le logarithme du nombre immédiatement au-deflus
9 23 7 , c’eft-à -dire celui de 9238, lequel
eft . . . | . . . . . . . 3. 9655780.
& j’en fouftrairois celui de 92.37, trouv
é ci-defl'us, f ç a v o i r , ........................3* 9^553° 9*
& il reperdit ? . . . . . . . . . 47 û
cela pofé, je ferois cette proportion: comme 10, différence
de 92380 à 92370, eft à la différence trouvée
toute-à-l’heure , favoir 471 , ainfi 5 qui me ref-
toit dans le nombre propofé à droite, après en avoir
retranché les quatre premières figures à gauche, eft
à la différence logarithmique que je chercliois, la-
quellè feroit par conféquent 23 5 ; il n’y auroit donc
plus qu’à ajouter enfemble le logarithme de 92370 ,
fça voir,' , . . . . . . . 4. 9655309.
& la différence logarithmique trouvée, . . 235.
& il viendroit . . . . . . ‘ . 4. 96 55 544-
pour la valeur du logarithme cherché. La raifon de
cette opération eft que les différences de trois nombres
a, b , c , lorfque ces différences font fort petites ,
font entr’elles, à très-peu près, comme les différences
de leurs logarithmes. Voyez LO G AR ITH MIQUE
.
Si le nombre propofé étoit une fraftion ou un
entier plus une frattion, il faudroit d’abord réduire
le tout à une feule fraftion , & chercher féparé-
ment le logarithme du numérateur & celui du dénominateur
pour la méthode qu’on vient de donner,
enfuite on retranche roi fies deux logarithmes l’un de
l’autre , & on auroit lë logarithme de la fraftion
propofée.
Soit propofé de plus de trouver le nombre correfpondant
à un logarithme plus grand qu'aucun de ceux qui
font dans les tables. Souftrayez d’abord du logarithme
donné le logarithme'de 10, où celui de 100, ou celui
de 1000, ou celui de io ô o o , le premier en un mot,
de cette efpece qui donnera un reftant d’un nombre
de carafteres , tels qu’il s’ën trouve dans les tablés.
Trouvez le nombre correfpondant à ce reftant confédéré
lui-même comme logarithme , & multipliez
ce nombre trouvé par ioo^par 1000,ou par 10000,
&c. le produit fera le nombre cherché. ’ -
Suppofons par exemple, qu’on demande le nombre
correfpqndant au logarithme 7; 7589982', vous
en ôterez le logarithme du nombre 10000, lequel eft
4. 0000000, 6c lè reftant fera 3. 7589982, lequel
correfpond dans les tables au nombre 5 7 4 Vous
multiplierez donc ce dernier nombre par 1000, & le
produit 57411100 fera le nombre cherché. Si on
propofé de trouver le nombre, ou pour parler plus
proprement, la fraélion correfpondante à un logarithme
négatif, il faudra ajouter au logarithme donné,
le dernier logarithme de la table ; c’eft-à-dire , celui
du nombre i'oooo , ou pour mieux dire , il faudra
fouftraire le premier pris pofitivement du fécond,
& trouver le nombre correfpondant au refte de la
fouftraûion regardée commet Logarithme. Vous ferez
de ce nombre le numérateur d’une fraffion, à laquelle
vous donnerez ioodô pour dénominateur,
& cette fra&ion fera le nombre cherché. Par exemple
, fuppofons qu’on demande la fraftion correfpondante
au logarithme négatif, . . 0.3679767.
je le fouftraisdu logarithme de 10000,
ou de ......................................... . . 4.0000000;
& I e r ë f t a n t e f t ............................. ..... 3.6320233.
auquel correfpond dans les tables le nombre 4285
la fraction cherchée fera donc On appercevra
la raifon de cette réglé , en obfervant que
toutes fraffions étant le quotient de fon numérateur
par fon dénominateur , l’unité doit être à la fraction
comme le dénominateur eft au numérateur ;
mais comme l’unité eft à la fra&ion qui doit correfpondre
au logarithme négatif donné , ainfi 10000 eft
au nombre correfpondant au logarithme reftant ; donc
fi l’on prend toooo pour dénominateur , 6c le. nombre
correfpondant pour numérateur, on aura la fraction
requife.
