foit placé en un point quelconque, ou précifément
au commencement des rangées, ou au-delà, ou en-
deçà.
Cela pofé, il imagine que la première rangée foit
en ligne droite, & cherche quelle ligne doit être
l’autre qu’il appelle la courbe de rangée ; il trouve que
ce doit être l’hyperbole, pour que les angles vifuels
foient égaux. La rangée droite & l’hyperbolique feront
vues à l’infini ïôus des angles égaux ; & fi on
ajoute la demi-hyperbole oppofée, on aura trois
rangées d’arbres, la droite dans le milieu, & toutes
trois vues fous des angles égaux.
Il n’eft pas néceffaire que la fécondé hyperbole foit
l’oppofée de la première, c’eft-à-dire , de la même
efpece^ ou qu’elle ait le même axe tranfverfe. Il
fuffit qu’elle ait le même centre , fon fommet dans la
même ligne droite , &C le même axe conjugué. Ainfi
les deux hyperboles peuvent être de toutes les différentes
efpeces pofllbles , fans que l’effet foit différent.
Voyc^ Hyperbole.
De plus, la rangée fuppofée droite comme ci-devant
$ fi l’on demande que les arbres foient apperçus
fous des angles décroiffans, M. Varignon fait voir
que fi le décroiffement eft félon une certaine raifon
qu’il détermine, il faut que l’autre ligne foit une ligne
droite parallèle.
Mais il va encore plus loin ; & fuppofant que la
première rangée eft une courbe quelconque, il cherche
pour l’autre une ligne qui puiffe donner aux deux
rangées l’effet que l’on defire, c’eft-à-dire, de pouvoir
être vûes fous des angles égaux , ou croiffans ,
ou décroiffans à volonté.
NouSavons vû dans l'article A llée , que M. Varignon
, ayant fuppofé la grandeur apparente proportionnelle.
au produit de la diftance apperçue par le fi-
nus de l’angle vifuel, hypothefe en apparence beaucoup
plus vraiffemblable que la première, & qui eft
celle du P. Malebranche & des meilleurs opticiens
modernes ( voye{ Apparent ) , trouve que dans,
cette hypothèfe les deux lignes, pour être vûes parallèles,
doivent être convergentes ; & comme cette
conféquence eft abfurde, M. Varignon en conclut
qu’il finit rejetter le principe du P, Malebranche.
Mais cette conclufion eft trop précipitée. En effet,
i°. dans le principe du P. Malebranche , il s’agit de
la diftance apperçue, & non de la diftance réelle qui eft
beaucoup plus grande. V o y e iD is t a n c e , V ision ,
&c. Or M. Varignon, dansfes calculs, fait entrer la
diftance réelle. z°. Si au lieu de prendre pour la diftance
, commelefaitM. Varignon, lalignemenée de
l’oeil perpendiculairement à l’allée droite, on pre-
noit la ligne menée du même 'oeil à l’allée courbe,
alors on trouveroit pour la ligne cherchée une droite
parallèle à la première ; ce qu’il eft aifé de prouver.
Pour corriger donc l’hypothèfe de M. Varignon, en
prenant les diftances^telles qu’il les prend,il faut fup-
pofer que les grandeurs apparentes font proportionnelles
aux produits des tangentes des angles vifuels
par les diftances apperçues, dont on ignore la loi.
Voilà tout ce qui a été fait jufqu’à préfent fur la
queftion propofée, & on voit que la folution n’en eft
pas encore fort avancée ; il paroît que l’expérience
eft le feul moyen sûr de la décider. Cependant s’il
nous eft permis de hafarder ici nos conjeétures là-
defîus, nous croyons que les deux rangées d’arbres
dont il s’agit, doivent être deux lignes droites divergentes.
Voici les raifons qui nous portent à le penfer.
Quand on regarde un allée d’arbres plantés fur deux
lignes parallèles, ces deux allées paroiffent fe rapprocher
& tendre à s’unir , mais chacune des,deux
rangées conferve toujours l’apparence de ligne droite.
