3jo I N V certaine condition, différente de ce fujet envifagé
plus abftraitement. Il y a donc trois parties-très-
diftinéles dans l’énoncé de toute vérité mathématique
: le fujet qui eft un être exprimé d’une maniéré
trop universelle pour que l’attribut de la proportion
puiffe lui convenir dans tous les cas poflibles;
mais auquel il ne manque pour cet effet que d’être
rendu plus particulier par une feule qualité déterminante
: Yhypothèfe, par où l’on doit entendre cette
condition qui manquoit au fujet ; 6c la thèjè enfin,
ou la qualité qu’on affûre convenir au fujet dès que
l’hypothèfe l’a rendu allez particulier pour cela.
Qu’il mefoit permis d’illuftrer cette fous-divifion
que j’exige dans la première partie de toute proposition,
par l’exemple de celle que mettent les Méta-
phyliciens dans la caufe complété de tout effet. Un
effet eft toujours exa&ement fimultané à là caufe
complété , c’eft-à-dire à la colleélion de tout ce qui
eft requis pour qu’il parvienne à l’exiftence ; & ii
l ’on a accoutumé de regarder l’effet comme pofté-
rieur à fa caufe, c’eft parce qu’on entend communément
par ce dernier terme, une caufe incomplète,
à laquelle il manque encore , pour être accompagnée
de fon effet, une qualité qu’on nomme condition
, ou occafion, & qu’on diftingue exprelfément
du relie. Cette comparaison eft d’autant plus légitime
, que, même dans la Géométrie, dont les objets
font des quantités co-exiftentes, on eft en ufage
de commencer fouvent l ’hÿpothèfe des théorèmes
par des adverbes de tems, tels que ceux-ci, quand,
ou lorfque ; 6c de mettre quelquefois la thèfe au futur
, alors on aura , 6cc.
Mais voici une conlidération qui fera mieux Sentir
encore la nécelïité de diftinguer trois parties dans
toute propolition hypothétique. Si l’on fait choix
de deux pareilles propositions viliblement converfes
l ’une de l’autre, 6c qu’on les distribue feulement
en deux parties, l’hypothèfe 6c la thèfe, on ne
pourra jamais obtenir l’une de ces propositions, à
l’aide d’un Simple renverferhent de l’autre; & il
faudra toujours conferver dans leurs deux hypo-
thèfes quelque chofe qui.leur eft commun, 6c qui
ne peut palier ni dans la thèfe de l’une, ni dans celle
de l’autre. Ce font ces qualités communes aux deux
hypothèfes, que j ’en détache, pour former ce que
je nomme le fujet.
Nous fommes à préfent en état de reélifier la définition
qui eft à la tête de cet article, & de dire,
que quand deux propolitions ont un même fujet,
mais que l’hypothèfe 6c la thèfe de l’une font un
échange mutuel de leurs fondions pour former l’autre
propolition, elles font dites converfes l’une dé
l ’autre; 6c que la plus importante des deux, ou
bien celle que l’on met la première, parce qu’elle
peut fe démontrer plus aifément fans le fecoûrs de
l’autre ; que celle-ci ne peut être prouvée indépendamment
de1 celle-là, fe nomme quelquefois la directe.
Voici donc la forme à laquelle je réduis les énoncés
de* toutes'les propolitions & de leurs converfes.
Sujet comtiun. Tout ce qui a les qualités A , B ,
C , &c, ■
m m 5 Hyp. S’ilpoffede encore la qualité R.
‘ ‘ i Thèfe. Il polfédera aulîi la qualité S.
r r 5 HyP' S’il poffede encore la qualité S.
onverje. H pofledera aulîi la qualité 'R.
Je ferai à préfent beaucoup plus aifément compris
dans ce que j’avois à obferver fur les différentes
iqueftions dont on a embrouillé cette matière fur
quelques autres réglés contre lefquêlles pèchent la
plupart des élémens qu’on met entre les mains des
jeunes gens.
Première quefiion. Tout théorème a-t-il une con-
fe rfe ? Je me croirais difpenfé d’iine réponfe, fi des au-
I N V teurs très-applaudis d’ailleurs, n’avoient pas prétendu
le contraire, en s’appuyant par exemple de
la 32e d’Euclide; que par cette raison, je vais exprimer
ici à ma maniéré : dans toute figure rectiligne ,
où il y a précifément trois côtés , la fomme des angles
vaut deux droits. La converfe en eft à préfent aifée à
trouver : dans toute figure rectiligne , ou la fomme des
angles vaut deux droits , i l y a précifément trois côtés.
