Il eft fait mention du log au I I . liv. des Rois, vj.
x5 , comme d’une mefure de tous liquides. Dans le
Lévitique , chap. xiv. v. zz , ce mot fignifie particulièrement
la mefure d ’huile, que les Lepreux étoient
obligés d’offrir au temple après leur guérifon.
Suivant les écrivains juifs, le log faifoit la quatrième
partie d’un capk, la douzième d’un hin , la
foixantè-douzieme d’un bath, ou épha, & la fept
cens vingtième d’un choron ou chômer. Cet article,
pour le dire en paffant, contient plus d’erreurs que
de lignes dans le diûionnaire de Trévoux. Voye\_
l’appréciation du log ^ au mot Mesure. (Z?. J. )
LOGARITHME, f. m. (Arithmét.) nombre d’une
progreffion arithmétique , lequel répond à un autre
nombre dans une progreflion géométrique.
Pour faire comprendre la nature des logarithmes,
d’une maniéré bien claire & bien diftinâe , prenons
les deux efpeces de progreflion qui ont donné naif-
fance à ces nombres ; l'avoir, laprogrejjion géométrique
, & la progrejjion arithmétique : fuppofons donc
que les termes de l’une foient direôement pofés fous
les termes de l’autre, comme on le voit dans l’exemple
fuivant,
i. 2. 4. 8. 16. 31. 64. 128.
o. 1 . 2. 3. 4. 5. 6. 7.
en ce cas, les nombres de la progreflion inférieure,
qui eft arithmétique, font ce que l’on appelle les logarithmes
des termes de la progreflion géométrique
qui eft en-deffus ; c ’eft-à-dire que o eft le logarithme
de 1 , 1 eft le logarithme de 2 , 1 eft le logarithme de 4 ,
& ainfi de fuite.
Ces logarithmes ont été inventés pour rendre le
calcul plus expéditif, comme on le verra plus bas.
Le mot logarithme eft formé des mots grecs xôyoç9
raifon , & «p/fyxoV, nombre; c’e f t- à -d ire raifon de
nombres.
Afin que l’on entende maintenant la doârine &
l’ufage des logarithmes, il faut fe rendre bien attentif
aux proposions fui vantes.
Propojîtion première. En fuppofant que le logarithme
de l’unité foit o , le logarithme du produit de
deux nombres quelconques, tels que 4 & 8, fera toujours
égal à la lomme 3 des logarithmes des deux racines
ou produifans; ce qui eft évident par les deux
progreffions que l’on a citées, car ajoutant 2 à 3 ,
on a la fomrae 5, qui eft le logarithme du produit 32,
ce qui doit arriver effectivement ; car puifque 4 x 8
= 3 2 , l’on aura cette proportion géométrique,
1 .4 1 :8 . 32, dont les logarithmes doivent une proportion
arithmétique , ainfi l’on aura / 1. / 4 : / 8.
/32 ( la lettre / lignifie le logarithme du nombre
qu’elle précédé ) ; maison fait que dans une proportion
arithmétique, la fomme des extrêmes eft égale
à la fomme des moyens ; ainfi 1 1 -1-/32 =1/44-/8 ;
or le logarithme de 1 ou / 1 = o ( par la fupp.) ; donc
/ $2 = 1 4 + I8. C. Q .F .D .
Propojîtion Jeconde. Le logarithme du quotient 16 du
nombre 64 divifé par 4 , eft égal à la différence
qu’il y a entre le logarithme de 64 & le logarithme de
4 ; ç’eft-à-dire que 1 16 64—/ 4 ; car par la fuppofitipn^
= 16 ; donc en multipliant par 4 , 64 x 1
= 1 6 x 4 , ainfi i . 4 :1 16 . 6 4 ; donc 1 1 + 16 4 = 14
-J- /16. Q r / 1 = 0 ; par conféquent /64=1/4 4-/16 -y
donc enfin/ 64—14— 1 16. C. Q. F. D .
Propojîtion troifieme. Le logarithme d’un nombre
n’eft que la moitié du logarithme de fon quarré. Dé-
mçnjlration ; prenez 8 , quarrez l e , vous aurez 64
Il faut donc prouver que/8 =M ± : parla fuppofi-
tion 8 x 8 = 6 4 X 1 ; donc 1. 8 : :8 .64; ainfi / 1 ./ 8:
18.1 64 ; donc /1 + / 6 4 = / 8 + / 8 = 2/8 , or / 1
= 0 ; donc /64 = 2 /8, & par conféquent en divi-
fant l’un & l’autre nombre par 2 , on aura /— = /8
Ç .Q .F .D .
