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•dans un tems égal, Si ce nombre'eft comme I’efpafcè
parcouru pendant ce tems, c’eft-à-dire, comme la
vîteffe ; mais de plus elle croît en proportion de la
force avec laquelle lé corps heurte contre chaque
.partie , Si cette force eft comme la vîteffe du1 corps >
par conféquent, fila vîtefle eft triple , l a réjîflance
elt triple-, à caufe d’un nombre triple de parties que'
le -corps doit écarter ; elle eft auffi triple a caufe du
choc trois fois plus fort dont elle frappe chaque particule
; c’eft pourquoi la réjïjlance totale elt neuf fois
auffi grande > c’eft-à-dire, comme le quatre de la vîteffe
; ainfi un corps qui fe meut dans un fluide, eft
retardé, partie en raifon fimple de la v îtefle, Si partie
en raifon doublée de cette même vîtefle.
La réjîflance qui vient de la eohélion des parties
dans les fluides, excepté ceux qui font glutineiix,
n’eit guere fenfible en comparaiion de rautre réjîf-
tanu qui eft en raifon des quarrés des vîtefles, plus
la vîteffe eft grande, plus les deux réflflances font
differentes : c’eft pourquoi dans les mouvemens rapides
, il ne faut confidérer que la réjîflance qui eft
•comme ie quarré de la vîtefle.
Les rètardatiofts qui naiffent de la rêfîflance peuvent
être comparées avec celles qui naiffent de la pe-
Tanteur , en comparant la réjîflance avec la pefanteur.
La réjîflance d’un cylindre qui fe meut dans la direction
de Ion axe , eft égale à la pefanteur d’un cylindre
de ce fluide , dans lequel le corps eft mû, qui
auroit-fa bafe égale à la bafe du corps, Si fa hauteur
-égale à la hauteur d’oü ilfaudroit qu’un-corp's tombât
dans le vuide , pour acquérir la vîtefle avec laquelle
le cylindre fe meut dans le fluide»
Un corps qui defeend librement dans un fluide t
eft accéléré par la pefanteur relative du corps aui
agit continuellement fur lui, quoique avec moins de
force que dans le vuide. La réjîflance du fluide occa-
fionne un retardement,- c’eft-à-dire une diminution
d’accélération, Si cette diminution eft comme le
quarré de la vîtefle du corps. De plus il y a une certaine
vîteffe qui eft la plus grande qu’un corps puiffe
acquérir en tombant; car fi la vîteffe eft telle que la
réjîflance qui en réfulte devienne'égale à la pefanteur
relative du corps, fon mouvement ceffera d’être accéléré.
En effet, lé mouvement qui eft engendré continuellement
par la gravité relative, fera détruit par
la réjîflanct, & le corps fera forcé de fe mouvoir uniformément.
Un corps approche toujours de plus en
plus de cette vîteffe qui eft la plus grande qui foit
poffible, mais ne peut jamais y atteindre.
Quand les denfités d’un corps fluide font données,
on peut connoître le poids refpeftif du corps ; Si en
connoiffant le diamètre du corps, on peut trouver
de quelle hauteur un corps qui tombe dans le vuide,
peut acquérir une vîteffe telle que la réjîflance d’un
fluide fera égale à ce poids refpeâif; ce fera cette
vîteffe qui fera la plus grande dont nous venons de
parler. Si le corps eft une fphere, on fait qu’une
jfphere eft égale à un cylindre de même diamètre,
dont la hauteur eft les deux tiers de ce diamètre ; cette
hauteur doit être augmentée dans la proportion dans
laquelle le poids refpeétif du corps excede le poids
du fluide, afin d’avoir la hauteur d’un cylindre du
fluide dont le poids eft égal au poids refpe&if du
corps. Cette hauteur fera celle de laquelle un corps
tombant dans le vuide, acquiert une vîteffe telle
quelle engendre une réflflanc eégale à ce poids refpec-
t if ; Si c’eft par conféquent la plus grande vîteffe
qu’un corps puiffe acquérir en tombant d’une hauteur
infinie dans un fluide. Le plomb eft onze fois plus
pefant que l’eau; par conféquent fon poids refpeétif
eft au poids de l’eau, comme dix font à un : donc une
boule de plomb, comme il paroît par ce qui a été dit,
ne peut pas acquérir une vîteffe plus grande en tombant
dans l’eau, qu’elle n’enacquerreroitçn tombant
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dans le vuide d’une hauteur de 6 f fois fon diame*
tre.
