49* LIE
fur D G , prenez D C = s , 8c prenant C G pour
diamètre, les ordonnées parallèles a P M , 8c la ligne
C H = p pour paramétré , décrivez la parabole C
M, 8c elle fera le lieu de la formule générale fui-
vante.
y y — — x y -j- x x — o.
■. 1 ry + ^ r - *
- ‘■ i B
car fi d’un de fes points quelconques M on tire l’ordonnée
P M , les triangles J B E , A P F , feront
femWàbles, & par ‘||nféquent
A B ( ot) : A E(e) : : A P ( x ) : A Fou D G = e*
8c A B (n i) : B E (ri) :: A P (x) : P F = nA. , &
par conséquent G M ou P M — P F — F G = y —
Z J L - r , 8 c CG o \ \D G -D C c x t l - s . Maisparla
nature de la parabole GM = C G X CH; & cette
derniere équation deviendra la formule générale elle-
même,fi on y fubftitue à la place des droites qui font
employées, leurs valeurs marquées ci-deffus.
‘ Cette équation eft la plus générale qui puiffe appartenir
à la parabole , puisqu’elle renferme i°. le
quarré de chacune des inconnues x, y ; 2°. le produit
x y de l’une par l’autre ; 30. les inconnues linéaires
x , y ,8c un terme tout confiant. Une équation
du fécond degré, ou les indéterminées x , y ,
fe trouvent mêlées, ne fauroit contenir un plus
grand nombre de termes.
Par le point fixe A , tirez la droite indéfinie A Q ,
Cfis-3 * ) B H à P M ; prenez A B — m, tirez
B E = n parallèle à A P, & par les points déterminés
A E , la droite A £ = e ; fur A P , prenez A D
— t , tirez la droite indéfinie D G , parallèle k A E ,
& prenez la portion D C— s. Enfin prenant pour
diamètre CG,ôc fuppofant les ordonnées parallèles
à A P , &pour paramétré la ligne C H — p , décrivez
une parabole CM ; cette parabole feroit le lieu
de cette fécondé équation pu formule.
x x ~~ '=£ y x + ££ y y - 0
— 2 r x — “J’ y
+ rr
-\-ps.
car fi d’un point quelconque M on tire la droite M Q
parallèle k A P , o n aura A B (m) : A E (e) : : A Q
ou P M ( y ) : A F o n D G = e* 8 c A B (m) : B E
(«) : : A Q (y ) : Q F = & par conféquent GM
ou Q M — Q F — F G = x — ^ — r; 8c CG ou D G
— D C = — — s: 8c ainfi par la propriété de la parabole
, vous trouverez encore la fécondé des équations
générales ou des formules précédentes ; &
vous vous y prendrez de la même forte, pour trouver
les équations générales ou les formules des autres
ferions coniques. :
Si on demande maintenant de décrire la parabole
qui doit être le lieu de l’équation fuivante, que nous
fuppoferons donnée y y — 2 (ty — b x + c c = o ,
comme y y fe trouve ici fans fraction, de même que
dans notre première formule, il vaudra mieux comparer
la propofée avec cette première formule qu’avec
l’autre ; 8>c d’abord puifque le reftangle x y ne
fe trouve point dans la propofée, ou qu’il peut y
être cenfé multiplié par o , nous en conclurons que
la fraôion ^ doit être = o , & par conféquent aufli
qu’on doit avoir n , ou B E = o ; de forte que les
points B , E , doivent être co-incidens , ou que la
droite A E doit tomber fur A B 8c lui être égalé,
c’efl-à-dire que m — e: détruifant donc dans la formule
tous les termes affeélés de - ou de n , 8c fub-
flituant par-tout m à la place de e , elle fe changera
en y y — 2 ry — p x -J- rr + p 5 = 0 , 8c comparant
encore les termes correfpondans — 2 ry ,8c — 2 ay,
— p x 8c — b x § enfin rr-\-ps, 8c. c c, nous aurons
r — a , p — b, 8c zn fubftituant ces valeurs dans la
derniere équation de comparaifon, aa-\- b s = cc ,
ou bien s = , qui par conféquent fera une quantité
négative, fi « eft plus grand que c , comme nous
le fuppofons ici. Il ne ferviroit de rien de comparer
les deux premiers termes, parce qu’étant les mêmes
des detix côtés, favoir y y , cette comparaifon ne
. pourroit rien faire découvrir.
