49° O N Z
les deux IL ...'.—es devroient toujours être «gales : ce
qui n’eft pas pourtant. Mais on doit faire attention
q u e , quand la fomme de deux chiffres ( repréfen-
tés ici par deux lettres ) excède 9 , on renvoie une
unité au chiffre de la gauche , ne retenant pour celui
fur lequel on opéré que l’excès de cette fomme
au-deffus de 10. Celui-ci y perd donc 10 , tandis
que fon voifm y gagne 1 : la différence doit donc
être 10 + 1 ou 11.
Comme en faifant la fomme des differentes colonnes
, il peut arriver que le renvoi d’une unité
au chiffre de la gauche ait lieu plufieurs fois ; s’il fe
fait conftamment au profîf des chiffres de même nom,
foit pairs , foit impairs , il eft vifible que la différence
des deux fommes ne fera plus Amplement 1 1 ,
mais un multiple de 1 1 , déterminé par le nombre
même des renvois.
Si les renvois fe font partie au profit des chiffres
pairs, partie au profit des impairs , ou ils font en
nombre égal de part & d’autre, & alors, tout fe
trouvant compenfé , l ’égalité rigoureufe fe maintient
entre les deux fommes : ou ils ne le font pas ,
& alors le multiple de 11 qui conftitue la différence
eft déterminé par la différence des deux nombres
qui expriment celui des renvois faits au profit des
chiffres de différent nom.
10. Au refte, fur l’infpeûion feule du nombre
propofé à multiplier par 11 , il eft aifé de déterminer
combien il y aura de renvois dans l’addition
qui fert à cet effet ; & par une fuité de juger quel
rapport auront entr’ elles dans le multiple meme la
fomme des chiffres pairs & celle des impairs ; fi
elles feront égales, ou ( dans le cas d’inégalité ) de
quel multiple de 11 elles différeront. Pour cela ,
appariant fuccefîivement chacun des chiffres du
nombre propofé avec celui qui le précédé vers la
gauche , autant de fois que la fomme de deux chiffres
pris de cette maniéré excédera 9 , autant il y
aura de renvois ( s’entend que, ^quand il y a renvoi
d’une fomme précédente , il faut augmenter
d’une unité la fomme fubféquente ). On verra donc
au premier coup d’oeil que pour 43 5 , il n’y aura
point de renvoi , & conféquemment que dans le
multiple les deux fommes feront égales ; que pour
8264, il y en aura deux , qui étant l’un & l’autre
au profit des chiffres de même nom ( ce qu’on re-
connoît encore par la difpofition des chiffres ) donneront
pour la différence des deux fommes dans le
multiple 11X2 ou 22 , &c.
11. Pour démontrer la propofition inverfe ( voyez
le n°. y. ) qu’un nombre quelconque , conditionné
comme il y eft dit, foit repréfenté généralement par
a. a-\-b. b+ c . c , & qu’on y applique la méthode
de fouftra&ion expofée , n°. 3 : il fe réfoudra en
deux quantités , a. b. c. * & a. b. c , dont l’une eft
décuple de l’autre. Il en étoit donc la fomme : mais
la fomme de deux femblables quantités eft un multiple
de 11.
Ce raifonnement paroît encore ne conclure que
pour le cas d’égalité entre les deux fommes.. . mais
fi la différence eft 11 ou l’un de fes multiples , en
appliquant la fouftraâion, il y aura des emprunts à
faire fur les termes excédens au profit des défail-
lans, plus ou moins, félon le multiple. Chaque emprunt
fera perdre une unité à l’excédent, &: augmentera
de 10 le défaillant ; ce qui fera évanouir
la différence, & ramènera les chofes au cas d’égalité
. . . . Ce défaut apparent dans la démonftration
ne provient donc que de fa généralité même , &
de ce qu’elle eft antérieure au choix de toute méthode
particulière de calculer.
