qu’alors t crolffant, «diminue; fur quoi voyei mon
traité de Dynamique y articles 19 & 20. Or nommant
e l’efpace parcouru, on a « = j-t ( voye^ Vitesse ) ;
donc l’équation tp d t — fr^d u , donne aufli celle - c1
xp d t7- = + d d e ; c’eft-à-dire que les petits efpaces
que fait parcourir à chaque inftant une force accélératrice
ou retardatrice, font entr’eux comme les
quarrés des tems.
Cette équation 9 d t 1 = + d d e , o u , ce qui revient
au même, l’équation 9 dt=z fp_d u n’eft point
un principe de méchanique, comme bien des auteurs
le croyent, mais une fimple définition ; la force accélératrice
ne fe fait connoître à nous que par fon
effet : cet effet n’eft autre chofe que la vîteffe qu’elle
produit dans un certain tems; & quand on d it, par
exemple, que la force accélératrice d’un corps eft réciproquement
proportionnelle au quarré de la dif-
tance, on veut dire feulement que j ; eft réciproquement
proportionnel à ce quarré ; ainfî <p n’eft que
l’expreffion abrégée de ^~t , ôt le fécond membre de
l’équation qui exprime la valeur de Voye{ l'article
Accélératrice & mon traité de Dynamique déjà
cités.
L’équation = <p fait voir que pendant un inftant
l’effet de toute force accélératrice quelconque
efl comme le quarré du tems ; car la quantité variable
<p pouvant être cenfée confiante pendant un
inftant, eft donc confiant pendant cet inftant,
& par conféquent d d e eft comme d t 1 . Ainfi pendant
un inftant quelconque les petits efpaces qu’une
force accélératrice quelconque fait parcourir, font
entr’eux comme les quarrés des tems ou plutôt des
inftans correfpondans ; toute caufe accélératrice agit
donc dans un inftant de la même maniéré & fuivant
les mêmes lois que la pefanteur agit dans un tems
fini ; car les efpaces que la pefanteur fait parcourir
font comme les quarrés des tems. Foyei Accélération
& Descente. Donc fi on nomme a l’efpace
que la pefanteur p feroit parcourir pendant un
tems quelconque 6, on aura p : <p : : ^ , & par
conféquent <p — ^7771— j formule générale pour
comparer avec la pefanteur p une force accélératrice
quelconque <p. ■
Mais il y a fur cette formule une remarque importante.
à faire; elle ne doit avoir lieu que quand
on regarde comme courbe rigoureufe la courbe
qui auroit les tems t pour abfciffes & les efpaces e
pour ordonnées ; ou , ce qui revient au même, qui
repréfenteroit par l’équation entre fes coordonnées
l’équation entre e & t. Voye^ E q u a t io n . Car
fi on regarde cette courbe comme polygone, alors
d d e prife à la maniéré ordinaire du calcul différentiel
aura une valeur double de celle qu’elle a dans
la courbe rigoureufe , & par conféquent il faudra
fuppofer <p = -f i f f , afin de conferver à <p la même
valeur. Voye^fur cela Us mots Courbe polygone
- & D ifférentiel, page 988. col. 1. C ’étoit faute
d’avoir fait cette attention, que le célébré M. Newton
s’étoit trompé fur la mefure des forces centrales
dans la première édition de fes Principes ; M. Bernoulli
l’a prouvé dans les mémoires de l'académie des
Sciences de 1711 j on faifoit alors en Angleterre une
nouvelle édition des principes de M. Newton ; & ce
grand homme fe corrigea fans répondre. Pour mieux
taire fentir par un exemple fimple combien cette
diftinâion entre les deux équations eft néceffaire,
je fuppofe <p confiante & égale kpÿ on aura donc
d d t — — -- par la première équation ; & en intégrant
e = Donc fi t eft =. 0, on auroit e = ^ *
ce qui eft contre l’hypothèfe, puifqu’oil a fuppofé
que a eft l’efpace décrit dans le tems 0, & que par
conféquent fi t = fl, on aura e = a ; au contraire en
faifant d de — , on trouvera, comme on le
doit, e = a. Cette remarque eft très-effentielle pour
éviter bien des paralogifmes.
L’equation <p d t z s 'd u , donne tpde — u d u , k
caufe de d t — -d ; donc uu=zxf<pde; autre équation
entre les vîteffes & les efpaces pour les forces
accélératrices. Donc f i , par exemple, p eft conf-
tant, on aura uu — z p e ; c’eft l’équation entre les
efpaces & les vîteffes , dans le mouvement des
corps que la pefanteur anime.
