5 M J E T
d’ordonnées \ A E , elles exprimeront chacune la
diftance oh la bombe ira tomber, tiree fous 1 angle
d’inclinaifon formé par l’horifontale A X , 6c par
les lignes de proje&ion menées de A aux différens
points ou aux ordonnées, rencontrant la demi-circonférence
A f F E .
Il réfulte de cette confidération (Plane. VIII. n°.
2. fig. i & 4. ) , i°. que le rayon C A étant la plus
grande de ces ordonnées, exprime la plus grande
diftance A M où la bombe peut être chaffee par la
charge du mortier ; comme l’on a cette amplitude
ïorfque la ligne de proje&ion eft A Z, qui donne
l’angle L A M de 45 degrés, puifque fa mefure eft la
moitié de l’arc A f f L de 90 degrés, il s’enfuit que
pour avoir-la plus grande diftance où la bombe peut
aller, il faut que l’angle de projeftion foit de 45 de-
grés. | .
x°. Que comme les ordonnées egalement dînantes
du rayon C L perpendiculaire fur A E font égales
, les inclinaifons A f ,A F également au-deffus &
au-deffous de 45 degrés, donnent des amplitudes
égales. ,
Ainfi l’angle de proje&ion étant de 30 degres ou
de 60, la bombe ira à la même diftance, parce qu ils
different également de 45 degres.
30. Comme les ordonnées a? ƒ> d f , font lés ftnus
des arcs A f , A ƒ , & que les angles ƒ A G , ƒ A G
. ont pour melure la moitié de ces arcs, les portées
A G , A G égales aux ordonnées d f , d ƒ font en-
tr’elles comme les finus des arcsA f , A f , ou ce
qui eft la même choie, comme les finus des angles
doubles de l'inclinaifon du mortier.
Ainfi, lorfque l’angle d’inclinâifon du mortier eft
de 15 dég'rés, l’arc A f eft à 30; mais comme le
finus de cet arc eft la moitié du rayon, la portée de
la bombe tirée fous l'angle de 16 degrés , efi la moitié
de celle quon a fous l'angle de 46 degrés.
Si l’on veut connoître la plus grande hauteur à
laquelle la bombe s’élève fur l’horifontal A X (fig.
1. Plane. V III. n°. 2 . ) , il faut du point I milieu de
A G , élever fur cette ligne la perpendiculaire I R ,
prolongée jufqu’à ce qu’elle rencontre la ligne de
projeâion A F. On fuppofe qu’elle le fait en R. Si
l ’on coupe enfuite I R en deux également en ZC, ce
point fera celui de la plus grande élévation de la
bombe, & par conféquent I K fera la hauteur demandée.
Pour le démontrer, confidérez que I R coupant
A G en deux également, coupe de même A F en R ,
& que comme I R eft la moitié de l*a ligne de chute
F G , I K moitié de I R eft le quart de F G. Or le
tems que la bombe emploie à parcourir A F par
îon mouvement de projeélion, eft double de celui
de A R ; mais les efpaces que la pefanteur lui fait
parcourir, font entr’eux comme les quarrés des
tems; donc la ligne de chute F G eft. quadruple de
R K ou I K ; donc I K exprime la plus grande élévation
de la bombe fur i’horifontale A X .
Les principes précédens fuffifent pour la réfolu-
tion des différens problèmes qui concernent le jet
des bombes, lorfque le plan où elles doivent tomber
eft de niveau avec la batterie. On peut aufli les
appliquer aux plans élevés au-deftus de l ’horifon ,
bu inclinés au-deffous, mais d’une maniéré moins
générale, parce que dans ces deux derniers cas les
portées ne font point entr’elles comme les finus des
aneles doubles de Pinelinaifon du mortier. Nous
ferons voir la maniéré de faire cette application
dans les problèmes fuivans ; mais auparavant nous
allons donner le moyen de trouver l’angle de projection
qui donne la plus grande portée de la bombe,
foit que le plan fur lequel elle doit tomber foit élevé
fur l’horifon , ou incliné au-deffous.