12. En tout multiplie foit de 9 , foit de 1 1 , fi l’on
fait féparément la fomme des chiffres pairs &: celle
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des impairs ; c’eft ( pour 9 ) la fomme totale de ce#
deux fommes qui eft un multiple de 9 : & ( pour 11 )
c’eft fôur différence, quand elles différent, qui eft un
multiple de 11.
Troifieme propriété. Si l’on renverfe l’ordre des
chiffres qui expriment un nombre quelconque, la
différence & la fomme du nombre direct & du nombre
renverfé, font des multiples de 11 ; la différence 9
quand les chffires du nombre propofé font en nombre
impair ; la fomme, quand ils font en nombre
pair. Par exemple ,
826—628=198 : or 198=18
11
82 + 28 = n o : or 110=10
fans refte, parce que le nombre des chifres de 826 eft
impair • 82 eft pair.
La démonftration dépend des deux propofitions
fuivantes.
14. Lemme 1. La différence & la fomme de deux
puiffances quelconques de la même racine font des
multiples de cette racine augmentée de l’unité ; la différence
, quand celle des expofans des deux puiffances
eft un nombre pair : la fomme, quand la différence
des expofans des deux puiffances eft un nombre
impair. Pour la preuve, voyez l'article Ex po san t *
Lemme II. (Par chiffres correfpondans il faut entendre
deux chiffres pris en un nombre quelconque à
égale diftance du milieu chacun de fon côté ; comme
font d’abord les extrêmes, puis les deux les plus
voifins de ceux-ci, &c ).
15. En tout nombre, la différence des expofans
des deux puiffances de 1 o ( ou plus généralement de
r ) , qui y déterminent la valeur relative de deux
chiffres correfpondans quelconques, eft d’un nom
différent de celui du nombre total des chiffres ; c’eft-
à-dire paire quand celui-ci eft impair, & réciproquement.
En effet,que a.rm & b.rn repréfentent la valeur relative
des deux chiffes extrêmes a & b d’un nombre
quelconque, dont le nombre total des chiffres (voyez
Echelle a r ith m é t iq u e ) , fera par conféquent
m +1 ; il eft évident que m—n — m — o— zneft d’un
nom différent de m +1. Il n’eft pas moins clair que,
pour tous autres deux chiffres correfpondans tirés
par ortjre du même nombre, m—n fera dans le même
ordre m—2 , m—4 , m—6 , &c. fuivant une pro-
greflion arithmétique dont 2 eft la différence: chaque
terme y fera donc de même nom que le premier m ,
& par une fuite d’un nom différent de m— 1.
16. C e la p o fé , quand on renverfe l’ordre des
chiffres qui expriment un nombre quelconque , on
ne fait qu’échanger la valeur relative des chiffres
correfpondans ; en forte que a.rm & b,rn deviennent
a.rn & b.fn. Maintenant fi l’on ôte cette fécondé
quantité de la première, ou fi on les ajoute enfem-
ble on aura ( toute dédu&ion faite, & fuppofant
a> b & m> n) , la différence = .a — bx rm — rn & la
fomme = a - f b x rm + r” ; mais s’il s’agit de la différence
, le 2d fadeur rm— r» ( & par une fuite le produit
même ) eft ( lemme I. ) un multiple de r -j- 1 ou
de 1 1 , quand m—n eft pair ; & m—n eft pair ( lemme
II.) quand les chiffres du nombre propofé font
en nombre impair.
Pareillement, s’il s’agit de la fomme, le 2d fadeur
fn _|_ r eft ( lemme I . ) multiple de r + 1 ou de n ,
quand m— «eftimpair; tknî—n eft impair ( lemme
I L ) , quand les chiffres du nombre pris pour
exemple font en nombre pair.
La troifieme propriété fe trouve donc prouvée
dans fes deux parties. Car ce qui vient d’être dit de
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cleux chiffres correfpondans, s’applique de foi-m&-
me à la fomme de tant de chiffres pareils , pris ainfi
deux-à-deux qu’on voudra. Elle aura la meme propriété
qu’affedent tous & chacun des élémens dont
elle eft formée.