Fo r c e s centrales & centrifuges. Nous
avons donné la définition des forces centrales au mot
Central * , & nous y renvoyons, ainfi qu’à la di-
vifion des forces centrales en centripètes & centrifuges ,
félon qu’elles tendent à approcher ou à éloigner le
corps du point fixe ou mobile auquel on rapporte
l’aûion de laforce centrale. Ce même mot d & force
centrifuge lignifie encore plus ordinairement cette
forcepar laquelle un corps mu circulairement tend
continuellement à s’éloigner du centre du cercle
qu’il décrit. Cette force fe manifefte aifément à nos,
lens dans le mouvement d’une fronde ; car nous fen-
tons que la fronde eft d’autant plus tendue par la
pierre, que cette pierre eft tournée avec plus de
YÎteffe ; 6c cette tenfion fuppofe dans la pierre un
effort pour s’éloigner de la main, qui eft le centre du
cercle que la pierre décrit. En effet la pierre mue,
circulairement tend continuellement à s’échapper
par la tangente, en vertu de la force d’inertie, comme
on l ’a prouvé au mot Centrifuge. Or l’effort
pour s’échapper par la tangente, tend à éloigner le
corps du centre, comme cela eft évident, puifque
fi le corps s’échappoit par la tangente, il s’éioigne-
roit toujours de plus en plus de ce même centre^
Donc l’effort de la pierre, pour s’échapper par la
tangente, doit tendre la fronde. Veut-on le voir d’une
maniéré encore plus diftinéle ? Le corps arrivé,
au point A (Jig. 24. Méchaniq.') tend à fe mouvoir
par la tangente ou portion de tangente infiniment
petite A D . Or par le principe de la décompofition
des forces (voyei D écomposition & Composition)
, on peut regarder ce mouvement fuivant
A D comme compofé de deux mouvemens, l’un fuivant
l’arc A E du cercle , l’autre fuivant la ligne
[ E D y qu’on peut fuppofer dirigée au centre. De ces*
deux mouvemens, le corps ne conferve que le
mouvement fuivant A E ; donc le mouvement fuivant
E D eft détruit ; & comme ce mouvement efl
dirigé du centre à la circonférence, c’eft en vertu
de la tendance à ce mouvement que la fronde efl
bandée.
Un corps qui fe meut fur toute autre courbe que
[ fur un cercle, fait effort de même à chaque inftant
pour s’échapper par la tangente ; ainfi on a nommé
en général cet effort force centrifuge y quelle que foit
la courbe que le corps décrit.
Pour calculer la force centrifuge d’un corps fur une
courbe quelconque, il fuffït de la favoir calculer dans
un cercle ; car une courbe quelconque peut être regardée
comme compofée d’une infinité d’arcs de
cercle, dont les centres font dans la développée.
Voye^ D éveloppée & Osculateur. Ainfi con-
noiffant la loi des forces centrifuges dans le cercle on
connoîtra celle des forces centrifuges dans une courbe
quelconque. Or il eft facile dé calculer la force centrifuge
dans un cercle ; Car fuivant ce que nous avons
* N. B• Dans cet article, N», n . au lieu de raifon inverfi
de la triplée, il faut lire raifon fous-doublée de la triplée -, $c
N°. ij . £ la tin, il riut lirefinus pour coprins,.
dit ci-déflus, fi on nomme <p là force centrifuge, & de
Je tems employé à parcourir A E ou D E (Jig. 24.
WÊÊ . v D E . a
Mechantq.), on aura 9 : p : : j-p* • "Î1 y en regardant
le cercle comme rigoüreux. Or dans cette hy-
pothèfe on a D E = par la propriété du cer-
d e ;
Dans le cercle polygone on a D E-sz ^ parce
que regardant A D comme le prolongement d’un
petit côte du cercle, on a D E : A E :: A E efl au
rayon ~ ; & dans cette même hypothèfe on a tp :
. . D E u < p .2AE* .Q*
p : : 2T*: i~ »donc on aura ? - TidtrriB —
«r* t» 1 a~b 1 équation qui efl la même que la précédente.
On voit donc qu’en s’y prenant bien, la valeur
de la force centrifuge fe trouve la même dans les
(deux cas.
Si on appelle « la vîteffe du corps, & fi on fuppofe
« égale à la vîteffe que le corps aüroit acquife
en tombant de la hauteur h , en vertu de la pefanteur
p , on aura «« = zp h. Foye^ Accélération,
Pesanteur, & ce que nous avons dit ci-deffus à l’oc-
cafion de l’équation <pd cz— u du . D e plus On aura
par la même raifon \/ zp a pour la vîteffe que le
corps acquerroit en tombant de la hauteur a pendant
le tems 6 ; & comme cette vîteffe feroit parcourir
uniformément l’efpace 2« pendant le même tems
6 ( voyei Accélération & D escente) , on aura
' j4 E : 2 a ï : u d t :Q ÿ ip a : : d t \ / z p h : Q \ / z p a ;
j A E 2 a l/h 2 ah 1 A E- 4 ah ^
donc 7 1 = donc - ï i ï = V ;
donc , ex 5^72 X ^ & voilà la dümonftration
du théorème que nous avons donné d’après
M. Huyghens au mot Central ; car on aura
q>:p : : 2 h: ^ . On peut voir les conféquences de
ce théorème au même mot Central.
On lit dans certains ouvrages que la force centrifuge
efl égale au quarré de la vîteffe divifé par le
rayon, & dans d’autres qu’elle eft égale au quarré,
de la vîteffe divifé par le diamètre : cette différence
d’expreflions ne doit point furprendre ; car le mot
égale ne lignifie ici que proportionnelle, comme on
l’a expliqué dans l'article Equation ; cela lignifie
donc feulement que les forces centrifuges dans
deux cercles différens font comme les quarrés des
vîteffes divifés par les rayons, ou ce qui eft la même
chofe, par les diamètres. Foyei le mot Equation
à la fin.