Or les valeurs d em , n , r , p , s , ayant été ainfi
trouvées, on conftruira facilement le lieu cherché
par les moyens qui nous ont fervi à la çonftruélion
de la formule 8c de la maniéré fui vante, comme
B E (n) efl = 0 {fig. 3 (f.) 8c que les points B , E ,
coincident, ou que A E tombe fur A P ,'il faudra
par cette raifon tirer du point A la droite A D ( r )
. parallèle à.P.M&: = « ,& l a droite D G parallèle
k A P , dans laquelle vous marquerez la droite D C
($) = — 7- cc, laquelle doit être prife au-delà de l’origine,
dans un fens oppofé à D G ou A P , parce
que la fraélion a “ ~---c eft négative par la fuppofition;
Enfuite regardant D C comme diamètre, prenant
des ordonnées parallèles k P M , & la droite C H
(p) = b pour paramétré ; vous décrirez une parabole
, je dis qu’elle fera le lieu de l’équation donnée
, 8c il eft en effet aifé de le prouver. Si c’eût été
le quarré x x qui fe fût trouvé tout-d’un-coup fans
fraétion dans la propofée, il auroit été alors plus
naturel de fe fervir de la fécondé formule. On voit
au refte qu’au moyen d’une divifion fort facile, on.
peut délivrer des fra&ions tel des deuxquarrés qu’on
voudra; & il faudroit commencer par cette divifion ,
fi l’on voyoit que la comparaifon des termes en dût
devenir plus fimple.
Voilà une idée de la méthode de conflruiré les
lieux des équations lorfqu’ils doivent être des fec-
tions coniques, ou ce qui eft la même chofe , lorf-
que les équations ne paffentpasle fécond degré : car
on doit fentir que les lieux à l’ellipfe 8c à l’hyperbole
, doivent fe déterminer par une méthode lèm*i
blable.
Mais une pareille équation étant donnée,au lieu dé
demander comme tout-à-l’héure, d’en conftruire le
lieu , fi on fe contente de demander quelle doit être
l’efpece de la fe&ion conique qui en eft le lieu, fic’eft
une parabole, une ellipfe ou même un cercle , un
hyperbole équilatere, ou non équilatere * il faudroit
pour en juger commencerpar faire pafferd’unmême
côté tous les termes de l’équation, de façon qu’il
reftât zéro de l’autre côté ; & cela étant fait, il pourroit
fe préfenter deux cas différens.
Premier cas ; fuppofons que le re&angle x y , ne
fe trouve point dans l’équation ; alors i°. s’il n’y a
qu’un des deux quarrésjy y , ou x x , le /««fera une
parabole. 20. Si les deux quarrés s’y trouvent tout-
à-la-fois 8c avec le même figne ,1e lieu fera'une ellipfe
, & en particulier un cercle , lorfque ni l’un ni
l’autre des deux quarrés n’aura de coefficient, ou (fi
on n’avoitpoint réduit l’un d’euxà n’en pointavoir),
lorfqu’ils auront les mêmes coefficiens, 8c que de
plus l’angle des coordonnées fera droit. 3°.fi les deux
quarrés x x , 8c y y fe trouvent dans l’équation, 8c
ayec des lignes différens, le lieu fera une hyperbole
laquelle deviendra équilatere dans les mêmes fup-
pofitions, qui font de l’ellipfe un cercle.