17. Refte une difficulté. Tout le raifonnement
qu’on vient de voir , porte fur la correfpondance des
chiffres : mais quand le nombre en eft impair, celui
du milieu fe trouve ifolé & fans correfpondant..........
D ’abord cette difficulté ne peut regarder la fomme ,
dont la propriété n’a lieu que quand les chiffres du
nombre propofé font en nombre pair. Elle s’évanouira
même pour la différence, fi l’on fait attention
que le chiffre du milieu , occupant dans le nombre
renverfé le même rang quÿil occupoit dans le nom- '
bre dired , la feuftradion le fait difparoitre , &
qu’ainfi il n’y a aucun compte à en tenir.
18. Dans le renverfement des chiffres , la différence
& la fomme du nombre dired & du nombre
renverfé font des multiples de 9 & de 11 ; la différence
feule pour 9 , mais dans tous les cas: la différence aufli
bien que la fomme pour 11 , mais chacune refpedi-
vement dans un feulcas ; celle-là quand les chiffres
du nombre pris pour exemple font en nombre impair
; celle-ci quand ils font en nombre pain
19. Il eft clair que tout fous-multiple de r -j- 1 ou
de 1 1 , participera aux mêmes propriétés qu’on vient
de démontrer pour r -f- 1 même. C ’eft ce qu’on ne
peut faire voir dans notre échelle , parce que notre
11 , comme nombre premier , n’a point de fous-
multiple : mais on le pourroit faire pour 2 & pour
4 , fous-multiples de 8 ( l’ i 1 de l’échelle feptenaire ) ;
pou r, &c.
Conclufon. 20. Le nombre 9 n’eft donc plus feul
en poffeflion des propriétés qui l’ont rendu fi célébré
; & s’il fe trouve que 11 en jouit aufli pleinement
que lu i , quoique d’une maniéré différente j on
peut donc,
i° . Jugerait premier coup d’oeil fi un nombre propofé
eft multiple de 1 1.
2°. S’il l’e ft , & qu’il s’agiffe d’en venir à la di-
vifion aduelle, on la peut faire au moyen d’une très-
limple fouftraétiôn.
30. S’il ne l’eft pas , au moins peut-on, fans en
venir à l'opération, voir de combien il en différé, &
connoître le refte qu’en obtiendroit par la divifion ;
ce quifouvent eft tout ce qu’on a intérêt defavoir....»
En effet, après avoir fait la fomme des chiffres pairs
& celle des impairs , & en avoir ôté 11 autant de
fois qu’il fe peut ; nommant R la différence des deux
reftes, celui que laiffera la divifion fera R même, fi
l ’excès appartient à l ’ordre de chiffres dont le dernier
fait partie, & 11— R dans l’autre cas : ainfi 2819
laiffera 3 , & 28190 laiffera 1 1 — 3 ou 8. Cet article
eft de M. R a l l i e r d e s O u r m e s . Voyez Neuf.
ONZIEME, ( Arithmètiq.) c ’eft une partie du tout
divifé en onze portions égales. En maniérés de nombres
rompus ou fraélions de quelque tout que ce foit,
lin onzième fe marque ainfi fy. On dit aufli deux onzièmes
, trois onzièmes, quatre onzièmes, &c. jufqu’à
dix onzièmes, au-delà defquels c’eft le tout. Pour les
marquer, on fe fert des chiffres fuivans, rr 5 tt > rr >
7 7 , &c. Dix onzièmes fe chiffrent ainfi , f f* /
O nzième , f. f. en Mufique , eft la répliqué ou
l’ottave de la quarte. Cet intervalle s’appelle onzième
, parce qu’il faut former onze fons pour paffer diatoniquement
d’un de fes termes à l’autre.
