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1°. Faites . ; ; d . i : : a . , c’eft Vintérêt d’un
terme.
z°. Multipliez par /, vient ~ . . . c’eft l'intérêt
total.
_ * d + a it_ g
3°. Ajoutez a o u j , vous aurez — j— — a
Ainli . . . . . . . t = a x — -.
D ’où l’on tire . . • y i = d x
J t = d X — p'«
7 . Exemple I . Un homme a prêté 1200 liv . à 3
pour § par an d’intérêt : à combien montent intérêts
& principal au bout de 4 ans ?
200 Hv.
Faifant d, — 100, & fubftituant. . . r = 1,200 X 7r l
i = 3* - - - t344liv.
r = 4-
Exemple I I . Un homme ayant gardé 1200 livres
pendant un certain tems, rend 1344 liv. pour principal
, & intérêt à raifon de 3 pour £ : combien l’argent
a-t-il été gardé ?
Subftituant dans la quatrième formule, on trouvera
, r = 100 X ,?4}7TÔ*°-° = = 4*
• Quand t eft une fraétion, cette circonftance n’ajoute
( en cette efpece à!intérêt ) aucune difficulté
réelle : le calcul en devient feulement un peu plus
compliqué.
8. De l'intérêt redoublé ou compofé. Les appellations
reliant les mêmes que ci-deffus, pour avoir r,
railonnez ainli :
Le capital du premier terme étant a , l’intérêt fera
ai . . . ad
— ; a quoi ajoutant <1 ou — , r pour cé premier
terme fera e i î- î — ...........................a x i ü •>
d. d t
Le capital du fécond terme étant ÎÂlJLL,
Vintérêt fera tliêlJLL.; à quoi ajoutant
le capital (réduit au dénominateur d")
IV du zd. terme fera — a x
En procédant de la même maniéré, on
trouvera pour IV du troilieme terme
+ =..... d’
Sans aller plus loin, on voit que les divers réful-
tats trouvés & à trouver, forment une progreffion
géométrique, dont <2 eft le premier terme, &
(que pour plus de brièveté je nommerai p ) l’expo-
îant. Le terme de la progreffion où p eft élevé à la
puiffance dont l’expofant eft 1 , fera IV du tems i ;
celui où p eft élevé à la puiffance dont l’expofant
eft 2 , fera IV du tems 2 ; & en général 1$ terme de
la progreffion où/» eft élevé à la puiffance dont l’ex-
pofant eft t , fera IV de ce tems t. D ’ob naiffent,
pour toutes les maniérés différentes dont une même
queftion peut être retournée, les formules fuivantes.
9. r = ap‘. . . ou bien log. r = log. <2 4 -log.p x t.
*=-~ÿ~................ .lo g . <2 = log. r — log./> x t.
r — - loa. r - Inc a
/» = »/ — . ----- log-F = -------- ---------
t — . . , ...............Ion- r - log. a '
............................................log-p
10. Exemple I . 1000 livres ont été prêtées à 6
I N T pour | par an ^intérêt redoublé ( & c’eft ainfi qu'il
faudra l’entendre dans tout le. refte de cet article ) :
combien fera-t-il dû au bout de 3 ans, tant en capital
qu'interets ?
a = 1000 livres.
Faifant * = '6° ° l ï t ! = , = j ; ! « i l- , & fubffi-
tuant, on trouve
I * = 3-
r = 1000 X ttyI tI = = 1 1 9 1 liv. ~ T.
Exemple II. On rend au bout de 3 ans 1191 livres
777 pour 1000 liv. prêtées à intérêt : quel étoit
Cet-intérêt ê
C ’eft p qu’il faut trouver. Or la troilieme formule
donne. . . log. p = log' r *og‘ \ t
Subftituant. . . . log. p = — ;,° 7t9179 ~ ? .0000000
= —°.-.°7^9i79 = 0.0253059 : puifque 0.0253059
eft le logarithme de p où de ^ , ajoutant le logarithme
de d ou de 100, la fomme 2.0253059 eft le
logarithme de d-\-1. Mais à ce logarithme répond
dans la table le nombre 106 : donc d-\-i = 106 ;
donc i = 106 — d+=. 106— 100 = 6 ; donc l’intérêt
étoit à 6 pour £.
Comme on peut fe trouver embarraffé quand/
eft une fraâion, j’ajoute un exemple pour ce cas-là.
