courbe ; elle redevenoit naturelle ou perpendiculaire
; lorfque la pefanteur l’emportoit fur la force de
l’impulfion de la poudre. . . . . , ,
C ’eft à Galilée, mathématicien du grand duc de
Florence, qu’on doit les premières idées exaéles fur
ce fujet. Il confidéra la bombe comme fe mouvant
dans un milieu non réliftant ; & en fuppofant que la
pefanteur fait tendre les corps au centre de la terre,
il trouva, comme nous allons bien-tôt le faire voir,
que la courbe décrite par la bombe eft une parabole.
Voye^ Para bo l e.
Si l’on fuppofe qu’un corps foit pouffe par une
force quelconque dans une direction oblique ou parallèle
à l’horifontale, elle fera celle de projection
de ce corps, c’eft-à-dire, la ligne dans laquelle il
tend à fe mouvoir ; fon mouvement le long de
cette li<me fera appellé mouvement de projection.
Par le mouvement de projeâion, le corps ou le
mobile avance uniformément dans la meme direction
( en fuppofant qu’il foit fans pefanteur, & que
le milieu dans lequel il fe meut ne réfifte point ) ,
il parcourt des efpaces égaux dans des tems égaux;
mais fi l ’on confidere que la pefanteur qui agit toujours
fur lui, l’approche continuellement du centre
de la terre lorfqu’il fe meut librement, on verra
bien-tôt que fon mouvement fera compofe de celui
de projeftion, & de celui que lui imprime fa tendance
au centre de la terre ; qu’ainfi il doit s ecarter
de la dire&ion qui lui a d’abord été donnée.
Si le mouvement de pefanteur etoit uniforme
comme celui de projeûion, le corps fe mouvroit
dans une ligne droite qui feroit la diagonale d’un
parallélograme dont les deux côtés feroient entr’eux
comme le mouvement de projeftion eft à celui de
la pefanteur^
Mais comme la pefanteur fait parcourir au corps
des efpaces inégaux dans des tems égaux, la ligne
qui réfulte du concours de ces deux mouvemens
doit être une ligne courbe.
Pour trouver cette ligne, il faut divifer celle de
projeâion en plufieurs parties égalés ; £es parties
étant parcourues dans des tems égaux, peuvent exprimer
le tems de la durée du mouvement du corps :
Sc comme les efpaces que la pefanteur fait parcourir
au mobile font comme les quarrés des tems, ces
efpaces font donc entr’eux comme les quarrés des
parties de la ligne de projeâiôn.
Ainfi A C (Plane. V III. fig. z. de VArt. milit. )
étant la ligne de projeftion de la bombe qui tombe
en B fur le plan horifontal A B , on divifera cette
ligne en plufieurs parties égales, par exemple en 6,
abaiffant des perpendiculaires de tous les points de
divifion de ^ 6'fur A B , l’efpace C B parcouru par
la pefanteur »fera à celui qu’elle fera parcourir au
mobile dans le tems exprimé par A i , comme 36 eft
à 1. C ’eft pourquoi on prendra Z) ƒ de la 36e partie
de C B ; par la même raifon %E fera les ^ de C B ,
3 F les ^ , 4 G les y f , Sc S H les ; faifant en-
fuite paffer une courbe par les points D , E , F , G ,
H , B , elle fera celle que la bombe ou le mobile
aura décrite pendant la durée de fon mouvement.
Si par le point A on mene A b égale & parallèle
à C B , Sc que par les points D , E , F , G, H, B , on
tire des parallèles k A C , les parties de la ligne A b ,
A d , A e, & c . feront égales aux efpaces que la pefanteur
aura fait parcourir à la bombe ; elles feront
les abfciffes de la courbe A D E F G H B , Sc les ordonnées
D d E e , F f , feront égales -aux divifions
correfpondantes de A C. D ’où il fuit que. les quarrés
des ordonnées de cette courbe font entr’eux comme
les abfciffes. Mais cette propriété appartient à la
parabole : donc la courbe décrite par la bombe eft
une-parabole.
Si le milieu dans lequel la bombe ou le mobile
fe meut eft réfiftant, la courbe qu’il décrit n’eft plus
une parabole. Pour la déterminer,1i l faudroit favoir
quelle eft la loi fuivant laquelle l’air réfifte au mouvement.