Un corps qui eft plus léger qu’un fluide, Si qui
monte dans ce fluide par l’âftion de ce fluide, fe meut
exactement par les mêmes lois cju’un corps plus pefant
qui tomberoit dans Ce fluide. Par-tout où vous
placerez le corps, il eft fouténu par ce fluide, Si em-
porté-avêc une force égale à l’excès du poids d’une
quantité du fluide de même volume que le coup ,
fur le poids dû corps. Cette force agit continuellement,
& d’une maniéré uniforme fur le corps; par-
là, non-feulemènt l ’aôion de la gravité du corps eft
détruite, mais le corps tend auffi à fe mouvoir en en-
haut , par un mouvement uniformément accéléré ,
de la même façon qu’un corps plus pefant qu’un fluide
tend à defeendre par fa gravité refpeftive. O r l’u*
niforiùité d’accélération eft détruite de la même maniéré
par la réfîflahce, dans l’afeenfion d’un corps plus
léger que le fluide ; comme elle eft détruite par la
défeente d’un corps plus pefant.
Quand un corps fpécifiquement plus pefant qu’un
fluide, y eft jetté, il éproùve du retardement par
deux rarfons ; par rapport à la pefanteur du corps, Si
par rapport à la réjîflance du fluide : conféquemment
un corps monte moins haut qu’il ne feroit dans le
vuide , s’il avoit la même vîteffe. Mais les différences
des hauteurs auxquelles un corps s’élève dans un
fluide, d’avec celle a laquelle un corps s’élevêroit
dans le vuide avec la meme vîteffe, font entr’elles
èn plus grand rapport que les hauteurs elles-mêmes ;
& fi lés hauteurs'font petites, les différences font
à-peu-près comme les quarrés des hauteurs dans le
vuide.
&''f?dncé de Cair, eft; la force avec laquelle le
mouvyincpycks corps, fur-tout des proje&ffss, eft
retardé par foppofitionde l’air ouatmofphere. Foyer
Alïi & PRO'JECÏlLÈi
L’air étant un fluide, eft fournis aux réglés générales
de la rèfiftance des fluides ; à l’exception feulement
qu’il faut avoir égard aux différens degrés de
dennté dans les différentes régions de l’atmofphere.
Foyè{ Atmosphère.
■ ' Rêfiflances. différentes que le même milieu ùppofe à des
corps de différentes figures. M. New ton fait voir que fi
un globe & un cylindre, dè diamètres égaux, font
mus fuivant la direction de l’axe du cylindre,avec
une vîteffe ^ égale dans un milieu rare , compofé de
particules égales, difpofées à égales diftances, la ré-
jifiance du globe fera moindre de moitié que celle du
cylindre.
Solide de la. moindre réjîflance. Le même auteur déterminé,
d’après laderniere propofition, quelle doit
être la figure d’un folide qui aura moins de réjïjlance
qu’un autre de même bafe.
Voici quelle eft cette figure. Suppofez que D N
F 6 (P/, de Méch.fig, 5 y.'), foit une courbe telle que
fi d’un point quelconque N , on laiflé tomber la perpendiculaire
NM , fur l’axe A B , Si qUe d’un point
donné G , on tire Une ligne droite G R , parallèle à
une tangente à la figure en N , qui étant continuée
coupe l’axe en P ; MW eft à G R , comme le cube de
G R eft à 4 B R x G B }. Un'folide décrit par la révolution
de cette figure autour de fon axe A B , & qui
fe meut dans un milieu depuis A vers E , trouve
moins de réjïjlance que tout autre folide circulaire de
même bafe, &c.
M. Newton a donné ce théorème fans démonftra-
tiôn. Plufieurs géomètres ont réfolu depuis ce même
problème, Si ont découvert l’analyfe que l’inventeur
avoit tenue cachée. On en trouve une folution
dans le I. volume des mèm. de Vacadémie royale des
Seienc. de Vannée iScfC). Elle eft de M. le marquis de
l’Hôpital, & elle porte le cara&ere de fimplicité &:
d’élégance qui eft commun à tous les ouvrages de cet
habile
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habile mathématicien. MM. Bernoulli, Patio, Hef»
man, Si plufieurs autres, en. ont auffi donné des feintions
; Si. dans les mém. de Vacadêm. de iy j j , M.