1 Second cas ; quand le reâangle x y fe trouve dans
l’équation , alors i° . fi il né s’y trouve aucun des
deux quarrés, qu’il ne s’y en trouve qu’un, ou encore
qu’ils s’y trouvent tous deux avec différens Lignes
, ou enfin que s’y trouvant tous deux avec les
mêmes Lignes, le quarré du coefficient qui multiplie
x y , foit plus grand que le quadruple du reâangle
des coefficiens de x x 8c y y , dans toutes ces Lup-
pofitions le lieu fera une hyperbole. - z ° . Si ces deux
quarrés s’y trouvant toujours, 8c étant de même fi-
gne;file quarré du coefficient xy,eft plus petit que le
quadruple dure&angle des coefficiens d e x x 8c y y ,
le lieü. fera alors une ellipfe. 30. Enfin, fi dans la
même fuppofition cc quarré 8c le quadruple du rectangle
dont nous venons de parler, font égaux entre
eux, le lieu fera alors une parabole.
Cette méthode de conftruire les lieux géométriques,
en les rapportant aux équations les plus compoféés
qu’il foit poffiblë, eft dûe à M. C ra ig , auteur an-
glois, qui l’a publiée le premier dans Ion traité de la
quadrature des courbes, en 1693• Llle eft expliquée
fort au long dans le feptieme 8c le huitième livre des
feaions coniques de M. le Marquis de l’Hôpital, qui
fans doute en auroit fait honneur au géomètre ari-
g lois , s’il eût eu le teins de mettre la derniere main
à fort ouvrage.
M. Güifrtéè j dans fon application de l’Algèbre à
la Géométrie, dôrtrte une autre méthode pour conf-
ïruire les lieux géométriques. Elle eft plus commode
â certains égards que la précédente, en ce qu'elle
apprend à Conftruire tout d’un coup 8c immédiatement
Une équation donnée, fans la rapporter à une
équation plus générale ; mais d’un autre cote elle
demande aufli dans la pratique plus de précaution
pour ne fe point tromper.
Nous ne devons pas oublier de dire que M. I’ab-
bé de Cita -, dans les u/ages de l'analyfe de Dèfcartes,
pag. j 42 , remarque une efpece de fautetju’ori pour-
tôit reprocher aux auteurs qui ont écrit jufqü’icifur
la conftru&ion des lieux géométriques, & fait voir cependant
què cette faute n’a point dû tirer à confé-
quence dans les régies ou les méthodes que ces aU-
ïeufs ont données.
Cette faute, qu’il feroit trop long de détailler i c i ,
tônfifte en général én ce que ceS auteurs n’ont en-
fëigrté à réduire à l’hyperbole entrefesafymptotes,
que les lieux OÙ il manqué un des quarrés x ,y . On
peut réduite à l’hyperbole entre fés alyniptotes une
équation même qui contiendroit ces deux quarrés,
mais alors aucune des deux afymptotes ne feroit
parallèle à la ligne des * , ni à celle des y . Voye^
T ransformation oés Ax e s ; vôyei aufli fur les
lieux en général, & fur ceux aux ferions coniques
en particulier ; les articles C ôürbe, Equation,
C onique, Ellipse, Construction, &c. (O )
Lieux-com m u n s , ( Rhétor. ) ce font dans l’art
oratoire dés recueils de pertfées, de réflexions, de
fentences , dont on a rempli fa mémoire, 8c qu’on
applique à propos aux fujets qii’on traite, pour les
embellir oit leur donner de la force. Démofthène
n’en condamne pas l’emploi judicieux ; il conféille
même aux orateurs qui doivent fou vent monter fur
la tribune pour y traiter différens fujets, de faire urte
provifion d’exordes 8c de péroraifons. Cicéron , (&
nous n’avons rien au deffus de fes préceptes, ni peut-
être de fes exemples) Vouloit, de plus que Démofthène
, qu’on eût des lujets entiers traites d avance
St des difeours préparés dans l’occafion, aux noms
& aux circonftances près ; mais ceS beaux genies n’a-
Voient-ils pas un fond affez riche dans léur propre
enthoufiafme, ôi dans la fécondité de leurs tâlens,
fans recourir à ces lortes de reffources ? Il femble
que leur méthode ne pouVoit guere être d’ufage que
pour leS efprits médiocres qui faifoient à Athènes 8c
à Rome une efpece de trafic de l’cloquence. Cette
même méthode ferviroit encoré moins dans notre
barreau, où l’on rte traite que dé petits objets de
droit écrit & de droit cOütumier, dans lefquéls il ne
s’agit que d’expofer fes demandes ou fes moyens
d’appel, félon les réglés de la jurifprudence des lieux»
■HH
L ie u x , les, f. m. pl. ( Arch.it. mod.y terme fyno-
nyme à aifance, commodités, privés. V?yeç ces trois
mots.