En fuppofant que cette refiftance foit proportionnelle
aux quarrés des viteffes, comme on le
croit communément, M.Newton a démontré que la
courbe décrite par le mobile eft une efpece d’hyperbole
dont le fommet ne répond point au milieu
de la ligne tirée du mortier au lieu où tombe la
bombe ; la perpendiculaire abaiffée de ce point fur
cette ligne, la couperoit en deux parties inégales,
dont la plus grande eft celle du côté du mortier.
Comme plufieurs expériences ont fait voir que la
réfiftance de l’air n’opere pas affez fenfiblement fur
le mouvement des bombes , pour caufer des erreurs
fenfibles dans les calculs où l’on en fait abftra&ion ;
nous fuppoferons, comme on le fait ordinairement,
qu’elles le meuvent dans un milieu non réfiftant.
Les lignes de proje&ion des bombes jettées parallèlement
ou obliquement à l’horifon, font autant de
tangentes à la courbe qu’elles décrivent; car comme
la pefanteur agit toujours fur les corps qui fe meuvent
librement, elle doit les détacher d’abord de la
ligne de proje&ion ; par conféquent cette ligne ne
doit toucher celle qu’ils décrivent que dans un
point.
On fait que les bombes fe tirent avèc des efpe-
ces de canons courts appellés mortiers. Voye{ Mo r t
ie r . La poudre dont le mortier eft charge eft la
force qu’on emploie pour chaffer la bombe. Comme
il y auroit beaucoup de difficultés à c a lc u ^ les
différentes impreflions que les bombes peuvent rqf e-
voir des différentes quantités de poudre dont on
peut charger le mortier, on a trouvé le moyen de
les éluder, en fuppofant que J.a force dont la pou-*
dre eft capable, eft acquife par la chute de la bombe
d’une hauteur verticale quelconque. Plus cette hauteur
fera grande, & plus la force ou la viteffe acquife
pendant la durée de la chute, le fera auffi.
C’eft pourquoi il n’y a point de charge de poudre
dont la force ne puiffe fe confidérer comme étant
produite par une chute verticale relative à la quantité
de poudre de cette charge.
En fuppofant que les bombes décrivent des paraboles
, on peut des différentes propriétés de ces
courbes tirer les réglés générales Sc particulières du
je t des bombes ; mais comme on peut auffi les déduire
4u mouvement des côrps pefans, nous allons
en donner un précis, en ne fuppofant que la con-
noiffance de la théorie de ce mouvement.
Pour exprimer la viteffe avec laquelle la bombe
eft pouffée fuivant les différentes direûions qu’on
peut lui donner, nous”fuppoferons qu’elle a acquis
cette viteffe en tombant d’une hauteur déterminée
B A (Fig. 1. Plane. V ll l.d e l'Art, milit. n°. ,£.)
Il eft démontré que fi un corps pefant qui a acquis
une viteffe en tombant d’une hauteur détermmée
B A , eft pouffé de bas en haut avec cette viteffe ,
qu’il remontera à la même hauteur d’un mouvement
retardé, dans le même tems que celui de la
durée de fa chute le long de cette hauteur. Voye^
Mo u v em e n t des c o r ps pesa n s.
Si l’on fuppofe qu’il fe meuve d’un mouvement
uniforme pendant le même tems, avec la viteffe
acquife en tombant de B en A , il parcourra un
efpace double de A B , c’eft-à-dire A C : dans le tems
qu’il employeroit à tomber d’un mouvement accéléré
de B en A , St à remonter de A en B d’un mouvement
retardé, il parcourra d’un mouvement uniforme
A E quadruple de A B.
Si le corps pefant eft pouffé fuivant une ligne de
direâion quelconque A F , ( fig. 1 , 2 6* 3. Plane.
V III. n°. 2 .) avec la viteffe acquife par fa pefanteur
en tombant librement de B en A , .pour avoir
la diftance où ce corps ira tomber, foit fur un plan
horifontal A X , ou incliné au-deffws de l’horifon A
T , ou au-deffous A Z ; il faut fur A E , quadruple
de A B , décrire un arc tangent au plan, qui
coupera la ligne de proje&ion en F ou f ; fi l’on
abaiffe de ce point la verticale F f G ,l e point G où
elle rencontrera les plans A X , A Y & A Z , fera
celui où le corps ira tomber.