Bouguer a réfqlu ce problème d’une maniéré fort
générale , en ne fuppofant point que le folide qu’on
cherche foit un folide de révolution, mais un folide
quelconque. Voici l’énoncé du problème tel que M.
Bouguer l’a réfolu. Une bafe expofée au choG d’un
fluide étantjdonnée, trouver l’efpece de folide dont
il faut la couvrir, pour que l’impulfion foit la moindre
qu’il eft poffible.
J’ai‘dit dans mon Traité des fluides i que toutes les
folutions qu.’on a données de ce problème depuis M.
Newton inclufiyement, ne répqndoient pas exactement
à la queftion ; fi on excepte Celles où la maffe
du folide èft fuppofée donnée. Car il ne fuffit pas de
chercher & dè trouver celui d’entre tous les loliide-s
qui ont le même axe Si la même bafe avec lé même
fommet, fur lequel l’impulfion de l’eau eft la moim
dre qu’il eft poffible ; il faut de plus divifer cette im-
pûlfion par la maffe entière, pour avoir l’effet qu’elle
produit, & qui eft proprement le minimum qu’on
cherche. *
Cependant les folutions que les auteurs déjà cités
ont données du problème dont il s’agit, peuvent être
regardées comme exaftes, pourvu qu’on fiippofe
que la réjïjlance du fluide foit continuellement contrebalancée
par une force égale Si contraire, en forte
que le folide fe meuve uniformément. En ce cas, il
eft inutile d’avoir égard à la maffe du folide ; Si pourvu
qu’on lui donne la figure qui eft déterminée par
la folution, ce folide ira plus vite que tout autre qui
feroit pouffé par la même force. Par exemple , un
vaiffeau dûntla proue auroit cette figure, étant pouffé
par un vent d’une certaine force déterminée, ira
plus vîte que tout autre vaiffeau dont la proue auroit
une figure différente. Ainfi la folution du problème
eft exafte, quant à l’application qu’on veut en faire
au mouvement des Vaiffeaux; mais elle ne le fera plus
lorfqu’on fuppofera un folide entièrement plongé
dans un fluide, & qui s’y mouvra d’un mouvement
retardé en éprouvant toujours de la réjïjlance, fans
qu’aucune force lui rende le mouvement qu’il perd à
chaque inftant.
La réjîflance d’un globe parfaitement dur, Si dans
un milieu dont les particules le font auffi, eft à la force
avec laquelle tout le mouvemeht qu’il a dans le
tems qu’il a décrit l’efpace de quatre tiers de fon diamètre
, peut être ou détruit ou engendré, comme la
denfité du milieu eft à la denfité du globe. M. Newton
conclut auffi de-là que la réjîflance d’un globe eft,
toutes chofes égales, en raifon doublée de fa vîtefle ;
que cette même réjïjlance eft, toutes chofes égales,
en raifon doublée de fon diamètre ; ou bien , toutes
chofes égales, comme la denfité du milieu. Enfin, que
la réjîflance aftuelle d’un globe eft en raifon compo-
fëe de la raifon doublée de fa vîtefle, de la raifon
doublée du diamètre, Si de la raifon de la denfité du
milieu.
Dans ces propofitions on fuppofe que le milieu
n’ eft point continu ; fi le milieu eft continu comme
l ’eau, le mercure, &c. oii le globe ne frappe pas immédiatement
fur toutes les particules du fluide qui
©ccafionne la réjîflance, mais feulement fur celles qui
en font proches voifines, Si celles-là fur d’autres,
&c. la réjïjlance fera moindre de moitié ; & un globe
place dans un tel milieu éprouve une réjîflance qui eft
à la force avec laquelle tout le mouvement qu’il a
apres avoir décrit huit tiers cle fon diamètre, doit
etre engendré ou détruit, comme la denfité du milieu
eft à la denfité du globe.
