V-j.1 — i . Elevez i +.'- à la puiffance * , par le
théorème de Newton, & vous aurez 1 + 7 + 7
x + * x ~ x , ôcc. = z. Or dans cette
équation , fi q = 1 & * = 1 ; ? étant infinie , x le
fera aulîi. Faifant dope x infinie, on aura 1 + 7
4- ü i j_ JLLI & c. = 1. Soit * = z , & l’on aura
“ z?? *
1 + i + î 1 1 + i i 3 >& c - = *• Mais 1 f G+ î H
+ ? C3 » ôcc. e1^ un nombre dont le logarithme hyperbolique
eft {. Donc ç = Iog. 2. Mais le logarithme
hyperbolique de 2 eft à peu près 7 : donc
£ = 7 à peu près. Mais oh q eft 1 , x eft 1 ; & où q
eft infinie x = à peu près 7. Voilà donc les limites
du rapport de x à q fixées. G’eft d’abord uri rapport
d’égalité, qui dans la fuppofition de l’infini,
devient celui de 7 à 10, ou à peu près.
Trouver en combien ‘de coups A peut gager d'amener
deux As avec deux dés. Puifqu’^4 n’a qu’un cas où il
puiffe amener deux As avec deux dés ; & trente-
cinq où il peut ne les pas amener, q = 3 5 ; multipliez
donc 35 par 7 ; le produit 24.5 montre que
le nombre de coups cherché eft entre 24 & 25.
Trouver le nombre des cas dans lefquels un nombre
quelconque donné de points peut être amené avec un
nombre donné de dés. Soitp + 1 le nombre donné de
points ; n le nombre de dés ; & ƒ le nombre des faces
de chaque dé : foit p —f — q , q—f x z r , r—f = i s 9
s— f — t 9 & c. le nombre cherché de coups fera +tx£tLx£+ ’&0,
— x_r"
- f — X —J— X ----- & c . .
— - x— x— x-t—. i . j * * i
Série qu’il faut continuer jufqu’ à ce que quelques-
uns des fafteurs foit égal à 0, pu négatif ; & remarquez
qu’il faut prendre autant de fadeurs des différens
produits -7- x — — X q ^ *■ Ôcc. -y-X X
- z ôcc. -— X — ~—,X—~ ôcc. qu’il y a d’unités
dans 1.
Soit donc le nombre de cas cherché, celui où l’on
peut amener feize points avec quatre dés.
+ -t - X t 'X t 11 + 455
— i X 4 ) f | X 4 = - 336
+ T ^ 7 >< i X T X T = + 6 .
O r 455 — 336-1-6= 125. Donc 125 eft le nombre
cherché.
Trouver en combien de coups A peut gager d'amener
quinze points avec f i x dés. A ayant 1666 cas pour lui,ÔC
44996 contre ; divifez 44990 par 1666, 8c le quotient
27 fe ra= <7. Multipliez donc 27 par 7 ; le produit 18.
9 montrera que le nombre de coups eft environ 19.
Trouver le nombre de coups dans lequel il y a à parier
qu'une chofe arrivera deux fois\ de forte que A & B
rifquent autant l'un que l'autre. Soit le nombre des
cas où la chofe peut arriver du premier coup = <z;
& le nombre de ceux où elle peut ne pas arriver— b.
Soit x le noipbre de coups cherché. Il paraît par ce
qui a été dit. que a>\- bx - = 2 b x - f 2 a x b x '= 1. Et
.faifant a b.\ \ 1 .q ; 1 4- — = 2 —1— . i°. Soit
' A - . A . '
î = i , 6c partant x^=^. p.°. Soit q infinie, 8c par
.conféquent x auffi infinie. Soit x infinie, ôc — = £.
^Donc1 ^-^^“ ^^1 + 8cc. = 2 - f ?+> ÔC{^=log.
1 4- log. 1 + ç. Soit log. 2 -=zy. L’ équation fe transformera
dans l’équation différentielle fuivante.
' es
= y , ôc cherchant la valeur de { par lés
puiffances de y , on aura { = 1. 678 , ou à -p eu -
près. Ainfi la valeur de x fera toujours entre les limites
de 3 q 6c de ,1. 678 q. Mais x convergera
bientôt à 1. 678 q ; c’eft pourquoi, fi le rapport de
q à 1 n’eft pas très-petit, nous ferons x= . 1. 678 q.