Soient pour cet effet les figures x & 3 . Plane. V I I I •
J E T ra®. 2. Nous fuppoferons dans la première que le plan
A Y fur lequel la bombe doit tomber, eft élevé fur
l’horifontale^ X de zo degrés, & dans la féconde,
que A Z eft au-deffous , de la même quantité.
Cela pôle, l’arc dont A E eft la corde, fera de
40 degrés plus petit que la demi-circonference ; car
l’angle N A E eft égal à G A X formé par le plan
incliné A Y , 6c l’horifontale A X : or E A N a pour
mefure la moitié de l’arc N E ; mais cette moitié
étant de zo degrés, par la fuppofition le double E N
doit en avoir 40. Si l ’on ôte ce nombre de 180 degrés
, valeur de la demi-circonférence , il reftera
140 degrés pour l’arc A L E , dont A E eft la corde.
La perpendiculaire C L qui coupe la corde E A
en deux également, coupe de la même maniéré l’arc
A L E ; c’eft pourquoi dans cet exemple l’angle
L A G de la plus grande portée a pour mefure le
quart de 140 degrés, c’eft-à-dire 35 degrés.
Il eft évident que les angles également au-deffus
6c au-deffous de cet angle, donneront les mêmes
portées, ainfi que ceux qui different également de
45 degrés, lorfque le plan fur lequel la bombe doit
tomber, eft horilontal ou de niveau avec la batterie
.S
i le plan A Z , fig. 3 , eft au-deffous de l’horifontale
A X de zo degrés, l’arc A L N E en aura
180 plus 40 , c’eft à-dire z z o ; le quart de ce nombre
qui eft 5 5 , donnera dans cet exemple l’angle de
projection de la plus grande portée de la bombe fur
A Z .
Il eft aifé de tirer de-là une réglé générale pour
avoir l’angle de la plus grande portée de la bombe
fur un plan élevé fur l’horifon ou incliné au-deffous
d’une quantité connue.
Dans le premier ca s , il faut ôter de 180 degrés
le double de l’angle de l’élévation du p lan ,& prendre
le^juart du relie : dans le fécond, il faut ajouter
à 180 degrés le double de l’inclinaifon du plan, &
prendre egalement le quart de la fomme qui en réfulte
; ou bien ii faut dans le premier cas, ôter de
4< degrés la moitié de l’angle de l’élévation du plan,
6c ajouter dans le fécond à 45 degrés la moitié de
l’inclinaifon du plan fous l’horifon.
PROBLÈMES. I. Ayant tiré une bombe fous un
angle de projection pris d volonté , & connoiffant la
diftance ou elle aura été tomber fur un plan horifontal,
trouver la force du jet.
Soit (fig. 4. PI.VIII. n°. 2 .) l’angle de projeélion
F A T , & G le point où la bombe aura tombé fur le
plan horifontal A Y.
Comme on fuppofe que A G eft connue, on
trouvera par la Trigonométrie F G 6c A F , cherchant
enfuite une troifieme proportionnelle à F G
6c A F , on aura la force du jet A F.
Si le plan eft incliné au-deftus ou au-deffous de
l’horifon d’une quantité connue G A X , (fig. 5. )
on connoîtra dans le triangle F A £ „ l’angle A G F ,
qui eft égal k G A P , plus A P G , l’angle de projection
F A G , & le côté A G ; c’eft pourquoi on
viendra par la Trigonométrie à la connoiffance des
deux autres côtés A F & FG .
Si le plan eft incliné au-deffous de l’horifon, (figé
• G.') on connoîtra l’angle d’inclinaifon X A Z ,6c par
conféquent A G P , qui en eft le complément ; l’angle
P A F formé par l’horifontale A X ,6 c la ligne
de projection A F eft aufli connue. Donc G A Z* qui
eft égal k G A P , pius P A F , le fera également ; or
comme le côté A G eft fuppofe connu, on connoît
dans le triangle G A F un côté 6c les angles ; c’eft
pourquoi on peut par la Trigonométrie venir à la
connoiffance des deux autres côtés G F 6c A F.
Les lignes de chute 6c de projeCtion, (fig. 5. 6*
. G. ) étant connues, on leur cherchera une troifiemç
proportionnelle, qui fera la force du y « E A ,
! t. La foret du jet étant connue, trouver la plus
grande diftance où la bombe peut être portée fur un plan
quelconque, fig. 1 .2 . & 3 . PI. V III. n°. 2.