On voit ic i, que pour avoir mes trois parties , j ’ai
été obligé de lubftituer fa définition au défini, parce
que ce dernier renfermoit fous un feul mot, les
qualités qui dévoient appartenir au fujet, avec celle
qui conftnuoit l’hypoihèfe. C ’eft ce que l’on eft fou-
vent obligé de faire ; & c’eft-là fans doute ce qui
a empêché julqu’à préfent les auteurs d’appercevo'ir
cette diftinétion.
Seconde quefiion. Tout théorème univerfellement
v ra i, a-t-il une converfe univerfellement vraie ?
O u i, pourvu que i ’hypothèfe foit aulîi étendue
que là thèle. Un des principaux auteurs qui ont fou-
tenu la négative y s’étant fait fort fur-tout de l ’exemple
d’une diagonale qui coupe en deux également
fon parallélogramme, fans que pour cela toute droite
qui coupe un parallélogramme en deux également en
loit la diagonale : je ferai peut-être plaifir à fes lecteurs,
en leur indiquant trois maniérés de rendre
ce théorème univerfellement convertible. Premièrement
en généralifant l'hypoih'efe -, c’eft-à-dire, en l’étendant
à toutes les droites qui paffent par le point
d’interfeélion des deux diagonales , ou en particula-
rifant la thèfe y ce qui auroit lieu fi on difoit que le
parallélogramme eft coupé en deux parties égales
6c femblables, ou feulement en deux triangles ; ou
enfin en décompofant l’idée de diagonale, comme
nous avons décompofé dans là première quefiion
l’idée de triangle, ce qui donnetoit l’énoncé que
voici : Toute droite qui paffe par le fommet d'un des
angles d'un parallélogramme, J i elle paffe aufji par le
fommet de L'angle oppofé , elle coüpera ce' parallélogramme
en deux parties égales. On me propofa une fois
l’exemple fuivant à convertir : Tout polygone inf-
criptible au cercle , s’il efi équilatéral y il efi au (fi. éqitian-
gle; 6c je. la rendis convertible en généralifant l’hypothèfe,
c’eft-à-diré , en difant : J i ces côtés alternatifs
font égaux. On remarquera en paffant, que c’eft
feulement dans les théorèmes dont la thèfe n’eft pas
plus étendue que l’hypothèfe, qu’on peut donner le
nom de propriété à la qualité que renferme cette
thèfe.
Je dois aufli un mot à ceux qui donnent dans
l’excès oppofé , 6c qui répondent à la quefiion pré-
fente par l’affirmative, fans y mettre aucune reftri-
clion fur l’étendue de la thèle relativement à l’hypothèfe
; mais qui^croient y fuppléer en diftinguant
les vérités mathématiques de^elles qui ont un autre
objet que la quantité. Les Savans de tous les fiecles
ayant pris plaifir à rendre leurs propolitions aufli
universelles qu’il leur étoit pofîible , & ayant trouvé
plus de facilité à le faire dans les mathématiques
que dans quelque autre fciençe que ce fû t , il en eft
arrivé que prefque toutes les propofitions de cette
Science ont eu des hypothèfes aufli étendues que
leurs thèfes, & par conféquent des converfes aufli
vraies qu’elles ; ce qui a porté quelques efprits peu
profonds à conclure par une indûélion précipitée ,
qu’il fuffifoit qu’une propolition certaine eût pour
objet quelque branche des Mathématiques pour que
fa converfe fût certaine aufli ; 6c quand ils ont rencontré
dans leurs leélures géométriques des théorèmes
dont la converfe étoit faüffe, oii ils n’y ont pas
fait attention, où ils ont attribué cette fauffeté à la
malhabileté dé l’auteur, qui àvoit pris pour converfe
d’une propolition ce qui ne l’étoit pas précifément.
Une conféquence naturelle de leur opinion a é té,
I N V
qu’on ne pouvoit fe difpenfer entièrement de démontrer
les converfes ; erreur qui leur eft commune
avec toutes les perfonnes qui., n’ayant pas naturellement
l’efprit net, n’y ont pas un peu fappléé par
l’étude de la philofophie.
Troifieme quefiion. La même propolition a - 1 -e lle
plufieurs converjès toutes aufli vraies qu’elle ?