Ou fi on foupçonne x d’être trop petite, on fubftituera
fa valeur dans l’équation 1 H— - = 2 -f- —
ôc l’on notera l’erreur fi elle en vaut la peine ; x
prendra ainfi un peu d’accroiffement. Subftituez la
valeur accrue de x dans l’équation fufdite, & notez
la nouvelle erreur. Par le moyen de ces deux erreurs,
on peut corriger celle de x avec affez d’exa&itude.
Voici une table des limites qui conduiront affez vîte
au but qu’on le propofe dans ce problème. Si l’on
parie feulement que la chofe arrivera une fois , le
nombre fera entre 1 q 6c o. 693 q
fi deux fois; entre 3 q 6c 1. 678 q
fi trois fois ; entre 5 q 6c 2. 675 q
fi quatre fois ; entre 7 q 6c 3. 671 q
fi cinq fois; entre 9 q 6c 4. 673 q
fi fix fois ; entre 11 q ôc 3. 668 q.
Trouver en combien de coups on peut fe propofer d'amener
trois A s 9 deux fo is , avec trois dés. Puifqu’il n’y
a qu’un cas où l’on puiffe amener trois as, 8c 215
où l’on ne les amene pas, q = 2 1 5 ; multipliez donc
215 par 1. 678 :‘le produit 360. 7 montrera que le
nombre de coups eft entre 360 & 361.
A 6* B mettent fur table chacun doure pièces d'argent ;
ils jouent avec trois dés 9 à cette condition qu'à chaque
fois qu'il viendra onçe points, A donnera une piece à B ,
& qu'à chaque fois qu'il viendra quatorze points B donnera
une piece à A ; enforte que celui qui aura le premier
toutes les pièces en fa poffeffion les regardera comme gagnées
par lui. On demande le rapport de là chance de A à la
chance de B. Soit le nombre de pièces que chaque
joueur dépo f e = / . a 6c b le nombre des cas où A 8c
B peuvent chacun gagner une piece. Le rapport de
leurs chances fera donc comme a p à bp. ici p = 12 ,
a= 2 7 , b = 15. Or fi 27 étant à 15 comme 9 à 5 ,
vous faites a=. 9 6c £ = y ; le rapport des chances
ou des efpérances fera comme 9 I 1 à 5 I ï ,o u comme
244140625 à 282429536481.
Une attention qu’il faut avoir, c’eft de n’être pas
trompé par la reffemblance des conditions, & de ne
pas confondre les problèmes entr’eux. Il feroit aifé de
croire que le fuivant ne différé en rien de celui qui
précédé. C a vingt-quatre pieces.9 & trois dés ; à chaque
fois qu'il amene z j points, i l donne une piece à
A 9 & à chaque fois qu'il amene 14 , il en donne une
à B ; & A 6* B conviennent que celui des deux qui aura
le premier dou^e pièces , gagnera la mift. On demande
le rapport des chances de A b de B. Ce fécond problème
a ceci de propre qu’il faut que le jeu finiffe en
vingt-trois coups; au lieu que le jeu peut durer éternellement
dans le premier, les pertes 6c les gains fe
détruifant alternativement ; élévez a -j- b à la 23
puiffance, 6c les douze premiers termes feront aux
douze derniers, comme la chance de A à celle de 2?.
Trois joueurs A , B & C ont chacun dou^e balles ;
quatre blanches & huit noires, & les yeux bandes9 ils
Jouent à condition que le premier qui tirera une balle
blanche gagnera la mife ; mais A doit tirer le premier.,
B le fécond, C le troifieme, & ainfi de fuite, dans cet
ordre. On demande le rapport de leurs chances. .Soit
n le nombre des balles ; a le nombre des blanches;
b le nombre des noires, 6c l’enjeu
i ° . A a pour amener une balle blanche les cas a ;
8c les cas b pour en amener une noire ; donc fa
chancq
chance en commençant eft ■ Souftrayatlt
—— de 1 ; la valeur des chances reftarifes
2°. B a pour amener une balle blanche les cas d ;
& les cas b— 1 pour en amener une noire ; mais
c’eft 'à A à commencer de jouer , 6c il eft incertain
s’il gagnera ou ne gagnera pa6 l’enjeu; ainfi l ’enjeu
relativement à B n’eft pas 1 -, mais feulement
■---- - ; ainfi dohe fa chance, en qualité de fécond
■ a b a b ,
joueur eft
Souftrayez
, 6c la valeur du fefté des chances
fera a.b-b-ab _ ,bxh-,i
3°. C a pour amener une balle blanche les cas à ;
& les cas b — % pour en amener une noire ; ainfi (a
a.x b y.b —,i, .