Soit enfin propofé de trouver un quatrième proportionnel
à trois nombres donnés. Vous ajouterez le logarithme
du fécond , à celui du troifieme, & de la
fomrne que cette addition vous aura fournie, vous
ôterez 1 e . logarithme du premier, le reftant fera le
logarithme du quatrième nombre cherché. Par exemple
, foit donné les nombres 4 ,6 8 & 3..
Le logarithme de 6,8. eft . . . 1.8325089.
Le logarithme de 3 eft , . .. . . ;o ..4 7 7 i2 i3 .
Je les ajoute , 6c je trouve p o u r ----------------
fomme, . . . . . . . . . . 2. ^p06}oz.
Le logarithme de 4 eft ,■ . ;> G.j6©-2o_6oq.
Je fais la fouftraûion, & il refte . . 1.7075702,
qui doit être le logarithme du nombre cherché ; &
comme le nombre correfpondant dans les tables eft
51, j’èn conclus que 51 eft le nombre cherché lui-
même.
Ce problème eft du plus grand ufage dans la T rigonométrie.
F oye{ T r i a n g l e & T r ig o n o m é t r i e .
Tous ces problèmes fur les."logarithmes fe dédui-
fent évidemment de lâ théorie des logarithmes donnée
ci-deflus, & ils peuvent fe. démontrer auffipar là
théorie de la logarithmique qu’on trcHiveiw à fon
article.’ •
Nous terminerons celui-ci par une queftion qui a
été fort agitée entre MM. Léibnitz & Bernoulli. Les
logarithmes des quantités négatives font-ils réels ou
imaginaires? M. Léibnitz tenoit pour le fécond, M,
Bernoulli pour le premier. On peut voir les lettrés
qu’ils s’éçrivoient à ce fujet ; elles font imprimées
dans le commercium epijlolicurn de ces deux grands
hommes,publié en 1745 àLaufanne. J’eus autrefois
(en 1747 & 1748 ) une controverfe par lettres avec
le célébré M. Euler fut le même fujet; il foutenoit
l’opinion de M. Léibnitz, & moi celle de M. Bernoulli.
Cette controverfe a occafioné un lavant mémoire
de M. Euler, imprimé dans le volume de l’académie
de Berlin pour l’année 1709. Depuis ce tems»
M. de Foricenex a traité là même matière dans le
premier volume des mémoires de l’académie de Turin
, & fe déclare pour le fentiment de M. Euler qu’il
appuie de nouvelles preuves. J’ai compofé fur ce
fujet un écrit dans lequel je me déclare au contraire
pour l’opinion de M. Bernoulli. Comme cet écrit
aura probablement vu le jour avant la publication
du préfent article, je ne l’infererai point ic i, 6c je
me contenterai d’y renvoyer mes letteurs, ainfi
qu’aux écrits dont j ’ai parlé ; ils y trouveront toutes
les raifons qu’on peut apporter pour & contre les
logarithmes imaginaires des quantités négatives. Je
me bornerai à dire ic i, i°. Que fi on prend entre
deux nombres réels & pofitifs , par exemple 1 & 2,
une moyenne proportionnelle , cette moyenne proportionnelle
fera auffi-bien — y /i que + 3/2., &
qu’ainfi le logarithme de — 5/2 & celui de y/1 feront
le même, favoir log. 20. Que fi dans l’équation
y = cx & le logarithmique (Voyc{ Lo g a r ith m
ique & Exponentiel ) on fait x = on aura
y — c 1 — y_\/ c 9 6c qu’ainfi le logarithmique aura
des ordonnées négatives 6c pofitives, en tel nombre
qu’on, voudra à l’infini ; d’oii il s’enfuit que les logarithmes
de ces ordonnées feront les mêmes, c’eft-
à-dire des quantités réelles. 30. A ces raifons ajoutez
celle qui fe tire de la quadrature de l’hyperbole
entre fes afymptotes, que M. Bernoulli a donnée lç
premier, & que j’ai fortifiée par de nouvelles preu?
ves ; ajoutez enfin beaucoup d’autres raifons que
l’on peut lire dans mon mémoire, ainfi que mes rét
ponfes aux objeâions de-MM. Euler Sc de Foncenex,
& on fera, je crois, convaincu que les logarithmes
des nombres négatifs peuvent être réels. Je dis peuvent
être., & non pas font ; c’eft qu’en. effet on -peut prendre
tel fyftème de logarithmes qui rendra imaginaires
les logarithmes des nombres négatifs. Par exemple,
M. JEuler prouve très-bien-que fi on exprime les logarithmes
par des ares de cercle imaginaires , le logarithme
.de — 1 fera imaginaire; mais au fond tout
fyftème de logarithmes eft arbitraire en.foi ; 'tôut dépend
de la; première fuppofition qu’on a faite'. On
dit, par exemple, que le logarithme de l’unité eft
= 0, & que les logarithmes des fractions font négatifs.