La rêjijlanct d’un cylindre qui fe meut dans la dl-
fcction de fon axe, n’efi pjint altérée par 'aucune
augmentation ou diminution de fa longueur: & par
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eofiféqüént elle eft la même que celle d’ùn cercle dit
même diamètre, qui fe meut avec la même vîteffe
filr une ligne droite perpendiculaire à fon plan.
Si un cylindre fe meut dans un fluide infini Si fans
éiallicite, la réjiflame réfultante de la grândeür de fà
feftion trarifyerfè, eft à la‘force avec laquelle tout
fon mouvement, tandis qu’il décrit quatre fois fà
longueur, peut être engendré ou anéanti> comme la
denfité du milieu eft à celle du cylindre, du-moins à
peu de chofe près.
Ainfi\es rêjijlanct s des cylindres qui fe meuvent
fuivant leur longueur dans des milieux continus Si
infinis, font en raifon compofée delà raifon doublée
de leurs diamètres, de la raifon doublée de leurs vî->
teffes, Si de là raifon de la denfité dès milieux.
La réjïjlance d’un globe qui eft nui dans un milieu
infini Si fans élafticité, eft à la force par laquelle tout
fon- mouvement peut être engendré ou détruit, tandis
qu’il parcourt huit tiers de Ton diamètre, commô
la deiilîte du fluide eft à la denfité du globe, à très*
peu près.
M. Jacques Bernoulli à demOritré les théorèmes
fuivaijs*
Réjîflance d'un triangle. Si un triangle ifocele eft
mû dans un fluide fuivant la dire&ion d’une ligné
perpendiculaire à-fa bafe, d’abord par fa pointe, en-
fuite par fà bafe ; la rêfîflance dans le premier cas,
fera à là rêfîflance dans le fécond cas, comme le quar-
ré de la moitié de la bafe eft au quarré d ’un des.
côtés.
La refljtance d’uft quarte mû fuivant la dire&iori
de fon côté, eft à la refljtance de ce même quarré mû
fuivant la direction de fa diagonale , comme le côté
eft à la moitié de la diagonale.
La réjîflance d’un demi-cercîé qui fé rtleut par fà
bafe, eft à fa réjîflance, lorfqu’il fe meut par fon font*
met, comme 3 eft. à 2.
En général, les rèjiflantes de quelque fîgUrè pîanô
que ce foit qui fe meut par fa bafe, ou par fon fommet,
font comme l’aire de la bafe à la fomme de tous
les cubes, des d y , divifés par le cjtiarré dé l ’élément
de la ligne courbe, dy eft fuppofee l’elément des or»
données parallèles à la bafe.
Toutes ces réglés peuvent êtfé Utiles jufqu’àuii
certain point dans laconftruftion des vaiffeaux. Foye^
V aisseau , &c. Chambers.
Telles font les lois que l’on donne ordinairement
dans la méehanique fur la rèfiftance des fluides au
mouvement des corps. Cependant on doit regarder*
ces réglés comme beaucoup plus mathématiques que
phyfiques ; Si il y en a plufieurs auxquelles l’expérience
n’eft pas tout-à-fait conforme. En effet, riert
n’eft plus difficile que de donner fur ce fujet des re*
gles précifes Si exactes : car non-feulement on ignoré
la figure des parties du fluide, Si leur difpofition par
rapport ait corps qui les frappe, on ignoré encore
jufqu’à quelle diftance le corps agit fur le fluide , Si
quelle route les particules prennent lorfqii’elles ont
été mifes en mouvement par ce corps. Tout ce que
l’expérience nous apprend, e’eft que les particules
du fluide , après avoir été pouffées, fe regiiffent en-
fuite derrière le corps, pour venir occuper l’efpace
qu’il laiffe vuide par-derriere.
Voici donc le meilleur plan qu’il pàroiffe qu’ort
puiffe fe propofer dans une recherche de' la nature
de celle - ci : on déterminera d’abord lé
mouvement qü’un corps folide doit communiquer à
une infinité de petites boules , dont on le fuppofera
couvert. On peut faire voir enfuite que le mouvement
perdu par cecorpsdans un inftant donné,fera le
même, foit qu’il choque à la fois un certain nom-»
bre de couches de ces petites boules, foit qu’il ne les
choque que fucCeffivement :: que de plus, la réjîflanct
feroit là même quand les patticules du fluide auroien*