Au relie la raifon de cette différence apparente de
valeur que les auteurs de Méchanique ont donnée
à la force centrifuge , vient de ce qu’ayant pris la ligne
D E pour repréfenter la force centrifuge, le tems
d t étant confiant, les uns ont confidéré D E dans
la courbe polygone, les autres dans la courbe rigoureufe.
Dans le premier cas D E — A E 1 divifé
par le rayon ; & dans le fécond D E z= A E* divifé
par le diamètre. Or A E eft ici comme la vîteffe,
puifqu’on fuppofe d t confiant ; donc au lieu de
A E 1, on peut mettre la quarré de la vîteffe. D on c,
&c. Ces différentes obfervations contribueront beaucoup
à éclaircir ce que les différens auteurs ont écrit
fur les forces centrales & centrifuges.
Puifque 2 p h — u u , & que eft le rayon du
icercle, il s’enfuit que fi on fait ce rayon = r , on
aura <p =: ~ , foit que « & r foient conftans, ou non ;
ç’eft-à-dire que l’équation <p = ~ } ou <p = aura
lieu dans toutes les courbes, a étant la vîteffe en
un point quelconque, & r le rayon de la dévelop-
pee. Remarquez que la force centrifuge p eft ici fup-
pofée dirigée par rapport au centre du cercle ofeu-
lateur, qui eft le point où le rayon ofculateur touche
la developpee.Si on veut que la force, centrifuge ou
centrale , foit dirigée vers un autre point quelconque,
foit F cette ^nouvelle force, foit k le cofinus de
1 angle que le rayon mené à ce point fait avec le
rayon ofculateur ; alors regardant la force <p comme
compofée de la force F , & d’une autre force dirigée
fuivant la courbe, on trouvera facilement par le
principe de la décompofition desforces, F : <p : : i - . k ,
en prenant 1 pour le finus total ; donc F = donc
P = ^tx • c’e^ k formule générale des forces centrales
& centrifuges dans une courbe quelconque.
Qu’on nous permette à ce fujet une réflexion
philofophique fur les progrès de l’efprit humain.
Huyghens a découvert la loi des forces centrales
dans le cercle; le même géomètre a découvert la
théorie des développées. L’on vient de voir qu’en
réunifiant ces deux théories, on en tiroit par un corollaire
très-facile la foi des forces centrales dans une
courbe quelconque : cependant Huyghens n’a pas
fait ce dernier pas qui paroît aujourd'hui fi fimple ;
& cela eft d’autant plus étonnant, que les deux pas
qu’il avoit faits étoient beaucoup plus difficiles. Newton,
en généralifant la théorie de Huyghens, a trouvé
le théorème général des forces centrales qui l’a
conduit au vrai fyftèmé du monde; comme il a
trouvé le calcul différentiel, en ne faifant que gé-
néralifer la méthode de Barrow pour les tangentes ;
méthode qui étoit, pour ainfi dire, ihfiniment proche
du calcul différentiel. C ’eft ainfi que les corollaires
les plus fimples des vérités connues, qui ne
confiftent qu’à rapprocher ces vérités, échappent
fouvent à ceux qui fembleroient avoir le plus de facilité
ôc de droit de les déduire ; & rien n’eft plus
propre que l’exemple dont on vient de faire mention
, pour confirmer les réflexions que nous avons
faites fur ce point au mot D écouverte.
Dans la formule que nous avons donnée ci-deffus
pour les forces centrales, nous faifons abftraétion de
la maffe du corps ; & fi on veut faire attention à
cette maffe, il eft évident qu’il faudra multiplier
l’expreffionde la force centrale par la maffe du corps;
ou ce qui peut-être eft encore plus fimple, au lieu
de regarder p comme la pefanteur, on regardera
cette quantité comme le poids du corps, qui n’eft autre
chofe que le produit de la pefanteur ou gravité
par la mafïe. Nous faifons cette remarque, afin qu’on
ne foit point embarraffé à la leéture de l'article Central,
par la confidération de la maffe que nous
avons fait entrer dans le calcul des forces dont il s’a- 19 I Ajoutons que fi on veut une autreexpreffiondela
force centrifuge4 , que celle que nous avons donnée,
on peut fe fervir de celles-ci qui feront commodes
en plufieurs cas.
On a trouvé <p = > or comme, le cercle
eft fuppofé décrit uniformément, on peut, au lieu
de , mettre un arc quelconque fini ^ divifé par
le tems t employé à le parcourir; donc on aura <p =
p . A1 .8»
a.ÂBTtï*
Si on fait t = 0, ce qui eft permis, on aura 9 =
| |p P j De plus, fi on nomme l la longueur d’un pendule
qui fait une vibration dans le tems fl, & 2 tt le
rapport de la circonférence au rayon, on aura ît2 /
=ï i a.-Foy<{ Pe n d u l e & Vibration. Donc 9