Je répondrai encore une fois en diftinguant : le
choix des qualités dont on veut compofer l’hypo-
thèfe 6c la thèfe étant une fois déterminé, il n’eft
plus poffible de convertir la propolition de plus d’une
maniéré ; mais, fi l’on n’avoit encore déterminé
que la qualité qui doit former la thèfe de la direéle ,
on pourroit varier de plufieurs maniérés l’exprelfion
de cette direéle, & par conféquent l’expreflion 6c le
fond même de fa converfe; fa vo ir , en tirant du fujet
pris félon l’acception commune, tantôt une qualité &
tantôt une autre > pour en former ce que j’appelle
Yhypothèfe. A préfent, fi l’on me demande quelles
réglés doit fuivre un auteur dans le choix de la qualité
qu’il deftine à former l’hypothèfe de la direcle ;
je répondrai en général, qu’il doit préférer celle qui
devenue thèfe à fon tour, formera la converfe la plus
utile & la plus élégante. Mais voici une réglé plus particulière
: quand on a une claffe de théorèmes, qui ne
different qu’à un feul égard, on doit choifir pour hy-
pothèfe la qualité qui conftitue cette différence, de
forte que le fujet loit abfolument le même dans toutes
ces propofitions 6c dans toutes leurs converfes. Outre
l’uniformité qui réfulte de l’obfervatioa de cette maxime,
ce qui offre plus de commodité à l’attention &
à la mémoire ; on en retirera encore l’avantage de
pouvoir toujours, fans aucune étude, démontrer les
converfes de ces fortes de propofitions, par une méthode
générale qui fera expliquée plus bas. On aura
lin exemple de ce que je prelcris, fi dans celui que
j’ai allégué à l’occafion de la première quefiion, à la
place des nombres trois & deux, dont l’un eft dans
l’hypothèfe & l’autre dans la thèfe,on met les nombres
4 & 4 , ou 5 6c 6 , ou G 6c 8 , ou y & i o , &c. ou
généralement a & z a—4 ; ce qui fournira des théorèmes
fur la fomme des angles d’un quadrilatère,
d ’un pentagone, 6c généralement d’un polygone
quelconque.
Qjiatrieme quefiion. Convient-il de faire fuivre
chaque théorème par une converfe )
La fymétrie le demanderait : mais premièrement,
comme les Mathématiques s’étendent tous les jours,
fans qu’il en arrive autant à la vie de ceux qui s’y
appliquent ; il faut, dans ce fiecle fur-tout, facrifier
cet avantage à celui de la brièveté, quand on prévoit
que ces converfes n’auroient aucune utilité con-
fidérable :*nous devons imiter la fage retenue d’Euclide
, qui, quoiqu’il vécût dans un tems où l ’objet
des Mathématiques étoit mille fois moins vafte qu’à
prélent, a fû cependant fe borner aux converfes dont
il avoit befoin pour démontrer fes principaux théorèmes
, fans qu’on ait lieu de foupçonner un fi grand
genie d’avoir agi de la forte par incapacité. En fécond
lieu, on eit bien forcé, fur-tout dans les M athématiques
mixtes, d’abandonner fouvent le projet
d’inférer certaines converfes dans un traité, faute de
pouvoir en donner la démonftration. Il eft bien plus
aifé de defcendre des caufes aux effets, que de remonter
des effets aux caufes. Le nombre des caufes
combinées dont on cherche le réfultat, étant arbitraire
, ce nombre eft connu & aufli petit que l’on
veut ; au lieu que celui des effets devant être puifé
dans la nature, fous peine de fe perdre dans des con-
clufions chimériques ; ce nombre nous eft fouvent
inconnu par l’imperfeélion de nos fens, 6c même il
eft fouvent trop confidérable pour les forces de notre
entendement : fans ces deux obftacles , rien
n’empêcheroit que nous ne puflions acquérir fur les
ÏNV 851
caufes phyfiques des lumières celles dont nous jouiffons à l’égaarduf dlie clae rGtaéinoems éqtruiee
pduécreo;u vfçrairv loesir c,o ennv eermfeps leony Pahnyt lfaiq vuoei,e c do’emxmcleu foionn l ep ofauirt
ordinairement enGéomctrie pour lesdémontrer; mais cnoe mpmeuetn pt ams eatvtroei re nd eusf aégneu mceétrtea timonésth coodme,p qleutatensd, o&n rqàuteio lna erexjiegéet idoens dcea lcchualqs udeo nmt enmoubsre a dveo ncse tàte p éeninuem lées- qelueemlteionsn ?l uCiveacnit en*ous mene tout naturellement à la
treC einn quuliaègmee pquoeufrii olan .d éQmuoenllfet rmatéiothno ddees dcoonitv-eornfe sm? etaucOunn
rpaepupt olrets a vdeécm coenlltere qr ud’o’unn aeu mraa enmiéprélo qyuéie pno’auirt vleeurr sl adnirse cetfefso ,r.tlso rufqn um’ono yeefnt afcfoezn hfieduérreaubxle pmoeunrt trpoluus
adbe rléag cée ortui tpuldues déelé cgeasn td iqrueeél cees l;u im fauirs l veqouiceil doenu xa fmonétqhuoid
ens’o ngté npéarsa llees ,g édnoien to up elue vleonifti rf aniérece fuffaaigree pceouuxr faauixre a mmiaetuexu r; sm deé tlh’uondiefso qrmuii ptéo,u vruro lnat r pellaaitrieo nd ’qauil’leelulerss mettent entre les démonftrations des propofitions converfes l’une de l’autre.