Pour le démontrer, tirez la corde E F. On aura
les deux triangles femblables E A F , F A G ; car
les angles E A F , A F G font égaux étant alternes :
de plus, l’angle F E A qui a pour mefure la"* moitié
de l’arc F f A , eft égal à F A G qui étant formé de
la tangente A G St de la corde F A , a poiir mefure
la moitié du même arc F f A : donc les deux triangles
A E FSc F A G font femblables. C ’eft pourquoi
l’on z E A. A F ’. '.A F. F G. Mais dans la proportion
continue le premier terme efi au dernier comme le
quarrè du premier ejl au quarré du fécond. D onc E A .
F G : : £ A . A F. Et v/ E A . y/ F G : : E A . A F .
Les deux premiers termes de cette derniere proportion
expriment les viteffes que le mobile acquiert
en tombant librement de E en A , Sc de F en G; car
les viteffes peuvent être exprimées par les racines
quarrées des efpaces que la pefanteur fait parcourir
au mobile. Il fuit de-là que les efpaces E A St A F
étant entr’eux comme les viteffes précédentes, font
parcourus uniformément dans le même tems. Ainfi
ils peuvent exprimer ces viteffes, mais les efpaces
parcourus par la pefanteur font entr’eux comme les
quarrés des viteffes. D o n c , puifque E A Si F G font
entr’eiix comme les quarrés de E A Sc de A F , ces
lignes font celles que la pefanteur fait parcourir à
la bombe ou au mobile dans le tems qu’il décriroit
E A Si A F uniformément, c’eft-à-dire dans un tems
double de celui qu’il employeroit à tomber de B
en A , d’un mouvement accéléré, ou ce qu?*feft la
même chofe, dans celui qu’il employeroit à monter
de A en B , Sc à defeendre de B en A .
Il eft évident que cette démonftration s’applique
également aux figures 1 , z & 3 (Plane. VIII. n°.z.')
à la ligne de projeôion A f $.les mêmes figures, &
à toutes les autres qu’on peut tirer de A aux différons
points de l’arc A f F E ; que fi le plan eft horifontal
comme t X ( fig . i . f l’arc A fF E eft une demi-
circonférence dont A E eft le diamètre ; mais que
fi le plan eft élevé fur l’horifon comme A Y (fig. 2 .)
l’arc précédent eft plus petit que la demi-circonférence
, Sc qu’il eft plus grand quand le plan eft
abaiffé fous l’horifon, comme A Z (fig. 3 .)
Pour décrire ces arcs dans ces deux derniers ca s,
il faut élever du point A fur A Y St A Z , la perpendiculaire
indéfinie ^ N (fig. z & 3 . ) ; Pu^s du
point C milieu de A E , élever fur cette ligne une
autre perpendiculaire C L , qui étant prolongée juf-
qu’à la rencontre de A N , la coupera dans le point
O qui fera le centre de l’arc. C ’eft pourquoi, fi de
ce point pris pour centre, Sc de l ’intervalle O A
ou O Z on décrit l’arc A f F N terminé en N (fig.
3. ) par fa rencontre avec A N ( fig. 3 . ) Sc prolongée
jufqu’en E (fig. 4 ) on aura l’arc demandé.
La diftance A G à laquelle la bombe va tomber
du mortier, fe nomme là ligne de but, ou l'amplitude
de la parabole ; A E quadruple de A B , la force
du jet ; & F G Ou ƒ G , la ligne de chute.
Comme il n’eft point d’ulage de tirer les bombes
parallèlement à l’horifcyi, nous n’entrerons point
dans le détail des-circonftancesparticulieres de ce
je t ; nous donnerons feulement la maniéré de déterminer
la hauteur le 'long de laquelle la bombe doit
tomber pour acquérir la viteffe néceffaire pour décrire
la ligne de proje&ion qui dans-ce cas eft égale à celle de bu t, pendant que la.pefanteur lui fait
décrire la ligne de chute.
