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Il paroît qu’il y auroit de quoi fatisfaire les recherches
des curieux, en fait d’antiquité, fi l’on
ELLIPSE , f. f. ( conftruéè. ) Cette courbe étant
Ô’ un fréquent ufage dans l’art de bâtir, nous avons
cru devoir donner du développement à cet article ,
qui comprendra quelques déinonftrations nouvelles.
Udlipft eft la courbe qui réfulte d’un cylindre ou
d'un cône droit, coupés obliquement à leur axe ,
ainfi qu’on le voit dans les figures 225 & 226.
La figure 227 eft la projeâion d’un demi-cylindre,
dont les bafes font repréfentées par les demi-
cercles A B D , ED 9 , & la feéfion oblique qui produit
Yellipfe, par la ligne BE.
Les lignes parallèles 1 ,7 ; 2,8; 3,9; 4,10; 5 ,1 1 ;
divifent la circonférence de ce demi-cylindre en
lix parties égales, indiquées sur la circonférence du
demi-cercle ADB par les points b}c ; D,e,/ ; en
forte que les lignes 1,7.6c 5,11 font cenfé élevées
au-dessus du diamètre , dans tous les points de leur
longueur, à une hauteur égale à \J> & 5 ,ƒ; que
l’élévation des lignes 2,8 6c 4,10 eft égale à 2,c 6c
4,e, 6c que celle de la ligne 3,9 eft égale à 3D 5
d’où, il réfulte, que fi de tous les points où l’oblique
BE coupe les parallèles 1 ,7 ; 2 ,5; 3,9; 4,10
<Sc 3,11 , on élève des perpendiculaires égales à
l ’élévation de chacune de ces lignes au-deflus du
diamètre ; c’eft-à-dire, que fi on porte 5 f de 5' en
y 1 ; 4,e de 4* en e ; 3D de 3' en D' ; 2c de 2' en c 6c
îyb de 1' en b\ ôc qu’on trace la courbe B e' ,
D ’, c , b\ E', elle repréfentera celle qui réfulte du
cylindre coupé obliquement, c’eft-à-dire, Yellypfe.
Les perpendiculaires au diamètre AB du demi-
cercle 6c au diamètre BE de Yellipfe, font appelées,
ordonnées à ces diamètres.
Comparaifon du cercle avec i’ellipfe.
Dans Yellipfe comme dans le cercle, tous les
diamètres fe croifent au centre qui les divife en
deux parties égales ; mais dans le cercle , tous les
diamètres font égaux, tandis que dans Yellipfe leur
grandeur change pour chaque point de la courbe ;
le plus grand des diamètres eft appelé grand axe,
.& le moins grand , petit axe.
De tous les diamètres, il n’y a que les deux axes
qui fe coupent à angles droits, les autres forment
entr’eux des angles plus ou moins grands.
Comme Yellipfe eft une courbe fermée & fymé-
trique, les deux axes la divifent en quatre parties
égales 6c de même forme.
Dans le cercle , les ordonnées aux diamètres
forment toujours des angles droits.
Dans Yellipfe, il n’y a que les ordonnées aux
axes qui leur foient perpendiculaires. Les ordonnées
aux autres diamètres font parallèles aux tangentes
menées à l’extrémité/de ces diamètres.
L a plus grande des ordonnées à un axe ou à un
diamètre, eft celle qui pafle par le centre ; cette
ordonnée eft U moine d’ un diamètre ou d’ un axe
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qui eft appelé conjugué, par rapport à celui auquel
il eft ordonné.
Dans le cercle, une ordonnée quelconque, telle
que M P , fig. 228 , eft moyenne proportionnelle
entre l'es parties AP 6c PB du diamètre , auxquelles
on donne le nom à? abcifes, en forte qu’on a la proportion
AP : MP :: MP : P B , d’où il réfulte que
MP”= AP x BP , c’eft-à-dire, que dans le cercle
le carré des ordonnées eft égal- au re£tangle des
abcifes correfpondantes.
