© n tn b fp ira le in einem S to d w e rf e ben S te n g e l um tre ift, non ber gleich bleibett*
bett © röße beS h o riz o n ta le n AbftattbeS ber a u fe in a n b e r folgenbett S ölätter ab*
l;ängt. Um fid; baS tlarzumad;en, ziehe man an einer $egeloberfiäd;e eine Sdjraubettlinie
in berfelben SBeife, wie in ben Figuren auf S . 370 zu feheu ift, unb trage nun in biefe
Schraubenlinie fü n fte in fortlaufenb gleiten Abftänben ein. Die ©rohe beS AbftattbeS
ber fü n fte fann ganz beliebig gewählt werben; oon 2öid;tigfeit ift n u r, bah bie aufein*
anber folgenben fü n fte ben einmal gewählten. Abftanb einhatten. ©efeßt ben gall, eS.wür*
ben bie fü n fte in ber Entfernung oon x/io beS StreiSumfangeS (36°) in bie Schrauben*
linie eingetragen, fo fommen auf je einen Umgang ber Schraube zehn fü n fte in gleichen
SCbftänbeu zu Kegen. Ntit bent zehuten Sehntet hat aber bie Sd;raubenlinie ben Siegel,
beziehentlich ben Stengel einmal umgreift; ber elfte Quillt fommt über ben erften $punft
Zit liegen, unb eS beginnt mit ihm ein neuer Umgang unb ein neues Stodwerf. ES
werben fid; au einem fotzen Stengel notwenbig zel;« Drthoftichen ergeben, unb wenn
wir an bie Stelle ber fü n fte Blätter feßett, fo wäre bie Vlattftellung burch V10 attSzu*
brüden. frag en wir nun, um noch ein Veifpiel zu bringen, bie ipunfte in horizontalem
Stbftanbe oon 2/t beS ÄreiSumfaugeS auf bie Schraubenlinie ein. SBie ftellen ft<h ba bie
fü n fte ? Spunft 2 ift gegen Spunft 1 um 2/7, «puntt 3 um 2/7 + 2/7 = 4/7, ipunft 4 um
2/7 4 - 2/ 7 + 2/7 = e/7, «puntt 5 um 2/7 + 2/7 + 2/7 + 2/7 = 8/7 auf ber ©ntnbfpirale oor*
gerüdt. «puntt 4 liegt noch nicht genau über bem fü n fte 1, unb ipunft 5 liegt fd;ott über
1 hinaus, feiner oon beibeu fommt genau über 1 zu flehen. Ntan bringt nun weitere fü n fte
immer in bem gleichen Abftanbe, auf bem zweiten Umgänge ber Schraubenlinie an, zu*
nächft beit ipunft 6, biefer ift um 10/7 , bann ipunft 7, biefer ift um 12/7 , enblid; ipunft 8,
biefer ift um 14g gegen 1 auf ber ©ntnbfpirale oorgefd;oben. ipunft 8 fommt genau
über «puntt 1 zu liegen, Dort enbigt ber zweite Umgang ber Schraubenlinie, bort hört
and; baS erfte Stodwerf auf, unb es beginnt mit ?ßunft 8 ein neues Stodwerf. ES würben
fid; an einem Stengel, beffen Blätter biefelbe Verteilung wie in bem eben erörterten Vei*
fpiele bie fü n fte zeigen, unb oon bem je zwei unb zwei um 2/7 beS treiSitmfangeS tu
horizontaler Dichtung ootteittanber entfernt finb, 7 Drthoftichen ergeben, unb bie ©ruttb*
fpirale, b. tj- bie Sinie, welche bie übereinattber folgenben Vlätter in ihrer AlterSfolge oer*
binbet, würbe 2 Umgänge um ben Stengel machen. Eine fold;e Vlattftellung aber würbe als
SweifiebenteKVlattftellung zu bezeichnen fein. AitS biefett Veifpielen geht heroor, bah i ob ent
beliebigen, wenn nur gleichbleibenben horizontalen Abftanbe ber im Alter aufeinanber fol=
genbett Vlätter eine beftimmte Vlattftellung entfpricht. Der am ^reiSumfattge beS Stengels
gemeffene Abftanb mag ein grober ober fleiner fein, immer wirb fid; fhliehlid; eine gleich*
mäßige Verteilung ber Vlätter rings um ben Stengel l;erauSftellen, unb bie Vlätter werben
in gleicher horizontaler Entfernung nach fo nieten Dichtungen abftet;en, als burch ben Nenner
beS ben Abftanb anzeigettben Vrud;eS angegeben werben. Die Schraubenlinie aber, welche
alle burch bett Nenner angegebenen Vlätter miteinanber oerbinbet, wirb fo niete Umgänge
um ben Stengel machen, wie burch ben ,3ät;ter augezeigt werben. «Nit anbern SBorten: D ie
© ro h e beS h o riz o n ta le n SlbftanbeS g ib t im m er and; fd;on bie V ta ttfte ttu n g
an. D e r N e n n e r beS bie V la ttfte llu n g anzeigettben VrucheS ift gleid; b e r 3 a l;l
ber D rthoftichen, unb b e r S ä h le r ift gleid; ber A n z ah l ber U m g än g e, w e ld ;eb ie
© n tn b f p ir a le in einem S to d w e rf e macht.