Tout cela n’eft qu’une fuppofition ; car-'on pôür-
roit.prendre une telle prpgreffion arithmétïqîiè que
}çj Jsgurithme de l’unité ne'fût pas égal -à- o , ôi- que
lés, logarithmes - des - fractions - fuffent dés quantités
réelles & pofitives. Il y a bien lieu de craindre que
toute cette i difpute. fur les logarithmes .imaginaires,
ne'foit qu’une difpute de mots, & n’ait été fi agitée
gîte:faute de; s’entendre.-Ce n’eft pas le premier
exemple de difputedemots èn Géométries Voye^
C ontingen ce & Forcer v iv e s .
MM::Gregori, Mercator, Newton, Halley, C o tes
, T a y lo r , &c. ont. donné différentes méthodes
pour, la conftruâion des tables des logarithmes, que
l ’on peut vo ir dans les Tranfaction s philofophiques.
Voyez fur-tout'un'.mémôire de M. Halley dans les
T/anfacl. philof. de tGgSsnP. 2/6 . Sans entrer ici dans
ce détail, nousdonnerons une méthode afl’ez fimple
po ur. ç a l c u 1er J es. logarithmes;.....
Nous fuppoferons d’abord.(voyeç l ’articleLoGA-
RiTMiQUE^ que la (outangente de la logarithmique
foit égale à l’ordonnée que l’on prend pour l’unité,
nous prendrons unejioEdonnée 1 — a .qui.foit plus
petite que 1’unité, & nous aurons, en nommant
l’abfciffe d x , l’équation d x - p f L y comme il
réfiilte de l’article' cité ; d’oîi il s’enfuit encore que
’x eft égal au làgàrith. de 1 — u , & qu’ainfi le logarithme
de 1 —u eft égal à l’intégrale de — . Or
faifant la divifion fuivant les réglés ordinaires , ou
fuppofant f = 1 - u 1 , ori trouve '( voyc{
D i v i s i o n , Bin ô m e , Ex p o s a n t , S é r ié , Su i t e ,
&c. ) que — i "u — ;— du — udu — u- du — u. d u ,
&c. dont l’intégrale eft — u — — — — «- JL_ , &c.
à l’infini ; & cette férié eft convergente, parce que
les numérateurs & les dénominateurs vont toujours
en diminuant, car u eft plu’s petit qué l’unité. Voye{
F r a c t io n . On aura donc, en prenant un certain
nombre de termes de cette fuite, la valeur approchée
du logarithme de 1 — u ; or connoiflànt le logarithme
de la fraâion i — «, on connoîtra le logarithme
du nombre entier qui eft troifieme proportionnel
à cette fra&ion & . à l’unité ; car ce logarithme
eft le même, mais pris avec un figne pofitif.
•Par exemple, fi on veut avoir le logarithme du nombre
10 , on cherchera celui de la fra&ion •— = 1
— , ainfi u = t|‘. Donc le logarithme de -ff eft
_a-!L _ JLL _ JgJ- 6rc. & ainfi de fuite ; & cette
quantité prife avec le figne ,+ , eft le logarithme
de 10.
. Tout cela eft vrai dans l’hypothefe que.la foutan-
génte de la, logarithmique foit = 1 ; mais fi on vou-
loit que le logarithme de 10 fût 1 , par exemple, au
lieu d’être égal à la férié précédente , alors tous les
logarithmes des autres nombres devroient être mul-
.tipliés par le rapport de l’unité à cette férié. Voyt^
L o g a r it h m iq u e , ( 0 )
LOGÀRITM 1 Q U E , 1'. f. (Géométrie.) courbe qui
tire çç nom de fes propriétés & de les ulàges dans
la co n f t ru & io n d e s lo g a r ithm e s & d an s l ’e x p lic a t io n
de le u r th é o r ie .