Dans Yellipfe, fig. 2-29, le carré d’une ordonnée
quelconque au grand axe, eft au reâangle des abcifes
, comme le carré du petit axe eft au carré du
grand ; c’e ft-à -d ire , qu’on a MP : AP X PB
CD : AB qui donne MP X AB = AP X PB x Cl)1
qui fe réduit à MP z z AP x PB ~ = p > & pour le
petit axe N Q2 = CQ X Q D .x - = j d’où il réfulte
que dans Yellipfe le carré des ordonnées au grand
axe eft plus grand que le produit des abcifes correfpondantes
, & que le carré des, ordonnées au
petit axe eft moindre que ce produit.
Si par les points M/w de Yellipfe on mène deux
ordonnées PM , pm, on aura , d’après ce qui vient
d’être dit, PM* : AP x PB : : CD : AB , & pm :
B pX pA ::CD : AB , d’où l’on tire PM :Pm ::
AP x PB : Bp x pA; c’eft-à-dire que dans Yellipft,
les carrés des, ordonnées sont entr’eux comme le
reâangle des abcifes correfpondantes.
Dans le cercle, toutes lés perpendiculaires CD
à la courbe fe réunifient en un feu 1 point O, qui
e.ft le centre, fig, 230.
Dans Yellipfe, les perpendiculaires IH à la courbe
aboutiffent à différens points dd du grand axe ,
231.
Indépendamment du centre O , on place fur Je
grand axé de Yellipfe deux autres points F ƒ à égale
diftance du centre , auxquels on^donne le nom de
foyers.
Une des principales propriétés des foyers, eft
que la fomme des lignes menées d’un point de la
courbe, à chacun de ces foyers FI - f - ƒ I , eft toujours
égale au grand axe. Cette propriété fournit un
moyen facile de tracer Yellipfe, & de mener des tangentes
6c des perpendiculaires à cette co urb e.
Pour trouver la place des foyers , la méthode
ordinaire indiquée par tous les géomètres qui 01ît
parlé de Yellipfe, confifte à prendre la moitié du
grand axe A O , enfuite de l’extrémité C du petit axe
comme centre, & avec cette grandeur pour rayon,
on décrit fur le grand axe deux feâions, qui mar'
quent la place des foyers F & ƒ. p
Il réfulte de cette opération, que la diftance U
du centre de Yellipfe à un des foyers, eft moyenne
proportionnelle entre la fomme des déux4eml,aX
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leur différence ; c’eft-Mire , qu’on a la proportion
C O + C F : OF :: OF< C F - C O . Car par
L a propriété du triangle C O F , on a CF = CO
_j_ Qp*) d’où l’on tire CF — CO — OF . O r ,
CÜ* eft égal au produit de CO + CF
E çp_CO ; donc on a CO 4- CF : O F : :O F :
I C F -CO .
Dans tous les traités de géométrie où il eft
I oueftion de Yellipfe, on ne dit ries de leur origine
I c’eft-à-dire , qu’on n’explique pas à quel point'
I du cylindre & du cône ils correfpondent, ceft I cependant une queftion intéreffante que nous allons
I réfoudre. ^
Soit ABCD , le plan ou la proje&ion d’un cy- I lindre droit (fig. 232 ) dont la fedion oblique, qui
I produit Yellipfe, eft indiquée par la diagonale BC ,
I ÔC dont les lignes AB,CD font les diamètres des
I cercles qui forment les bafes du cylindre ; fi du
I point d’interfe&ion O , qui divife EC êc BC cha-
I cune en deux parties égales , on décrit les arcs
I EF & G/, les points F,/’ où ils couperont la ligne
I BC, qui eft le grand axe de Yellipfe, feront les
foyers; car à caufe du triangle re&angle BEO , on I aura ËÔ + B E a= B O a qui donne EO = B O — BE ?