ES ift hier auch noch ber fchon oben (S . 372) berührten Veobad;tuug zu gebenfen,
wonach jene Vruchzahlett, burch welche bie att ben Pflanzen thatfäd;lid; gefunbettett Vlatt*
fteHungen auSgebrüdt werben, ©lieber einer beftimmten Sahlenreil;e finb. «Natt mag was
immer für <gorizontalabftänbe zwifd;ett bett aufeinanber folgenben Vlättent gefunbett haben,
immer finb biefelbett Näherungswerte eines unenblichen $ettenbrud;eS oon ber gorm:
1
z + 1_
1 + 1
1 . . . ,
bei weld;etn z eine ganze Sal;t ift. Seht matt nun für z bie Scdd 1, fo gelangt matt
burd; Vtlbung ber aufeinanber folgenben Näherungswerte zu ber Neit;e V2, 2/3, 3Av 5/3,
8/i3, 13/2 i. . . ; feßt man z == 2, fo erhält man V2/ V3/ 2/s, 3/s, 5/i3, 8/21. . . ; feßt man
z = 3, fo erl;ätt man Vs, V*, 2/7 ,3/n , 5/is, 8/29. . . , unb fefet man z = 4 , fo ergibt fich
bie Neil;e x/4/ *1*, 2/9, 3/u / 5/23/ 8/37 • • • ®aS Ntertwürbige hierbei ift, bah unter allen
biefett Vlattftellungen biejettigen, welche burch bie Sahleu x/2/ V3/ 2/5/ 3/8/ 5/13 auSgebrüdt
werben, am l;äufigftett oorfommett, wäl;renb Vlattftellungen, welche ben anbern oben er*
wähnten Neil;en angehören, nur äußerft feiten beobachtet werben. Dßatfächlid; erfcßeint
alfo jen e N eiße am ö fteften , in w eld;er fü r z bie 3 aß t 2 fu b ftitu ie rt wirb. Nt an
l;at ben Vorteil, welchen bie aus biefer Saßl ßeroorgeßenbe Neil;e bietet, bal;in erflärt,
bah burd; fie einerfeitS Vlattftellungen zu ftanbe fommen, bei welchen burch bie tleinft*
mögliche g a h l o o n V lä tte r n in febem S to d w e rf e fchon eine gleichmäßige Ver*
te ilu n g berfelben erre id ;t w irb , u n b a n b e rfe its hoch and; w ieb er V la ttfte llu n *
gen, welche ein A u S lab en ber V lä tte r 0 0 m S te n g e l weg nach fel;r zahlreichen
D ich tu n g en ermöglichen.
Der ©runb, warum febe «pflauzenart ganz unabhängig oon äußern Eittflüffen, foju*
fagen ohne Kenntnis oon ben Verhältniffen, benen ihre Saubblätter in Bufunft auSge*
feßt fein werben, fchon in ber ßnofpe bie Vlätter in oorteilhaftefter döeife anlegt, fann
nur aus ber fpezififcßen Honftitution ihres «Protoplasmas erflärt werben. ©leid;wie itt
ber wäfferigen Söfung eines Salzes ßriflaUe anfd)ießen, bie je nach ber ßonftitution biefeS
Salzes halb mit fedj^f eiligen, halb mit breifeitigen Eden fich erheben, ÄriftaHe, bereu flächen
immer biefelbett Umriffe unb bereu bauten immer eine ganz genau beftimmte ©roße ber
Söinfel zeigen, ebenfo entftel;en im Vereine ber waeßfenben fetten Seiften, Abgrenzungen
unb Sd;eibewättbe, burd; weld;e fid; ber Seltenleib gliebert unb teilt, unb eS finb biefe fid;
einfhiebenbett «ßänbe bei ben oerfeßiebenften «Pftanzenarten itt Sage unb gönn unb itt ben
geometrifdjen Verhältniffen nicht weniger beftimmt als bie glähen ber aus ber Salz=
löfung heroorfprießenben ÄriftaUe. SBaS aber oon bem Vauplatte ber einzelnen 3eßett
gilt, muß wohl and; oon bem «platte, nach welchem fich eine ©nippe oon gellen, ein ©e=
webeförper, ein wad;fenber Sproß, ein Stengel mit feinen Vlättent, ja ber ganze «pflanzen*
ftod aufbaut, ©eltuug haben. Die Stelle, wo am Umfange beS Stengels ein Vlatt fich
anlegt, hängt gewiß nicht 00m Zufälle ab, fonbern ift itt bem molefularen Aufbaue unb
in ber fjufammenfeßung beS «Protoplasmas ber betreffenben «pflanzenart begrünbet, unb
wenn fich bie Vlätter an bem Zweige ber Eiche immer nach 2/s anorbnen, fo ift bie ton*
fianz biefer Attorbnung nicht mehr unb nicht weniger merfwürbig als bie touftanz in
ber ©röße ber tantenwinfel an einem Alaunoftaeber.
ES foll hier auch barauf hingewiefen fein, baß bie geometrifhe Anorbnung ber Sellen
an einfachen, ber Veobaü;tung leicht zugänglichen, langgeftredten ©eweben eine ganz ähnliche
ift wie bie Anorbnung ber Vlätter an bett Stengeln. S o z- V. halten an ben haarförmigen
Narben ber ©räfer bie S e lle n fel;r fd;ött bie E in b ritte l* S te llu n g ein. «Dian fönnte
nun aud; att einen Sufammenl;ang ber geometrifd;ett Stellung ber Sellen am Sd;eitel
eines fortwachfeitben Stengels mit ber geometrifd;en Stellung ber Vlätter au bemfelben
Stengel beulen. Aus jeber Sede am fortwachfeitben Scheitel beS Stengels wirb burd;
wieberholteS Eittfd;ieben oott Scheibewänben eine Sellgouppe. SBenn bie Sage biefer fich
teileuben Sellen eine geotnetrifd; beftimmte ift, unb wenn bie bei ber Deilttttg fich einfhie*
bettben Sd;eiöewäube bei jeber «pflauzenart beftimmte Dichtungen eint;alten, fo muß bie