Si l’on divife la ligné droite A X { P L d'Analyfe
fié- 37- ) en un nombre égal-de parties, & que par
les points A , P , />, de Æyifion,.on tire des lignes
toutes parallèles entr’eUe? de-continuellement proportionnelles,
les extrémités N , M ,m 9 ôcç. de ces
dernieres lignes, formeront la ligne courbe appellée.
logarithmique, de forte que les abfciffes A P , A p ,
font ici les logarithmes des ordonnées P M , p m ,
&c. puifqùe ces abfciffes font en progreflion arith-
nrétiquè pendant que les ordonnés font en progref-
fiort géométrique. Donc fi A P = x 9 A p — u , PM.
—y-, pm-— ç , & qu’on nomme l y & /{ les loga-
rithmesJde y 6c de f ; :oh aura x — l y , u-=. l \ 9 ÔC
par conféquent TL — f — • -
Propriétés de la logarithmique. D a n s u n e c o u r b e
q u e lc o n q u e f i o n n om m e /U a fo u t a n g e n t e , o n a —
I j - = _ i z . yoye^_ S oU T A N G E N T E . O r d a n s ' l â logarithmique
f h o n p r e n d c o n f i a n t , c ’e f t - à -d i r e
le s a b f c i f f e s .e n p ro g r e ffio n a r i th m é t iq u e , d o n t la
d iffé r e n c e f o i t d x , le s o rd o n n é e s fe ro n t en p ro g re f*
lio n g é o m é t r iq u e , &- p a r - c o n fé q u e n t le s d if fé r e n c e s
de c e s o rd o n n é e s ( Vtjyeç Progression géométrique
) feront en t r ’ é lle s -comme le s o rd o n n é e s ;
d o n c — f e r a c o n f i a n t , d’ o û f e r a c o n fia n t ; d o n c
p u ifq u e ( h y p . ) d x e f t . c o n f t a n t , ƒ l e fe r a au lfi ;
d o n c la fo u t a n g e n t e d e l a , logarithmique e ft c o n f ia
n t e ; j ’a p p e lle c e t te fo u ta n g e n te a.
2°. Si on fait a = 1, on aura d x = — ; dont
l’intégrale eft x = log. y ; & fi on fuppofe un nombre
c, tel que fon logarithme , foit = 1 , on aura
vilog. c = lo g .y , & par conféquent log, c * = log.y
S&y-== c x . Voye{ L o g a r i t h m e . C ’eft-là c e qu’on
appelle repajfer des-logàrithme's aux nombres, c’eft-à-
dire d’une équation logarithmique x =2 U y , à une
équation finie exponentielle f y = c x . Voyé[ Expo-
N ENTIEL.-
30. Nous avons expliqué au mot Exponentiel
ce que fignifie cette équationy = c* appliquée à la
logarithmique. En général, fi dans une même logarithmique
on prend quatre ordonnées qui foient en
proportion géométrique ; l’abfcifle renfermée entre
les deux premières-fera égale à l’abfciffe renfermée
entre les:deux autres , & le rapport de cette abfcifle
à la foutangente fera le logarithme du rapport des:
deux Ordonnées. C ’eft une fuite de l’équatidn —
= ~ qui donne 3L = log. ( 7 - ) » en fuPP°^ant
y = b , lorfque x = 0.
40. Si on prend pour l’unité dans la logarithmique
l’ordonnée qui eft égale à la foutangente, on trouvera
que l’abfciffe qui répond au nombre 10 ( c’eft-
à-dire à l’ordonnée qui feroit égale à dix fois celle
qu’on a prife pour l’unité ) on trouvera, dis-je, que
cette abfciffe ou le logarithme de 10 eft égal à
2,30258509 ( v o y e i L o g a r i t h m e ) , c’eft-à-dire
que cette abfciffe eft à la foutangente comme
230258509 eft à ioooôoooo; c’eft lur ce fondement
queKépler avoit conftruit fes tables de logarithmes,
& pris 2, 3025850 pour le logarithme
de- io._. ... • . ..... ..
50. Mais fi on place autrement l’origne de la logarithmique
9 & de maniéré que l’ordonnée ï ne foit
plus-égale à la foutangente, & que l’abfciffe com-
prife entre les ordonnées 1 & 10 foit égalé à 1 ; ce
qui fe peut toujours fuppofer, pufqu’on peut placer
l’origine des x où l’on voudra, alors le logarithme
de 10 fera 1 , ou 1 , poooooo, 6-c. & la foutangente
fera telle que l’on aura 2,^3025850 à l’unité,
comme i , qqo o oo o eft à la valeur cle Ta fou