Propojîtion quatrième. Le logarithme d’un nombre
n eft que le tiers du logarithme de fon cubé. DémonJ
tration ; prenez le nombre 2 & faites fon cube 8 , je
dis que / 2 = / } , car puifque 4X 2 = 8 x 1 * 0 0 aura
1. 4 : : 2. 8 ; donc / 1. / 4 : / 2. / 8 ; or par la démonf-
tration précédente , 4 étant le quarte de 2 , 14 — 2
1 2 ; donc / 1. 2 / 2 :/ 2. / 8 ; par conféquent /1 + /8
= 2/2 + / 2 = 3 / 2 , & comme / 1 = 0 , on aura / 8
= 3 / 2 ; d o n c / f = /2. C .Q . F .D ,
Les propriétés, que nous venons de démontrer,
ont fervi de fondement à la conftru&ion des tables
des logarithmes, moyennant lesquelles on fait par
1 addition & la fouftraCtion , les opérations que l’on
feroit obligé fans leurs fecours ,. d’exécuter avec la
multiplication , la divifion & l’extra&ion des racines
, comme on va le faire voir en reprenant les
deux progreffions précédentes :
•TT I. 2. 4. 8. l6. 32. 64. 128. &C.
± O. I. 2. 3. 4. <f. 6. 7. & c .
Voulez-vous multiplier 4 par 16 , cherchez les logarithmes
2. 4. qui répondent à ces nombres, faites-
en la fomme 6 , elle eft le logarithme de leur produit
64.
Cherchez donc dans la table le nombre qui répond
au logarithme 6 , vous trouverez 64 , qui eft
effectivement le produit de 4 par 16.
S’il s’agiffoit de divifer 128 par 8 , on chercheroit
les logarithmes 7 , 3. De ces nombres on ôteroit 3 de
7 , le refte 4 feroit le logarithme de leur quotient $
auquel répond le nombre 16.
Si on cherche la racine quarrée de 64, on n’a qu’à
prendre la moitié de fon logarithme 6 , c’eft 3 auquel
répond 8 ; ainfi 8 eft la racine quarrée de 64.
/ II n’eft pas plus difficile de trouver la racine cubique
de 6 4 , prenez le tiers de fon logarithme 6 ,
vous aurez*2 , auquel répond 4.
Ainfi 4 eft la racine cubique de 64. On feroit donc
avec une extrême facilité, les opérations les plus
laborieufes du calcul, fi l’on avoit les logarithmes
d’une grande quantité de nombres ; & c’eft à quoi
l’on a tâché de parvenir dans la conftruClion des tables
des logarithmes,
La découverte des logarithmes eft due au baron
Neper, écoffois, mort en 1618. Il faut avouer cependant
que Stifelius, arithméticien allemand, avoit
remarque avant lui la propriété fondamentale des
logarithmes ; favoir que le logarithme du produit de
deux nombres eft égal à la fomme de leurs logarithmes.
Mais cette propofition refta ftérile entre fe«
mains, & il n’en tira aucun ufage pour abréger les
opérations, ce qui fait l’effentiel de la découverte
de Neper. Kepler dit auffi que Jufte-Byrge, aftro-
nome du landgrave de Heffe , avoit imaginé les logarithmes
; mais de l’aveu de Kepler même, l’ouvrage
oh Byrge en parloit, n’a jamais paru.
Neper publia en 1614 , fa découverte dans un livre
intitulé mirifici logarithmorum canonis deferiptio.
Les logarithmes des nombres qu’ildonne dans cet ouvrage
, different fie ceux que nous employons au-
jourd hui dans nos tables ; car dans les nôtres le logarithme
de 10 eft l’unité, ou ce qui eft la même
chofe, 1 , «00000 ; & dans celles de Neper, le logarithme
d e 10 eft 2 , 3025850. Nous verrons au mot
L o g a r i t m i q u e , la raifon de cette différence. Mais
cette fuppofition lui paroiffant peu commode, il indiqua
lui-même des tables de logarithmes, telles que
nous les avons aujourd’hui. Elles furent conftruites
après fa mort par Henri Briggs , dans fon ouvrage
intitulé Arithmttica logarithmica. Adrien Ulacq, mathématicien
des Pays-bas, perfectionna le travail de
Briggs ; & plufieurs autres ont travaillé depuis fur
cette matjere. Les tables de logarithmes , qui ont aujourd’hui
le plus de réputation pour l’étendue &
l’exaCtitude, font celles de Gardiner, in-4°. Celles
de M. Deparcieux, de 1 académie des Sciences, mérirent
auffi d’être citées; Voyez l'hijîoire des Mathè- '
ihatiques de M. Monrucla , tôm. I I . part. IV. liv. I.