Les intervalles entre les ^rbres oppofés paroiffent
décroiffans, non pas précifément parce qu’ils font
vus fous des angles décroiffans , mais parce que les
piés des arbres éloignés font jugés plus proches qu’ils
ne font en effet. Ainfi (fig. iS, Perfpecl. ) l’intervalle
C D paroît plus petit que l’intervalle A B , parce
que l’intervalle A B , étant fort proche de l’oeil O , eft
vû à-peu-près à la place oiiil eft, au, lieu que l’intervalle
CD étant fort éloigné, les points C & D font
jugés plus proches qu’ils ne font réellement, par
exemple, font jugés.en c & en d , de forte que l’intervalle
C D ne paroît plus que de la grandeur c*/qui
eft plus petite ; d’oii i l s’enfuit que l’allée eft vûe ,
non dans le plan véritable A B C D oii elle eft, mais
dans une autre furface A B de fur laquelle on rapporte
les intervalles apparens : or les lignes A c , B d ,
qui terminent cette furface , font des lignes convergentes
que l’oeil juge droites ; d’oii il s’enfuit que la
furface A B d c fur laquelle on rapporte les inter-’
valles apparens, eft une furface plane. Gette conféquence
peut fe confirmer par une autre expérience..
Il n’y a perfonne qui n’ait remarqué que dans une galerie
longue & étroite, les côtés, le plat-fond & le
plancher., paroiffent fe rapprocher, mais qu’ils paroiffent
toujours être des furfaces planes, fi en effet
ils en font. Ne peut-on pas conclure de-là que la fur-
face fur laquelle on rapporte les intervalles des arbres
’plantés fur deux rangées quelconques, droites ou
courbes J parallèles ou non, eft une furface-plane ? fi
cela eft, la queftion n’eft plus difficile à réfoudre. Car
la moindre connoiffance des principes de la Géométrie
fera voir aifément, que pour que les lignes A B ,
c d , foient égales, & pour que les lignes A c, B d ,
foient des lignes droites parallèles, il Faut que les lignes
A C , B D , foient deux lignes droites divergentes.
A l’égard de la quantité de leur divergence,
c’eft-à-dire, de la quantité dont elles s’écartent l’une
de l’autre , cette quantité dépend de la grandeur de
l’angle d B D que le plan apparent C A B d fait avec
le plan réel A B C D , Sc c’eft • à l’expérience à faire
connoître cet angle; cependant, fans s’embarraffer
de le chercher, on pourroit découvrir la pofition
des lignes A C , B D , d’une autre maniéré, qui con-
fifteroità attacher en A & en B les extrémités de deux
cordes longues & d’une couleur fort remarquable ,
& à écarter ces cordes l’une de l’autre, en augmentant
ou en diminuant fucceffivement leur divergence,
jufqu’à ce que l’oeil plaoé en O les jugeât parallèles. ••
Ayant la divergence des. lignes A C , B D , on aurait
réciproquement l’angle d B D du plan apparent
& du plan réel ; mais on peut avoir dire&ement cet
angle d’une autre maniéré , par le moyen de deux
rangées d’arbres parallèles: on mettra au pié d’un des
arbres les plus éloignés, par exemple en? D , une
corde de couleur tres-remarquable, & on tendra
cette corde fur le terrein , en la rapprochant de
l’oeil O , jufqu’à ce qu’elle paroiffe dans une fituation
parallèle à la r&ngée A C ; ce qu’il fera facile de juger
pour peu qu’on ait de jufteffe & d’habitude : or
fi cette corde coupe l’intervalle A B au point V par
exemple, on aura A V pour la grandeur apparente de
l’intervalle C D , car les lignes D F ScC A paroiffant
parallèles par l’hypothefe, les lignes A V ,C D , paroî-
tront égales ; on aura donc A V égal k c d , par confisquent
on aura le rapport de c d h A B . Or ce rapport-
donne l’élévation du plan A B d c , car le rapport de
A B k.c d eft égal à celui de C D k c d c’eft-à-dire ,•
à celui de O D à O d , on connoîtra donc le rapport
de 0 D à O d ; ainfi puifque OZ) eft connu, on coït
noîtra 0 d ,S c par conféquent la pofition de la ligne
B d .
