui forment le numérateur & le
dénominateur de cette ftaflion , font déterminées
de grandeur par la pofition relpeélive des points
AMBND. Pareillement pour avoir un point P fixé’
i fur la droite GD menée par le point D , parallèle-
! inent à la droite MN , & qui coupe la droite AB
au point G-, on fera cette analogie AO X OB : MO
[ x ON :: GB x GA : GD X G P , qui donne GP =
cette valeur de G
en P,-on aura la pofition du point P.
[ On cherchera enfuite le centre de Yellipfe , qui
! doit être placé fur une ligne droite RCr, qui paffe
! par les milieux Q S des parallèles PD,MN; pareil-
Mement par les points T ,V , milieux, des parallèles
AB & DF, on mènera la droite indéfinie ZTV X ,
qui coupera la droite Rr au point C ,q u i fera le,
[ centre de Yellipfe, dont les droites Rr,{# feront les
diamètres.
Pour déterminer la grandeur des demi-diamètrès
[ CR,Cr , on remarquera que les droites PD,MN étant
parallèles & coupées également aux points QS ,
feront des doubles ordonnées au diamètre RCr;
-ainfi, on aura MS* : PQ2 : : CR* — CS2 : CR2— C Q 2;
d’où l’on tire CR I .M ? X Ô g \ - j ÿ “x ç g &
.s,sa—p y
CR= E § ; ^ Q ^ x c g ;A J | trouv, :
MS — PQ* J
le demi-diamètre C R , dont on a déjà l’ordonnée
•MS, 011 trouvera fon conjugué en faifant cette
proportion CR* — CS2 : AÏS* : : CR2 s CE*, & l ’on
I rfCj ira *avec ces deux diamètres Yellipfe par la mé-,
tnode ci-devant expliquée.
L ufage fréquent qîre l’on fait de Yellipfe dans les
arts , & furtout dans l’archité&ur.e, exige encore ;
Suel^ues problèmes dont nous allons donner la
, E L Y '32-5: -
folution. On a fouvent befoin de mener des tan?
gentes ou des perpendiculaires à cette courbe. Ces
opérations’ font fort fimples lorfqu’on connoît les
foyers.
Si par un point quelconque P d’une ellipfe , dont
on connoît les foyers F/, on veut tirer une perpendiculaire
à cette courbe , il faut de ce point. P y
mener aux deux foyers les droites PF,P/, & divifer
l’angle FPƒ en deux parties égales par^ la droite
RPS , qui fera là perpendiculaire cherchée.
Si Pon mène, par ce même point P , une perpendiculaire
à RS, elle fera tangente a ce. point ;
lorfque Yellipfe a été tracée fans le fecours des
foyers, pour les trouver il faut, du centre O , oC
avec un rayon moindre que la moitié de la longueur
de Yellipfe , décrire deux arcs de cercle GH, IK
terminés par la courbe ; on divifera enfuite chacun
de ces arcs en deux parties égales aux points L ,M ,
par lefquels on mènera une droite qui rencontrera
Yellipfe aux points A & B. Cette ligne fera le grand
axe de Yellipfe. Pour avoir le petit, axe, on élèvera y
par le milieu O , une perpendiculaire CD ; connoif-
fant les deux axes , on trouvera les foyers comm#
il a été ci-devant indiqué.
Uellipfe pouvant être confédérée comme un cercle
allongé , ou raccourci par l ’éloignement ou le
rapprochement de -ces ordonnées, il en réfulte que
fa furface comparée à celle du cercle eft, pour le
premier cas, comme le petit axe eft au grand axe y
& dans le fécond, comme le grand axe eft au petit.1
Nous renvoyons , pour les autres propriétés de
Yellipfe, au Di&ionnaire de mathématiqùés..
On peut voir aufli l’article ceintre de cë di&ioii-
naire pour l’imitation de cette courbe par des arcs
de cercles.
ÉLYSÉE (jardinage), Champs-Elifées. On fait
.que ce nom fabuleux fut donné par la Mythologie
a ce lieu imaginaire oh les peëtes placèrent les ombres
des héros ,dés hommes vertueux, & en général
de tous ceux qui avoient bien vécu. Elles jouiffoient
d’un bonheur inaltérable dans ce féjour ou régnoit
un printèmps éternel/ :
11 n’ eft point de motif plus analogue aux fujets
qüe le jardinage peut traiter, ni plus conforme à
l’imitation de cet-art. C ’eft à lui qu’il appartient
de réalifer ces briîlans tableaux & ces ingénieufes
fixions de la poéfie. Dans plus d’ un jardin, cet
agréable fujet a déjà été traité & rendu avec tout
l’intérêt qu’il infpire. L ’Aglèterre en offre plufieurs
ëxemples. Le plus célébré eft celui des Champs-
Elifées à Stowe. De pareils jardins font peu fuf-
ceptibles de defeription; mais on ne fauroit fe rer
fufer à en faire mention.
« Les Champs-Elyfkes de Stowe font arrofés par
un beau ruiffeau. Les arbres y font plantés à de fi
grandes diftances , que la lumière s’y répand de
toute part ainfi que la gaîté. Ces arbres s’ouvrent
fur une clairière du côté ou les eaux offrent la plus
grande furface, & ils laiffent voir au travers dé