chance èn qualité de troifieme joueur,eft
• 40. En raiforinant de la même maniéré ; A a pour
amener une balle blanche les cas a 9 Sc pour en amener
une noire les cas b— 3 ; ainffeomme jouant un
quatrième coup, après les trois premiers coiipsjoués;
fa chance fera J—L l— — 1_ . & ainll de fuite
1 xn-zxk- 3
pour lés autres joueurs;
Ecrivez donc la férié - • P -ft- Q 4“
— — R -f- ——î - j ’ , où les quantités P , Q j R , 61 dénotent
les termes ou quantités précédentes, avec
leurs CaraÔeres. Prenez autant de termes de là férié
qu’il y a d’ünités dans Æ-p 1 ; car il ne peut pas y
avoir plus de tours au jeu qu’il y ad’ unités.dans 1 ;
6c la ïorpme de totis les tfoifiemes termes, fautant
lès déux termes intermédiaires, en commençant par.
■ cïrbJera toute la chance de A ; pareillement la femme
de tdüs les troifiemes termes, en cbmmençant
par —-r.-" . P * fera toute la chance de B , 6c tous les
troifiemes termes en commençant par Q, fe-
ra la chance de Ci
En faifant a =r 4 , b — 8 9 n— 12 ; la férié générale
fe transformera dans la fuivante fT--P 77 P
4--rir Q 4- f # 4- 5 4~y 4~\^r 4- j -^ 4" 4 ^*
Ou dans cette autre, en multipliant tous les termes
par quelque nombre propre à ôter les fraétions ;
comme ici par 495 * 165 + I2-° 4 - 8 4 + 56(,+ 354-
20 + 10. -p 4 -p 1.
Donc la chance de A fera 165 -p 56 4- 16 231 ,
là chance de B fera 120 -p 3 5 -p 4 = 1 5 9 ,
la chance de C fera 8 4 + 2 0 -p 1 = 105.
Ainfi les chances de ces joueurs A 9 B 9C feront dans
le rapport des nombres 231, 159, 105 ou 7 7 ,5 3 ,3 ,.
. A & B ont dou\e jettons , quatre blancs & huit noirs j
A parie contre B qu'en en prenant fept les yeux frmés,
il y en aura trois blancst Quel ejl le rapport de leurs
c \ances ?
i° . Cherchez combien de fois on peut prendre di-
verfement fept jettons dans, douze ; 6c par le calcul
des combinaifons vous trouverez 792.
: a i X -+ X -^ x f X; 7- X f X f = 7 9 >
2°. Séparez trois jettons blancs, & cherchez toutes
les maniérés dont quatre des huit noirs peuvent
fe combiner avec eux ; vous en trouverez 70.
i ( . f X t X f;X i = 70- _ ,)4 1 )
Et puifqu’il y a là quatre cas où. trois .jettons peu-
yent .êtretirés 4? quatre* .multipliez 70 par 4 ; ôc
Tome V ll ît
vous trouverez 280’pôur les cas où tfois blancs peuvent
venir, avec quatre noirs.
y . Par la loi générale des jeu x, celüi-là eft là
gagnant qui amene le plutôt l ’évenemenr convenu ;
à moins que la condition. Contraire n’ait été.formellement
exprimée. Ainfi donc fi A tire quatre jet,-
tonà blancs avec trois .noirs >. il a gagné. Séparez
quatre jettons blancs, 6c cherchez toutes les manief
res dont trois noirs de huit peuvent fe combiner avec
quatre blancs, & vous trouverez 56.
f X I X f = 56. -, ...........