Il eft évident par tout te que l ’on a expofé précédemment
, que la plus grande diftance où la bombe
peut être portée fur un plan quelconque avec une
charge de poudre exprimée par la force du jet A E ,
eft déterminée par la partie AM du plan, comprife
entre le point A , où l’on fuppofe le mortier & la
parallèle L M , à la force du je t A E , menée de l’extrémité
L de la ligne C L qui coupe l’arc A L E en
deux egalement. C ’eft pourquoi il ne s'agit que de
trouver la valeur de A M dans les fig. 1. 2. & 3 .
pour la réfolution du problème propofé.
Lorfque le plan eft horifontal (fig. /. ) , on a déjà
vu que la plus grande diftance où la bombe peut
tomber eft égale à la moitié de la force du jet A E i t
& qu’elle fe trouve en tirant le mortier foqs l’angle
L A M de 45 degrés.
Si le plan A Y (fig. 2. ) eft incliné au-deffus de
l’horifon A X , d’une quantité connue Y A X , il
faut d’abord trouver l’angle de projeâion de la plus
grande portée L A M , comme on l’a enfeigné ci-
devant , & chercher enfuite la valeur de la ligne de
projeftion A L .
Pour cet effet, confidérez que l’angle N A Y eft
droit ; qu’otant de cet angle les angles connus N
A E 6c L A Y , il reftera l’angle E A L : or dans le
triangle reftangle A C L , connoiffant A C égal à
la moitié dé la force du je t A E , 6c un angle C A L ,
on viendra par la Trigonométrie à la connoiffance
de A L .
Préfentement dans le triangle A M L , on connoîtra
le côté A L , l’angle L A M ,6 c A M L égal à
M A X , plus l’angle droit A R M ; c’eft pourquoi
on viendra par la Trigonométrie à la connoiffance
de la plus grande diftance A M , où la bombe peut
etre portée avec la charge du mortier exprimée
par la force du je t A E .
Si le plan eft incliné fous l’horifon comme A Z
( fig ‘ 3 ' ) * & qu’on connoiffe l’angle d’inclinaifon
X A Z formé par l’horifontale A X 6c le plan A Z ,
on cherchera d’abord, comme dans le cas précédent
, l’angle de projeôion L A M , de la plus grande
portée de la bombe ; on ôtera enfuite de l’angle
droit N A Z , l’angle de projeôion L A Z , il reftera
l’angle N A L , auquel ajoutant N A C égal à celui
de l’inclinaifon du plan X A Z , on aura E A L ou
C A L. Alors dans le triangle A C L , connoiffant,’outre
cet angle, le côté C A , égal à la moitié de la force
du j e t , on viendra à la connoiffance de A L.
La ligne de proje&ion A L étant ainfi connue, de
meme que les angles de la bafe du triangle L A M ,
fa voir L A M 6 c A M L ( c e dernier eft égal à A
P G, moins P A G ) , il fera aifé de venir par la T rigonométrie
à la connoiffance de A M , ou de la
plus grande portée de la bombe.
I I I . La plus grande diftance où une bombe puiffe
aller fur un plan quelconque étant connue, & laforce du
je t , trouver la diftance où elle ira, tirée fous tel angle
de direction que l'on voudra, le mortier étant toujours
chargé delà même quantité de poudre, ou, ce qui eft
la même chofe, la force du jet étant toujours la même.
t Lorfque le plan eft horifontal, les différentes portées
font entr’elles comme les finus des angles doubles
de l’inclinaifon de mortier ; c’eft pourquoi l’on
trouvera la diftance demandée par cette analogie.
Comme le finus total efi au finus de l'angle double de
Vintlinaifon du mortier; ainfi la plus grande diftance
efi a fa diftance demandée.
Bsa le.Pi?n ^onn® A Y (fig. 6. ) eft incliné fur l’ho-
n lo n^A T du centre O de l’arc A L N , on tirera
le rayon O F : comme l’arc A L F eft double de celui
ae | wçhnaifon du mortier , l’angle A O Z*fera confit!