Théorie des logarithmes. -Soit propofé de trouver le
logarithme d’un nombre quelconque, & de Conftruire
un canon ou line table pour les logarithmes naturels.
i°. Comme i , 10, 100 î 1000, 10000, &c, cohfti-
iuent une progreffion géométrique, letirs logarithmes
peuvent donc être pris dans Une progreffion
arithmétique à volonté ; or pour pouvoir exprimer
parties fractions décimales les logarithmes de tous
les nombres intermédiaires, nous prendrons la progreffion
O. -0000000 1. 0000000 , 2. OOÖÓOOÖ ,
3. 0000000,4 Ö0000Q0, &c. de maniéré que le premier
de ces nombres-ou zero , foit le logarithme de
1 , que le fécond foit le logarithme de 10., le troifie-
•ine celui de 100, & ainfi de fuite. Voyeç D é c im a l .
2°. Il eft évident qu’on ne pourra point trouver des
logarithmes exaûs pour les nombres qui ne font point
compris dans la férié géométrique ci-deflus , 1 , 10,
10Ö, &c. niais on pçurra en avoir de fi approchans
de la vérité , que dans Tufage ils feront auffi bons
que s’ils étoient exafts. Pour rendre ceci fenfible ,
fuppofons qu’on demande le logarithme du nombre 9 ;
j ’intföduirai entre 1. ooopopp & 10. poooopo, un
moyen proportionnel géométrique, & cherchant
entre leurs logarithmes o. çpppooôo & 1 .00Ó09000,
un moyen proportionnel arithmétique, celui ci fera
évidenjtoieht le logarithme de l’autre , ç’ eft-à-dire
d’un nefmbre qui fu-rpàlTera 3 d?un peu plus que
100000000 > & par conféquent qui fera encore fort
éloigné de 9. Je chercherai donc entre 3
& 10 , un autre moyen proportionnel géométrique,
qui approchera par conféquent plus de 9 que le premier;
& entre 10 & ce nouveau moyen proportionnel,
j’en chercherai cncorê un troifieme, &
ainfi de fuite , jufqu’à ce qite j’en trouve deux con-
fé.cutifs, dont l ’un foit immédiatement au-defl'us.,
& l’autre immédiatement au-deflous de 9 , ôc cherchant
un ipoyen proportionnel entre ces deux nombres
l à , &c puis encore uii autre entre celui-là &
celui des deux derniers- qui aura 9 entre lui & le
précédent, on parviendra enfin à un moyen proportionnel
qui fera égal 9 ? ? lequel n’étant pas
éloigné de 9 d’une dix millionième partie d’unité,
fon logarithme peut, fans aucune erreur fenfible,
être pris pour le logarithme de 9 même. Je reviens
donc à mes moyens proportionnels géométriques ,
& prènan,t l’un après l’autre , le logarithme de chacun
d’eux par l’intrbduâion d’autant de moyens
proportionnels arithmétiques , je trouve enfin que
o. 9542425 eft le logarithme du dernier moyen proportionnel
géométrique ;& j’en conclus que ce nombre
peut être pris fans erreur fenfible, pour le logarithme
de 9 , ou qu’il en approche extrêmement.
30. Si on trouve de même des moyens proportionnels
entre 1.0000000 & 3. 1622777, que nous
ayons vû plus haut être le ’moyen proportionnel
entre 1.0000000 & io .,qqqoo,oo, & qu’on cherche
en même tems le logarithme de chacun d’eu x, on
parviendra à la fin à ,un logarithme très-approchant
de celui de 2 , & ainfi des autres. 40. Il n’eft cepenr
dant pas néceffaire cle prendre tant de peine pour
trouver les logarithmes de tous les nombres, puifque
les nombres , qui font le produit de deux nombres ,
ont pour logarithmes, la fomme des logarithmes de
leurs produifans ; & réciproquement, fi l’on a le
logarithme du produit de deux nombres , 6c celui de
l ’un de fes produifans , on aura facilement le logarithme
de l’autre produifant ; de même ayant le logarithme
d’un quarré, d’un cube, &c. on a celui de
la racine, ainfi qu’on l’a démontré dans les propofi-
tions précédentes ; par conféquent, fi l’on prend la
moitié du logarithme dé 9 trouvé ci-deflus , l’on aura
le logarithme de 3 , fçavoir o. 4771212.