Ori pratique ordinairement les lieux à re ï-d e -
chauffée, au haut d’un efcàlier ou dans les angles.
Dans les grands hôtels 8c dans lés maifons commodes,
on les place dans de petits efcaliers, jamais
dans les grands ; dans les maifons religieufes 8c de
communauté > les aifances font partagées entre plu-
fieurs cabinets de fuite, avec une cuillier de piêrre*
percée pour la décharge des urines.
Elles doivent être carrelées, pavées de pierre ou
revêtues de plomb, 8c en pente du côté du fiege,
avec un petit ruiffeau pour l’écoulement des eaux
dans la chauffée, percée au bas de la devanture.
On place préfentement les aifances dans les gar-
derobes, où elles tiennent lieux de chaifes pèreees :
on les fait de la dernieré propreté, 8c en forme de
baguette, dont lé lambris fe leve 8c cache la lunette.
La chauffée d’aifartee eft fort large-& fort profonde*
pour empêcher là mauvaife odeur : on y pratique
aufli de lârgés Ventoitfes ; le boiffeau qui tient à la
lunette eft en forme d’entonnoir renverfé, 8c foute-
nu par un cercle de cuivre à feuillure, dans lequel
s’ajufte une foupape de cuivré, qui s’otivre 8c fe
ferme én levant 8c fermant le lambris du deflus, ce
qui empêche la communication de la mauVaife odeur.
On pratiqué dans quelque coin de ces lieux, ou dans
les entrefoliés au-deflus, ürt petit réfetvoir d’eâü ,
d’où l’on amené une conduite, à l’extrémité dé laquelle
eft urt robinet qui fert à laver les urines qui
pourroient s’être attachées au boiffeau & à la fôit-
papé. On pratique aufli une autre conduite qui vient
s’ajuftér dârisle boiffeau, 8c à l’extrémité de laquelle
eft un robinet. Ce robinet fe tire au moyen d’un re-
giftre.vers le milieu du boiffeau, ce qui fert à fe laver
à l’eau chaude 8c à l’eau froide, lùivanf lés fai-
fons. Ces robinets s’appellent flageolets, 8c ces aifances
lieux à fang lo ife, parce que c’eft aux Anglôis
qu’on en doit l’invention. {D . J. )
Lieu , ( Maréch. ) ce terme fe dit de la pOftüre
8c de la fituation de la tête du cheval ; ainfi un cheval
qui porte en beau lieu, ou Amplement qui porte
beau, eft celui qui fondent bien fon encolure , qui
La élevée 8c tournée en arc comme le cou d’un cygne
, 8c qui tient la fête haute fans contrainte, ferme
! & bien placée. Voyei Encolure.
Lieu HILEGïAUX, en terme d'Aflrologie, font ceiix
qui donnent à la planete qui s’y trouve lé pouvoir
de dominer fur là vie qu’on lui attribué. Voye^ Hi-
LÉGIAU.
LIEU terme de Pêche, forte de poiffon du genre
dès morüès , & femblable aux éperlans, excepte
qu’il eft plus gros & plus ventru, & que fa peau eft
beaucoup plus noiré. Cette pêche commence à Pâques
, & finit à la fin de Juin, parce qu’alors les Pêcheurs
s'équipent pour la pêche du congre ; ce font
les grands bateaux qui y font employés ; la manoeuvre
de cétfè pêche eft particulière ; il faut du vent
pour y réuflir, 8c que le bateau foit à la voile ; 011
amorce lesains ou hameçons d’un morceau de peau
d’anguille, en forme de petite fardine -, té lieu qui
eft fort vorace 8c goulu, n’a pas le têtus parla dérive
du bateau d’examiner l’appât & de le dévorer;
ainfi il fert à faire la pêche de plufieufs lieux.