Au refte, pour peu qu’on y faffe d’attention, on
verra qu’en fuppofant même tout ce que nous avons
dit ci-deffus exa&ement démontré , la quantité de la
divergence des lignes A C , B D , dépend de la grandeur
de l’intervalle A B , & de la hauteur de l’oeil au-
deffus du plan de l’allée. C’eft pourquoi une allée d’arbres
, qui feroit parallèle à un certain point çle v u e ,
ne jle feroit plus à un autre. Quoi qu’il en foit, nous
fouhaitons que les nouvelles vues que nous venons
de donner pour la folutioii de cette queftion , excitent
les Phyficiens à faire des expériences pour vérifier
notre principe, & pour donner à cet égard un
nouveau degré d’accroifiement à la théorie de la vi-
fion. ■
Pavois fiai cet a r tic le depuis plufieurs années ,
comme;,il me., feroit aifé de le prouver., lorfque
M. Bouguer lut à l’académie dés Sciences un écrit fur
le mêmefujet, qui contient au fond les mêmes, principes
; & je dis pour-lors de v iv e voix à l’académie ,
fans prétendre rien ôter à M. Bouguer, que j’avois
trouvé comme lui , &pa r les mêmes raifons , que les
lignes cherchées, dévoient être deux lignes droites divergentes.
Le mémoire de M. Bouguer n’eft point encore
imprimé au moment oii j’ajoute ces dernieres lignes
au préfent a r tic le , c’eft-à-dire, en Décembre
W m m m Ê Ê Ê ... I
. PARALLELOGRAMME , f. m. e n Géométrie ,
c’ eft une figure reéliligne de quatre côtés.;.dont les
côtés oppofés font parallèles & égaux. Voye^ Q u a d
r i l a t è r e » .
Le parallélogramme eft formé, ou peut être.iup-
pofé formé par le mouvement uniforme d’une ligne
droite toujours parallèle à elle-même.
Q u a n d le pArallélogramme a to u s fe s an g le s d ro its ,
ô£ feu lem en t fe s Cotés o p p o fé s é g a u x , o n le n om m e
rectangle OU quarré long. Voye{ R E C TANGLE.
Quand les angles font,tous droits, Sc les côtés
égaux, il s’appelle quarré. V o y e ç Q u a r r É. £
. S i to u s le s c ô té s fo n t é g a u x , & le s an g le s in é g
a u x , o n l’a p p e lle rhomke o u lofange. Voye£ R h q m -
b e 6* L o s a n g e »
S’ i l n’y a que lès c ô t é s o p p o fé s q u i fo ien t é g a u x ,
& le s an gle s o p p o fé s au ffi é g a u x , ma is n o n d ro it s ,
c ’e f t u n rhomboïde. Voye[ RHOMBOÏDE.
Tout autre quadrilatère, dont les côtés oppofés
ne font ni parallèles ni égaux, s’appelle un trapt^e.
^©y^TRAPEEÈ.
Propriétés du parallélogramme. Dans tout parallélogramme
, de quelque efpece qu’il fo it , par exemple
, dans celui-ci A B C D ( P lanch.es géomet. fig. 4 / .) ,
4 a diagonale D A le divife en deiix parties égales ; les
angles diagonâlefnent oppofés B C & A D font
égaux; les angles oppofés au même côté C D & À B
font enfemble égaux à deux angles droits ; & deux
côtés pris enféifible .font plus grands que la diago^
haie.
Deux parallélogrammes, A B C D & £ C D F, fur
la même ou fur une égale bâfe, & de la même hauteur
A C , ou entre les mêmes parallèles A FC D ,
font égaux ; d’où il fuit que deux triangles C D A St
C D F , fur la même bafe & de la même hauteur ,
font auffi égaux.
Il s’enfuit auffi que tout triangle C F D eft moitié
du parallélogramme A C D B , fur la même ou fur une
égale bafe C D , Sc de la même hauteur, ou entre les
mêmes parallèles ; & qu’un triangle eft égal à un
parallélogramme qui à la même bafe & ia moitié de la
hauteur, ou moitié de la bafe St la même hauteur.
Vcrye{ TRIANGLE.
Les parallélogrammes font en raifon compofée de
leur bafe Sc de leur hauteur» Si donc les hauteurs font
égales, ils font comme les bafes , St réciproquement.
Dails les parallélogrammes & les triangles fembla-
blest, les hauteurs font proportionnelles aux côtés
homologues. De-là les parallélogrammes & les triangles
femblables font en raifon doublée dé leurs côtés
homologues, auffi-bien que de leurs hauteurs Si de
leurs baies ; ils font donc comme les quarrés des cô- j
tés, des hauteurs ôc des bafes.