M, Rameau a voulu donner le nom d'onzième à
l’accord qu’on appelle quarte ordinairement : mais
cette nouvelle dénomination n’ayant pas été fuivie ,
je me conformerai à l’ufage. VàyezQ u a r t e , Supp
o s it io n , A cco rd . ( 5 )
ONZON , f, m. ( Gramm. ) terme de Calend. nom j
O O M 49*
d’un mois dont les Perfes fe fervent dans leurs cal»
culs aftronomiques. Il eft de trente jours,
O o
OOKEY-HOLE, ( Hift. nat. ) nom d’urte grottd
fameufe en Angleterre , dans la province de Som*
merfet, au pié des montagnes de Mendip. A l ’entrée
de cette grotte on apperçoit une fource très-confi-
dérable qui fort d’entre les rochers ; la montagne
qui la couvre eft fort haute & très - efcatpée. La
grotte eft tantôt unie, tantôt raboteufe , tantôt on
monte & tantôt on defeend ; dans de certains endroits
elle eft fort élevée , & dans d’autres on eft
obligé de fe baiffer pour pouvoir paffer. On y voit
des pierres & des ftalaftites de différentes formes
fingulieres & accidentelles. Il fort de cette caverne
une ri viere qui dans l’intérieur de la grotte eft remplie
d’anguilles , qui ont dû y être engendrées, vû
qu’elles n’ont pu y venir d’ailleurs , parce que l’entrée
de la caverne eft très-roide. Voyez les TranfacL
philofop. année i(?yg. n°. 1. (—)
OOLITE, f. f. ou P i e r r e o v a i r e , (ifift. nat.)
nom donné par les naturaliftes à une pierre compo-
fée d’un amas de petits corps fphériques , ou de
globules femblables à des oeufs de poiflons ou à des
graines. Les naturaliftes , qui femblent n’avoir jamais
manqué l’occafion de multiplier les dénominations
, ont donné différens noms à ces fortes de pierres
, d’après la groffeur des globules qui compofent
Voolite. Ils ont appel\èpifolitesy celles dont les globules
font de la groffeur d’un pois : celles qui font
plus petites , & femblables à des graines , ont
été appellées méconites , peut-être à caufe de leur
reffemblance avec la graine de pavot : celles qui
étoient applaties ont été nommées phacites , à caufe
qu’elles reffembloient à des lentilles : celles qui n’é-
toient que de la groffeur d’un grain de millet,ont été
appellées cenchrites : enfin celles qui reffembloient à
des petits grains de fable, ont été appellées ham-
mites. ou ammonites.
Quoi qu’il en foit de toutes ces dénominations
arbitraires, ces globules font ou blancs, ou jaunes ,
ou rougeâtres , ou bruns , ou noirs. Le glui:n, ou
fuc lapidifique qui les tient liés ou collés les uns aux
autres n’eft point toujours le même, ce qui fait que
la maffe totale qui réfulte de leur affemblageaplus
ou moins de dureté & de confiftance. Les petits globules
qui compofent ces pierres, vues au microscope,
pafoiffent formés de plufieurs petites lames ou
couches concentriques.On ignore précifément quelle
eft leur origine : quelques auteurs lesregardent comme
des véritables oeufs de poiffons & d’écreviffes
de mer pétrifiés ; Wallerius croit qu’ils ont été formés
par des gouttes d’eaux qui en tombant fur une
terre en poufliere, lui a fait prendre la forme de
globules. Il y a lieu de croire en général que ce font
de petits corps marins qui ont éré portés dans le fein
de la terre comme une infinité d’autres. Voyez F os-
S1LLES.
11 y a de petites étites ou pierres d’aigle en globules
, dont quelques coquilles font remplies, fur-tout
les cornes d’ammon qui fe trouvent en Normandie
près de Bayeux ; on pourroit aufli les appeller des
oolites à caufe de leur figure.
On trouve une grande quantité de ces oolites en
Suede , dans la province d’Angermanie , dans les
carrières de Weferling , dans la principauté d’Hal-
berftadt, fur la montagne appellée Nufsberg près de
Brunfwick, près de Bâle enSuiffe,dans le comté de
Neùfchâtel, &c. (—)
OOMANÇIE, f. f. (Divin.) forte de divination
par laquelle On croyoit connoître l’avenir par des
lignes ou des figures qui paroiffoient dans les oeufs#