Tome IX .
Dans les logarithmes, les nombres qui précèdent lô
point expriment des entiers ; 6c ceux «qui font aprèâ
le point , expriment le nilmérateur d’une fra&idn ;
dont le dénominateur eft l’unité * fuivie d’autant dé
zéros que le numérateur, a de figures. L’on domie à
cês~entiers le noiîi de caraclénjtiqûes ; ou d'expofàns ;
parce qu’ils marquent, en' leür ajoutant 1 ; cpriibieii
dé caràéteres doit avoir le nombre auquel le logarithme
cOr/efpond ; ainfi o à la tête d’un logarithme ;
ou placé dans le logarithme avant le point, fignifié
que le nombre côrrefpondànt ne doit avoir que lé
feul caraftere des unités , qu’une feule figure, parcé
que ajoutant 1 à o caraftériftique, on aura le nombre
1 , qui marque le nombre de figures qu’a le nombre
auquel fe rapporte le logarithme ; 1 caraftérifti-
que lignifie que le nombre correfpondaht au logd-
rithme ,-contient rion-'féülenient des unités, mais en-*
core des dixaines , & non pas des centaines ; qu’ëii
un mot, il. contient deux figures, & qu’il a fa placé
entre dix & cent, & ainfi des autres expofans ou
caraététiftiques. Il s’enfuit donc que tous les nombres
, lefqueis quoique différens, ont néanmoins autant
de caraéleres qu de figurés les uns que les autres
; par exemple, les nombres compris entre 1 &
iq., entre 10 & ip p , entre ibo & 1000 ,& c . doivent
avoir. des logarithmes dont la cara&ériftique foit
la même, mais qui different par les chiffres placés
à la droite du point.
Si le nombre n’eft nombre qu’improptement, mais
qu’il foit ,en effet une fraûion décimale exprimée numériquement
, ce qui arrivera lorfqu’il u’aura de ca-
raêtere réel qu’aprês lé point ; alors il devfa évidemment
avoir tin logarithme négatif, & de plus lai
caraétériftique de ce logarithme négatif marquefà
combien il y aura de o dans le nombre .avant fa pre- ;
miere figure réelle à gauche, y compris le o , qui eft
toujours cepfé fe trouver avant le point ; ainfi le logarithme.
de la fraction décimale o. 256 eft 1.40824;
celui delà fraélion décimale o. 0256 eft 2.40824, &c<
Tout cela eft une fuite de la définition Aas. logarithmes
pçzx puifque les nombres entiers 1,4.0 ,100;
bc. pnt pour logaritlvne 9 , 1 , 2 , &ç. les fraâions
— , -pi- , bc. qui forment une progreffion géométrique
avec les entiers 1 r 10 , xpp, &,e.-doivent
avoir pour logarithmes -les nombres néaat\fs., 1 , 2 ,
&c. qui foraient une progreffion arithmétique avec
les.npmbres 0 , 1 , 2 , bc. donc bc.
Soit propofé maintenant de trouver Le logarithme d'un
nombre plus grand que ceux qui font dans les tables ,
mais moindre que 1.0000000. Retranchez au nombre
propofé fes quatre premières figures vers la gauche,
cherchez dans les tables le logarithme de ces quatre
premières figures , ajoutez à la caraélérjftique de ce
logarithme autant d’unités qu’il eft relié de figures
à droite dans le nombre propofé. Souftrayez enfuit-e
le logarithme trouvé de celui qui le fuit immédiatement
dans les Tables, & faites après cela cette proportion
, comme la différence des nombres qui cor-
r.efpondent à ces deux logarithmes confécutifs eft à
la différence des logarithmes eux-mêmes, ainfi ce qui
refte à droite dans le nombre propofé eft à un quatrième
terme , que nous pourrons nommer la différence
logarithmique f en effet, fi vous Rajoutez au logarithme
d’abord trouvé , vous pourrez fans erreur
lenfible , prendre la. fomme pour le logarithme choc-
c-hé. -Si l’on demandoit par exemple, le logarithme du
nombre 92375. je commencerai par en retrancher
les quatre premières figures à gauche, fçavoir 9237,
& je ptendrois dans les tables les logar. 3. 965 530^
du nombre qu’elles forment à elles-feules, dont j’aug-
menterois la caradlériftique 3 d’urie unité, ce qui me
donneroit 4. 9655309 , auquel il ne^ s’agiroit plus
que d’ajouter la différence logarithmique convenable
: or pour la trouve# , je prendrois dans les tables
L L 11 ij