un Ptohuéor rrèemned rdeo lnan pér,e iml fièaruet àm céeth tohdéeo raèpmplei qeuna bjolein à-
lp’ih.6y plmot haè^fer e & la thèffeu jfeot iefonitt plreé cmifêémmee,n mt la’iosp dpoofnét. ddeém ceolnletrsé ed et ccee pqrueim eifetr o. rCdeinttaei rfeémcoenndt éf odritr eaéifleé éàt acnet
ltruei rq ulai a déjà démontré la première , il faut démonment
qucoen fvie reflel ed ne’ acvetoteit ppraesm liieèure, ,l ae nfé dciofnandté Admirepélele
efenr aa ivte fra tuifflfaen,t &fe udléemmoennttr qeur ela f ic eolnlvee nrf’eé dtoei tla p faésc vornadiée*, qlau per cemettieè rme édtihreocdtee nfoei tl ef ofretr ociot npnaus en,o jn’e fppluesre. Qquu’ooin
cnoien fpidaérdraotnionne rdae dla’e rné grlaép qpuoer tje’ra ii cdio nlan éfeo remnu rléep, oenn
ddaenvti eàn dlraa trpoluifsi eimntee lqliugeifbtlieo ne,n cvour qeu, ec ec eqttuei raérgrliév eerna aufli aux réflexions que je joindrai à la formule.
Première direcle: Dans tout fujet qui a les qualités
lAay q uBa,n t&itcé. fi la quantité p eft égale à la quantité q , r fera égale à la quantité '
Seconde directe. Dans tout, &c. fi p n’eft pas égale à q y r ne fera pas égale à s.
Première converfe. Dans tout, &c. fi r eft é<*a le à s y p fera égale à q.
Démonftration. Si p & q étoient inégales, r & s le feraient aufli par la fécondé direéle ; mais r & s finoéngt afluepsp.ofées égales, donc p 6c q ne fauroient être
égaSleec oàn de converfe. Dans tout, &c. fi r n’eft pas s , p ne fera pas égale à q. aufDlié pmaorn lfai rp.r Semipi&èrteq d éitroeéielen t; émgaalies sr y 8rc Ssc fso lne tf efruapipeont
féePso uinré égvailteesr, l ’didoénec npé g6ca tqiv nee q fua’uorfofriee nl’ti nêétrgea léigtéa lpersi.fe eaxbifgtrea iqtuemelqeunet,f o6ics l, eos nra liaf odninftermibuene sf onuévgaetnifts e qn ud’eeullxe dcoasn,n ec eàl ulia dveé rmitaéj’otrroitiés 6dci rceeéllueis de minorité ; ce qui lieu de deux : 6c trois converfes au S i , dit-on, p = q , on aura r=s ; fi P > q, on aura r > s; &Jip < q, on aura r < s, & réciproquement.
déOtenr mpeiunté em êemnce odrivei, fe&r l ’einn éqguaeliltqéu de’u fnaeç omna npiléursé ppolufis- ltiitvése,, c eonm lmuei founb pfteiututa sn’etn f éépcalariérmciern pta dri flf’éerxeenmtepsl eé gdaes
pdoivlyergfoens evsa :l ecuertste d me léat hfoodme mfoeu rdneist aunng glersa ndde sn odmivberres de direéles, quelquefois une infinité qu’on doit dé