Exemple I I I . 1000 livres ont été prêtées à 7 ~
pour | par an d’intérêt : combien fera-t-il dû au bout
de 3 ans fept mois 15 jours ?
a = 1000 livres.
d — 100 5 d+i »071 ^ t u 4J ^
, = 7 ï * d *~~P ~~ 100 200 40 *
T 2 tp ,»/»$. *°°<M
* “ *; }6j ■ *“ 7} . *
( / a été réduit en la plus petite efpece, c ’eft-à-dire
en jours ou 365*” “ d’année, & i la fraétion résultante
réduite elle-même à une plus fxmple par
la divilion du numérateur , & du dénominateur
par 5 ).
Le calcul (effrayant & prefque impratiquable par
la voie ordinaire) devient très-fimple & très-facile
par les logarithmes. . . log. r, =; log. a 4- log. p x /.
Subftituant, on trouve . . . . log. r = 3.0000000 4-
0.0314085 X -fY = 3.0000000 -f-0.1135869 =
3.113 5869. Or à ce logarithme répond dans la table
le nombre 1298 } ! . . . c’eft en livres la valeur
de r.
1 1. Les queftions ordinaires qu’on peut faire fur
Y intérêt f fe réfoudront toujours avec facilité par les
réglés qu’on vient de voir : mais on y pourroit mêler
telles circonftances qui rendroient ces réglés in-
fuffifantes. Par exemple ,
12. Un homme doit une fomme actuellement exigible
; fon créancier confent qu’il la lui rende en un
certain nombre de payemens égaux, qui fe feront,
le premier dans un an, le fécond dans deux, & ainfi
de fuite, & dans lefquels entreront les intérêts ( fur
le pié d’un denier convenu ) à raifon du retardement
de chaque payement : on demande quel fera
chaque payement égal ?
( Cette queftion au refte n’eft pas de pure curiô-
fité ; cette maniéré de faire le commerce d’argent
eft, dit-on, fortd’ufage en Angleterre).
13. C ’eft l’égalité des payemens qui fait ici toute
la difficulté. Pour la lever (confervant d’ailleurs les
appellations précédentes), à / quidéfignolt le tems,
je fubftitue n qui exprimera le nombre des payemens
égaux.
Il eft clair que le premier payement trouvé, tout
eft trouvé. Or ce premier payement eft compofé de
I N T
deux parties ; l’une connut, c’eft Y intérêt du capital
entier fur le pié du denier donné ; l ’autre inconnue»
c ’eft une certaine portion du capital qu’il faut prendre
pour completter le payement. Le capital étant
écorné par le premier payement, Y intérêt fera moins
fort la fécondé année, & conféquemment (vû l’égalité
des payemens ) la portion qu’on prendra fur le
capital fera plus grande, & ainli de fuite d’année en
année. C e qui donne deux fuites, l’une décroiffante
pour les intérêts , l’autre croiffante pour les diverfes
portionç du capital, je m’attache à celle,-ci ; & pour
découvrir la loi qui y régne, je nomme y » x ,
& c . dans le même ordre, les portions du capital com-
pétantes aux premier, fécond, troilieme, &c. payemens,
de forte que i + y 4- x + & c . = a.
Le premier payement fera . . . . iLL 4-
Le fécond ..................— — 4- y»
I N T 8 î î
14. Comme ces payemens font fuppofés égaux,
on en peut former diverfes équations, comparant
le premier avec le fécond, celui-ci avec le troilieme
, &c.
La première équation fait trouver. . , y = ç x
La fécondé. . . . x —y x , ou
, (fubftituant au lieu de .y fa valeur).. x = ç x ~ - 1
C e qui fuffit pour donner à connoître que la fuite en
queftion eft une progreffion géométrique, dont Fex-
pofant eft ~ = p : &c dès-là le problème eft réfo-
lu ; car des cinq élémens qui entrent en toute progreffion
géométrique, ( Voye{ Progression) trois
pris comme on voudra étant connus, donnent les
deux autres. Or on connoît ici la fomme <2, le nombre
des termes-«, & l’expofant/» .* on connoîtra
donc les deux autres, & nommément le premier
terme dont il s’agit ici principalement. . . il fera a
X ~pr~l » à quoi ajoutant Y intérêt du capital entier
qui eft <2 X /» — 1 , On aura r x: a x t 4- p — 1 ,
ou ( réduifant tout au dénominateur /»"— 1 ) r = a
X r ~ ~ ~ ‘ biais comme cette expreffion de la
valeur de r exige dans l’application des réductions
pénibles , au lieu de p remettant ~ - qui lui eft
égal, naît une nouvelle formule qui a cela de commode,
que toute les réductions y font faites d’avanc
e , & qu’il n’y a qu’à fubftituer. On la voit ci-def-
fous avec celles qui en dérivent d'une part, & vis-
à-vis les mêmes par les logarithmes.