Ainfi il y a 280+ 56 cas — 3 36 qui font gagner À \
ce qui ôté du nombre detoüs les.cas 79 2 , il en reftq
456 qui le font perdre. Ainfi le rapport d elà chance
de A à la chance de B , eft cômme 336 à 456, ou
14 à ï 9- t l i I i I I
Dans les problèmes fuivaris ; pour éviter la prolixité
9 nous ne donnerons point l’analyfe, mais feu?
lementfon réfultat. Cela fuffira pour faire préfumer
les avantages 6c les defavântages dans les jeux, ga-r
geures. hafârds de la même nature. Ùn bqn efprit fera
de lni-même Ces fortes d’eftimation approchée, dont
On peut fe contenter dans prefque toutes les circonfc
tances de.la vie où elles font.de quelqu’irfiportànce,
A & B jouent avec deux dés ; à. condition que J j
A amene fix -, il aura gagné, 6* B s 'il amene fept. Â
jouera le premier ; mais pour compenfer ct defavan
t’age9 B^jouera deux c'oups de. fui te;. & cela jufqu'à ce
qtîe l'un ou l'autre ait amené le nombre qui finit la partie.
Si l’on cherche le rappoft.de la chance de A à la
chance de B , ôn le trouvera de 10355 ^ 12276.... ;
Si un nombre de joueurs A , B , C , D , E , &c. tou§
d'égalé force , dépofent chacun utie pied , & jouent à
condition que deux d'entre eux A & B commençant à
jouer, celui des deux qui perdra cédera la place au joueur
C ; celui des deux qui perdra cédera la place au joueur
D , jufqu'à ce qu'un de ces joueurs vainqueur de tous les
autres, tire les enjeux oit la mife. On demande le rapport
des chances de tous ces joueur s. Selon la folurion de M,
Bernoulli 9 le nombre des joueurs étant n + 1 , les
chances des deux joueurs qui fe fuivent l ’un l’autre *
font comme 1 + 2"'à 2” , Ôc partant les chances de
tous les jouëurs A , B 9C , D 9 E , ôcc. félon la proportion
géométrique 1 + 2n : 2" : ; A , ç : : c . d \ z
d . e , ôcc. Cela pofé, il n’eft pas difficile de déterminer
les chances de deux joueurs quelconques, ou
avant que de commencer, ou quand le jeu eft engagé:
1 ■ I WÊj W m I .
Par exemple, font trois joueurs A , B , C; alors
h = 2 , 6c .1 = 2n : 2« : : 5 . 4 : î a . c . c’eft-à-dire
que leurs chances ou efpérances de gagner avant que
A ait gagné B 9 ou B , C , : font comme 5:.,.5 ,4 , oii
font , 7 7 , ; car toutes enfemble doivent faire
1. Lorfque A aura gagné B , les chances feront comme
+ -,'7,7;;=: -I-i
S’il y a quatre joueurs ,A , B , C } D , leurs chances
ou attentes feront en commençant comme 8 1 ,
8 1 , 7 2 , 6 4; 6c lorfque A a gagné B 9 les chances
ou attentes de B i D yC i A± çqmmé 25, 32, 3 6 ,
56 ; & lorfque A a gagné B & C , les chances ou.attentes
de Ç , D i B i A , comme t6 , 18, 28 , 87.
A , B , G., trois joueurs d'égale force, mettent tint
piece , & jouent à condition que deux commenceront.
b que celui qui perdra fortira, mais en fortarit ajoutera
une Jbmme convenue à la mifet totale ; &. ainfi de
fuite de tous ceux qui Jortiront 9 j ufqu'à ce qu'il y en ait
un qui battt les deux autres , qui.tire. tout. On demande
f i la chance de A b de B ejlmeilleure ou plus mau-
vaife que celle de C.
Sifa femme que chaque joueur qui fort ajoute à
la maffé,eft à là première mife dechadun, comme
deT7,à 6 j-j.es chances dés,tfois~jQùeu.rs font égales.
Si'le. rapport de la fomme ajoutée par lé fortant à
la màffe '? eft à la première tnife en moindre rap-
. - i * y V ' v v v S p g I