-Dans tout parallélogramme , la fomme des quarrés
des deux diagonales eft égale à la fomme des quarrés
des quatre cotés., .
M. de jjLagny regardé : cette propofitiôn comme
une des plus importantes de toute la Géométrie : il
la met au-même rang que la fameufe X L VIIe, d’Èu-
clide, & que celle de la fimilitude des triangles ; St il
ajoute que le premier livre entier d’Eltclide, n’eft:
qu’un cas particulier de Celle-ci. Car fi ce parallélogramme
eft reftangle, il s’enfuit que les deux diagonales
font égales par conféquent. que le quatre
de la diagonale, ou, ce qui revient au même , le
quarré dejl’hypothenufe de l’angle droit, èft égal aux
qUarrés des cotés»
Si4e parallélogramme n’eft pas reftangïe 5 & par
conféquent fi les deux diagonales ne font pas égales,
cë qui eft le cas le plus général, la propbfition devient
d’une vafte etendue ; elle peut fervir, par exemple
, dans toute la théorie des mouVemens Compofés ,
&c. r
Il y a trois maniérés de démontrer ce théorème :
la première , par la Trigonométrie, ce qui demande
vingt-urie opérations ; la fécondé, géométrique &
analytique j en demande quinze :M. de Lagny en
donné une plus courte dans les m ém o ires d e C a c a d é m
ie ; elle n’en exigé que fept. V o y eç D iagon ale.
Mais en fuppoiant la fameufe X L V f Ie. dont la
demonftfation eft d’un affez petit détail, celle-ci fe
démontre avec une extrême facilité : car foit A C
— F> ( PL. de Géôm.fig. a i . ) , D B = d A B = ± C D
t = B ,B C = A D = C, B F — A E = zy ,C F = D £
■ =f ^alors D Ffera e= B + x ,S c CE = B — * ; 0n
voit bien que A F & B F font des perpendiculaires.
Ceci fuppofé, il faut démontrer -que Û D 4- d d= .
1 B B + 1 C C .
Démohft. par la X L V IF . D D = Ÿ Y + B B —
2 B x 4- x x St CC = y y -j- x x . Mettant donc CC
en la place de Y Y x x ^ dans l’équation précédente,
onaura D D = B B -f- C C — 2.B x .
Pareillement dd = Ÿ Y -f- B B + z B X -f- X X
= B B - f C C + xÈX -, par conféquent D D 4- d d
z= B B + C C + 2 .BX + B B + C C - z B X ,S c t è -
duifant ce dernier membre à fa plus fimple expreffion,
fou a Ï>D - f dd s z B B 2 CC. (C. Q. F. D .)
Trouvez l’aire du parallélogramme reétangle A B
CF) ( fig. 41. ) ; trouvez la longueur des côtés A B
multipliez A B par A C: le produit ferâl’àife
du par'allélogramme. Suppoféz par exemple A B ,
345; A C , 333 : l’aire fera 1138 j.
On trouve 1 aire des autres parallélogrammes qui
ne font pas reâapgles, en multipliant la bafe Dt Ç
(fig. 26. ) par la hauteur B F.
Complément du parallélogramme. Voyez COMPLÉMENT.
Centre de gravité du parallélogramme. Voye{ CENTRE
DE GRAVITÉ & MÉTHODE CÈNTRÔÉÀRIOUÉ
m ■ • :
Quand les Géomètres difent qu’un parallélogramme
eft le produit de fa bafe par fa hauteur, ilsne
veulent pas dire pardà, comme quelqueS-uns fé l’iinà-
ginent, qu’une furface eft le produit dé deiix lignés
droites ; car on ne multiplie point une ligne droite
par une ligne dfoite, parce qu’on ne multiplié jamais
deux concrets l’un par l’autre ( voyei CONCRET ) ;
ce langage des Géomètres eft une façon de parier
abrégée j que j’ai expliquée à la fin de Vart. Éq uation
, tom. V. p. 8J4, col. a. ( 0 )
Réglé du parallélogramme» On appelle ainfi une réglé
imaginée par M. Newton, & dont voici l’ufage :
luppofons qu’on ait une équation algébrique ordonnée
en x St en y , on demande la valeur ae y en x
lorfque sc = o , & lorlque x = oo, Pour cela ôn clif-
pofe en cette forte dans un parallélogramme tous les
A A A a a à ij