M- _^ .»log. r = log. a 4- log. i
H- log. d+ i X n — log. d — log. d-\- i — dAt
dr d + i — d” ------- _------- ------- a — T X - .. log, <2=log. </4"log.r
4- log. d 4- i —•d — log. i — log. d 4- i X n.
log.rfr- log. d
Envain reffafferoitton ces formules pour en tirer
une qui .donnât direCtement .la valeur de ^4-^ ou
de p ; on te trouve néceffairement renvoyé à une
équation du degré n.
16. Comme \ ( ou la portion du capital qui entre
dans le premier payement) eft la feule vraie inconnue
de cette queftion ; fi on veut l’avoir directement,
de l ’équation ci-deffus {4-\y + * + & c. = <*
( après avoir préalablement réduit tout en { ) on
tirera généralement
dn~'1 f = « X J.— —- 1 ■ ~ ' ............f
d +d xd+i + d xd+ i+ ...+ d+ i .
C ’eft-à-dire que pour avoir il faut multiplier <2
par une fraCtion dont le numérateur étant dn~l le
dénominateur eft la fomme des produits des puif*
fances fucceffives dé d ( depuis l’expofant ^2—1 juf-
qu’à l’expofant o inclufivement ) multipliées terme
a terme, mais dans un ordre renverfét par les puiffan-
ces pareilles de d 4-2.
17. Remarquez que cette derniere formule n’eft
la formule particulière de 1 ( premier & plus petit
terme de la progreffion que forment entr’elles les diverfes
portions du capital ) que parce qu’on a pris
pour numérateur de la fraftion le premier & plus petit
terme du dénominateur, favoir d n~l. S i , ( laif-
fant d’ailleurs tout le refte du fécond membre dans le
même état) on eût pris pour numérateur le fécond
terme du dénominateur, fçavoir d 1" 1 X d -{- i ? on eût
eu la formule -dey; celle de x 9 fi on eût pris le troilieme
, &c. En un m ot, la formule donnera la valeur
du terme de la progreffion correfpondant (quant au
rang ) à celui du dénominateur qu’on aura pris pour
numérateur de la fraCtion.. . Cette remarque trouvera
plus bas fon application.
18. Exemple. Que la fomme prêtée foit 10000 livres
, Yintêrêt à 4 pour - , & qu’il y ait 4 payemens
égaux.
<2= 10000 livres.
Faifant d = io ô ? d + î _ , i
i = 4 b d — Tôô— à
n = 4
i °. Par la formule du N°. 15 )
; &fubftituant,'
on trouvera
x f f f f l i = —H f n - = 1754 ÜV. IH tT-
i ° . Par celle du N°. 16.
\ l = 10000 X ----------- U 1 r xi a. eün _iLiX_a.n-n- ------ - = 6 6 3'î <
/Ajoutant 400liv. pour Yintêrêt de la î re aimée, on
a comme ci-devant. . . r = 2754 liv, H fr l*
30. Par les logarithmes) celui de r fe trouve
3.4401058 : or le nombre qui répond à ce logarithme
eft entre.2754 & 275 5 , beaucoup plus près de
ce dernier.
19. Dans la queftion qu’on vient de félbudrè ( le
capital, Yintêrêt, le nombre & les termes de s payemens
reliant d’ailleurs les mêmes ) fi l’on fuppofoit
que la dette originaire ne fût exigible que dans un
an, au lieu de l ’être actuellement, comme on l’avoit
füppofé N°. 1 1 : quel feroit alors chaque payement
égal?
Ce qui rend I’efpece du cas préfent différente de
celle du précédent ; c’eft que le premier payement
fe faifant au même terme que la dette originaire
eût dû être payée, n’eft point fujet à intérêts, &
fera pris en entier fur le capital. Procédant d’ailleurs
comme ci-deffus, on retrouve encore entre les diverfes
portions du capital y , x , &c. la progreffion
géométrique dont l’expofant eft — avec
cette différence que £ ( qui en étoit là le premier &
plus petit terme, parce qü’il étoit joint au plus fort
intérêt) en eft au contraire ici le dernier & plus