; ie-ràÿori A O le fera aufli i car cônrioiffaht dans
le triangle re&angle O C A , le côté ^ C é g a l à la
moitié de là force du je t , 6c l’angle O A C , qui eft
égal à celui de l’inclinaifon du plan Y A X , on
viendra aifément à la connoiffance de O A . Ainfi
dans je triangle A O F , on connoîtra les angles 6t
les côtés O A 6c O F , qui feront venir à la connoiffance
de la ligne de projeftion A F Dans lé
triangle A F G , on connoîtra le côté A F ; de plus
1 angle d inclmaifon donné Z ^ G , 6c l’angle A G F
égal k A P G , plus P A G; par conféquent on trouve*
ra par la Trigonométrie la diftance demandée A G-.
Si le plan A Z eft incliné fous l’horifon (fig. G. )
il eft évident qu’on viendra de la même manière à
la connôiffance de fa ligne de projection A F , &
enfuite à celle de la diftance demandée A G.
IV . La plus grande diftance où une bombe puiffe. allet
für un plan quelconque étant connue ,& la force du jet,
trouve C angle de projection ou d'inclinaifon du mortier
pour la faire tomber à une diftance donnée.
Si le plan eft horifontal, on fera cette analogie*
, Comme la plus grande diftance efi à la diftance don^
nte ; ainfi le finus total efi au finus de C angle double dé
celui de projectioni
Ce finus étant connu, on cherchera dans les tables
de finus 1 angle auquel il appartiendra ; fa moitié fera
la valeur de l’angle de projeCtion demandé.
plan eft incliné au-deffus ou au-deffous de 1 horifon comme A Y 6c A Z (fig. 5. & G. ) , il y
a plus de difficulté à trouver l’angle dont il s’agit j
voici néanmoins une méthode affez facile pour ÿ
parvenir. 3
Nous fuppoferons d’abord (fig. à. ) que k plart
^ eft eleve fur l ’horifon A X d’une quantité con*
nue T A X ; que E A eft la force du j e t , 6c l’arc
A L E décrit du point O , milieu du diamètre A N ,
renferme toutes les differentes lignes de projeCtioil
que la charge de poudre du mortier, ou la forcé du
je t peut faire décrire a la bombe. Nous fuppoferons
aufli que A G eft la diftance donnée. C ’eft pourquoi
fi l’on imagine que par G , on a mené G F parallèle
k A E , qui coupe l’arc A L E en f ,6 c F ; tirant du
point A , les lignes de projeCtion A ƒ , 6c A F , elles
donneront l’angle demandé ƒ A G , ou F A G.
Pour venir à la connoiffance de cet angle par Id
calcul, il faut obferver que dans le triangle A G F ,
on connoît le côté donné A G ; de plus l’angle A G
F égal k G A P plus G P A ; qu’ainfifi l’on parvient
à la. connoiffance de G F , ou de A F , on pourra
connoître par la Trigonométrie, l’anale de proie*
Ction F A G. J
Pour cet effet, foit tiré du centre 0 de l’arc A L F
fur A E , la perpendiculaire O C, qui étant prolongée
jufqu'à la rencontre de cet arc en A , le coupera
en deux également, ainfi que A E en C , 6c F f
en T.
On aura le triangle reCtangle A C O , dans lequel
le côté A C qui eft égal à la moitié de la force du je t
A E fera connu, ainfi que l’angle O A C , égal à celui
de l’élévation du plan Y a X , ou G A P ; c’eft
pourquoi pn viendra par la Trigonométrie à la con-
noiffance de O C 6c de O A , égale k O L.
Préfentement fi l’on prolonge F G jufqu’à ce qu’el*
le rencontre l’horifontale A X dans le point P , il
fera aifé, dans le triangle reâangle A P G , fembla*
ble au triangle A C O , de venir à la connoiffance de
A P Ô c d e P G .
Comme C T efi égale k A P , à caufe des paralle*
les A E & F P , O T qui eft égal k O C plus C T fe«
ra connue ; fi l’on ôte O T de O L , il reftera T L,
Cette ligne étant connue, on viendra par la pro-*
priété du cercle, à la connoiffance de ZTou T f ,
en multipliant O L pJius O T par T A , 6c extrayant
laraçine quarrée du produit.