Si l’on fuppofe que du point B (fig. / / ) , élevé
fur l’horifontal A X de la quantité B A , on ait tiré
une bombe avec une charge de poudre déterminée,
&qu e la bombe ait été tomber en G fur A X , pour
trouver la hauteur de laquelle elle auroit dû tomber
pour acquérir la force ou la viteffe que lui imprime
la charge de poudre du mortier pour décrire
la ligne de projeftion B F d’un mouvement unifor-
me, pendant que la pefanteur lui fera décrire B A
cm F G d’un mouvement accéléré, il faut mener
B F parallèle k A X , terminée en Z par fa rencontre
avec G F perpendiculaire k A X . On coupera
B F en deux également en D ,Sc l’on tirera A D
fur laquelle on élevera la perpendiculaire D Z , qui
fera terminée en E par fa rencontre avec le prolongement
de A B ; l ’on aura E B pour la hauteur demandée.
La bombe en tombant de B en A acquiert une
viteffe capable de lui faire décrire cette même ligne
d’un mouvement uniforme pendant la moitié du
tems de la durée de fa chûte d’un mouvement accéléré
; elle doit donc décrire B D moitié d e B F , dans
le même tems ; comme A B St B D font ainfi parcourus
uniformément dans le même tems, ces deux
lignes font entr’elles comme les viteffes qui les leur
font parcourir. Mais à caufe du triangle reftangle
A D E , l’on a A B. B D \ \B D . B E ; ce qui donne
\Y A B. y/ B E y. A B. B D . Or la viteffe par la
chute le long de A B eft égale à la racine quarrée’
de A B ; donc la racine quarrée de E B exprime la
viteffe par B D : donc Z Z eft la hauteur de laquelle
la bombe doit tomber pour acquérir une viteffe capable
de pouffer la bombe par le mouvement de
proje&ion de B en D , dans le tems de la moitié de
la durée de la chûte accélérée de la bombe le long
de B A . Or dans un tems double cette même viteffe
doit lui faire parcourir B F double de B D ; donc
elle lui fera parcourir cet efpace dans le tems que
la pefanteur fera parcourir à la bombe la ligne B A ;
donc, &c.
La force du j e t , la ligne de projection , & la ligne
de chûte font en proportion continue, c’eft-à-dire que
(Plane. VIII. n°. z. fig. /, 2 & 3 . ) A E. A Z ; ; A
F. F G ; ce qui eft évident, puifque’ les triangles
femblables E A F , F A G donnent cette même proportion.
Il fuit de-là que lorfqu’on connoît l’amplitude de
la parabole, & l’angle de l’inclinaifon du mortier,
on peut trouver la force du jet. Car dans le triangle
F G A on connbît A G par la fuppofirion, ainfi que
l ’angle F A G. De plus l’angle A G F qui»eft droit
fig. 1 , Sc qui eft égal à G A P , plus G P A ,fig. 2 ,
Sc au droit A P G moins P A G fig. 3 . C ’eft pourquoi
on viendra par laTrigonométrie àlaconnoif-
fance de G F St de A F. Ces deux lignes étant connues,
on t ro u v e ra i Z , en cherchant une troifieme
porportionnelle à G Z Sc A F.
On voit par-là que fi l’on tire une bombe avec
une charge de poudre quelconque, qu’on obferve
l ’angle d’inclinaifon du mortier , Sc la diftance où
la bombe fera portée, on peut trouver la hauteur
d’où elle auroit dû tomber pour acquérir une force
qui agiffant fur elle dans la direûion du mortier, foit
capable de produire le même effet que l’impulfion
de la poudre dont il aura été chargé.
Si par les points ƒ Z (fig. 4. ) on tir e fd S tF D
perpendiculaire à A E , ces lignes feront égales à
l’amplitude^? G. Or comme tous -les points de la
demi-circonférence A F f E terminent les différentes
lignes de projeélion félon lefquelles on peut tirer
la bombe pour la faire tomber fur A X avec la
charge de poudre exprimée par la force du je t A Z ,
il s’enfuit que fi de tous ces points on mene des perpendiculaires
à A E , ou fit l’qn tire une infinité