I comme OF = EO on a OF — BO BE •
De plus, BO 6c BE étant les deux demi-axes de
, Yellipfey on a, comme dans le cas précédent, BO
+BE : OF :: OF: BO — B E ; c’eft-à-dire , que la
diftance OF eft moyenne proportionnelle entre la
fomme des deux demi-axes ôc leur difference ; donc
F eft un des foyers-. < ■ • (
Si l’on confidère Yellipfe produite par la feéfion
oblique AB (fig. 233 ) d’un cône droit LKM , qn
trouvera de' même' les foyers en décrivant du
point O , milieu de AB , les arcs RF & GF des
extrémités R 6c G de la partie d’axe du cone ,
comprifes entre les lignes AH,IB , menées des extrémités
de la feftion AB parallèlement à la bafe du
■ cône. ’ •
Car fi du point O , milieu de AB , on mène une
troifième parallèle PN , elle indiquera le diamètre
Hu cercle qui formeroit la feétion du cône felon cette
ligne , dont la moitié eft repréfentée par le demi-
cercle PDN ; & fi du point O , on mène l’ordonnée
OP, elle fera égale à la moitié du petit axe de
Yellipfe, dont le grand eft A B ; enfin , fi du point
D , avec un rayon égal au demi-axe AO , on décrit
fur OP une feéfion qui la coupe au point C , &
qu’on tire C D , on aura ( à caufe du triangle rectangle
COD , dont l’hypothénufe eft égale a la
moitié du grand axe, 6c le côté DO à la moitié
du petit ) C D *= DÜ2-f-CÜ 2 6c CÔ2= CD2 —
qui donne CD-f-DO :CÔ :: CO : CD— DO.
jMais comme CO G O c^ F O ^ cO R , on aura,
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comme oi-devant, CD.-+- D O : FO : j FO : CD — ,
DO ; c’eft-à-dire, que les foyers de itlhpje repre-
fentent l ’extrémité des axes de la partie de cône ou
de cylindre, dans laquelle eft comprife la faction
oblique qui produit Yellipfe. A
Vellipfe formée par la feâion oblique d un cône
droit eft parfaitement femblable à celle qui provient
de la feélion oblique d’un cylindre auffi
droit. Cette propofition paroît d’abord douteufe a
ceux qui n’ont pas étudié les ferions coniques ; car
il femble que la feaion d’ un corps tel que le cylindre,
dont le diamètre eft partout égal, devroit erre differente
de la fe&ion d’un côno, dont la groiieur va
en diminuant depuis la bafe jufqu’au fommet, ou
: elle fe termine à un point.
Quelques auteurs ont foutenu que la courbure
de Yellipfe , provenant de la fedion oblique du cône
droit, devait être plus fermée dans la partie située
du côté de la pointe du cône que celle quife trouve
du côté de la bafe. Cette opinion a été avancée
par Albert Durer, dans fes inftitutions géométriques,
où il donne une figure d’ ellipfe , qui forme des
jarrets à l’extrémité de chaque axe. •
jb| eft cependant démontré qu’il n’y a de différence
dans Yellipfe confidérée dans le cylindre 6C
dans le cône,que la pofition du centre par rapport
à l ’axe de ces folides. Ainfi, dans le cylindre, l axe
paffe par le centre de Yellipfe, ôc dans le cône ,1 axe
s’en éloigne plus ou moins en raifon de 1 obliquité
de la fe&ion. jjMÉJ - . , , , |
Quand à-la courbure de Yellipfe, confidéree dan*
le cône, voici une nouvelle demonftration pou^
prouver qu’elle eft la même aux deux extrémités
du grand axe, & que c’ eft une courbe Fymetnque,
parfaitement femblable à Yellipfe, confidéree dans
le cylindre. „ . _. .
Soit GSK la projeftion ou la fe&ion par 1 axe
d’un cône droit, foit AB la fe&ion oblique du plaît
coupant qui produit Yellipfe , dont cette ligne
eft le grand axe ; foient PM & QN , deux
ordonnées à l’axe AB , également éloignées du
centre O ou des extrémités A B. ^
I l eft évident que fi la courbure des deux extrer.
mités de cette cllipfi eft égale, ces deux ordonnées
feront auffi égales; & files carrés de ces ordonnées
fonr entr’eux comme le produit des abcifes correlpondantes,
c’ eft-à-dire, fi on a MP : QN y- AP
X PB : B Q x A Q , cette dlipft fera femblable a celle
oui réfulte 'de la feélion obl.que du cylindre.
Imaginons que le cône GSK {fig. coupe
par deux plans parallèles à fa bafe, & partant par les
points P & Q il en réfultera deux cercles, dont
HI & LR feront les diamètres, & dont les ordonnées
Pm & Qn font égales à celles PM & QN dé
Yellipfe : cela pofé,
A caufe des triangles femblables AHP, A L Q , on
a HP • LO • • AP ■ A Q , & à caufe des triangles
femblables B Q R ,B P l/ o n a QR: P I -E Q ^ B P ;
, & comme p,ar l’hypothèfe AP : A Q :: BQ . PQ , A