convénieht de repréfenter par une image phÿfique
grôffiere & imparfaite une hypothèfe abftraite &
mathématique.
Géométrie tranfcendante ou des courbes. Cette Géométrie
fuppofe le calcul algébrique, Voye^ A l g è b r e
& Ma t h é m a t iq u e s . On doit la commencer par
la folution des problèmes du fécond degré au moyen
de la ligne droite & du cercle ; 8c cette théorie peut
produire beaucoup de remarques importantes 8c eu-
rieufes fur les racines pofitives & négatives, fur la
pofition des lignes qui les expriment, fur les differentes
folutions dont un problème eft fufceptible.
Voyeç au mot E q u a t io n la plupart de ces remarques
, qui ne fe trouvent pas dans les traités de Géométrie
ordinaires; voye^ auffi R a c in e . On paffera
de-là aux ferions coniques; la meilleure maniéré &
la plus courte de les traiter dans un ouvrage de Géométrie
(qui ne fe borne pas à cette feule matière),
e ft , ce me femble, d’employer la méthode analytique
que nous avons indiquée à la fin de Yarticle C o n
iq u e , de les regarder comme des courbes du premier
genre ou lignes du fécond ordre, & de les di-
vifer en efpeces, fuivant ce qui en a été dit à l’article
cité & au mot C o u r b e . Quand on aura trouvé
l’èquation la plus fimple de la parabole, celle de
Feliipfe, 8c celle de l’hyperbole, on fera voir en-
fuite très - aifément que ces courbes s’engendrent
dans le cône, & de quelle maniéré elles s’y engendrent.
Cette formation des feftions coniques dans le
cône feroit peut-être la maniéré dont on devroit les
envifager d’abord, fi on fe bornoit à faire un traité
de ces courbes ; mais elles doivent entrer dans un
cours de Géométrie fous un point de vue plus général.
On terminera le traité des ferions coniques par la
folution des problèmes du troifieme & du quatrième
degré, au moyen de ces courbes ; fur quoi voye^
C o n s t r u c t io n & E q u a t io n .
La théorie des ferions coniques doit être précédée
d’un traité, qui contiendra les principes généraux
de l’application de l’Algebre aux lignes courbes.
Foye^ C o u r b e . Ces principes généraux confif-
teront, i°. à expliquer comment on repréfente par
une équation le rapport des abfciffes aux ordonnées ;
a.0. comment la résolution de cette équation fait con-
noître le cours de la courbe, fes différentes branches
8c fes afymptotes ; 30. à donner la maniéré de trouver
par le calcul différentiel les tangentes 8c les
points de maximum & de minimum ; 40. à enfeigner
comment on trouve l’aire des courbes par le calcul
intégral : par conféquent ce traité contiendra les réglés
du calcul différentiel & intégral, au-moins celles
qui peuvent être utiles pour abréger un traité des
ferions coniques. Quelques géomètres fe récrieront
peut-être ici fur l’emploi que nous voulons faire de
ces calculs dans une matière où l’on peut s’en paf-
fer ; mais nous les renvoyerons à ce que nous avons
dit fur ce lu jet au mot El l ip s e ,pag. 5 \y & 618. du
tome V. Nous y avons fait voir par des exemples
combien ces calculs font commodes pour abréger
les démonftrations 8c les folutions, & pour réduire
à quelques lignes ce qui autrement occuperoit des
volumes. Nous avons d’ailleurs donné au mot D if f
é r e n t ie l la métaphyfique très-fimple 8c très-lu-
mineufe des nouveaux calculs ; 8c quand on aura
bien expliqué cette métaphyfique, ainfi que celle
<le l’infini géométrique (voyeç In f in i ) , on pourra
fe fervir des termes d’infiniment petit & d’infini, pour
abréger les expreflions & les démonftrations.
En traitant de l’application de l’Algebre aux courbes
, on ne les repréfente guere que par l’équation
entre les coordonnées parallèles; mais il eft encore
d’autres formes , quoique moins ufitées, à donner à
leur équation. On peut la fuppofer, par exemple,
entre les rayon? de la courbe qui partent d’un, cent
re , & lesàbfciffes ou les ordonnées correfpondàfli
tes ; comme auffi entre ces rayons, & la tangenteÿ
le finus Ou la fécante de l’angle qu’ils forment avec
les abfciffes ou les ordonnées; on en voit des exemples
au mot Ellipse. Toutes ces équations dans les
courbes géométriques font finies 8c algébriques $
mais il en eft quelquefois, qui fe préfentent ou qui
peuvent fe préfenter fous une forme différentielle 5
ce font celles , par exemple, dans lefquelles un des
membres eft la différentielle de l’angle formé par le
rayon 8c l’abfciffe* & l’autre eft une différentielle de
quelque fonûion de l’abfciffe ou du rayon, réductible
à un arc de cercle. Par exemple, fi j’avois cette
équation d ^ = étant l’angle entre le
rayon 8c l’abfciffe, x le rayon, 8c a la valeur du
rayon quand 1 = o , il eft évident que la courbe
- dx .
eft géométrique. Car — : eft la différentielle
d’un angle dont le cofinus eft a:, & le rayon a (yoyt£
Cosinus ) ; donc - = cofinus o r , fi on nomme
u 8c y les abfciffes 8c ordonnées rectangles , ôrt
aura u u - j - y y = x x ; x c= V u u - \ -y y ; 8c cofin. £
= ............. • C’eft pourquoi l’équation différentielle
^ u u + y y
d { = —— —— , qui paroît ne pouvoir être intégrée
que par des arcs de cercle, donnera l’équation
en coordonnées reCtangles K « « + y y = . -~4 Vuu+yy*
qui eft l ’équation d’un cercle dont les coordonnées
ont leur origine à la circonférence. Il en eft dé même
de plufieurs autres cas femblables.
Ces fortes d’équations méritent qu’on en faffe une
mention expreffe dans la Géométrie tranfcendante,
d ’autant qu’elles font très-utiles dans la théorie des
trajectoires ou courbes décrites par des projeCtiles,
voye[ Trajectoire , 8c par conféquent dans la
théorie des orbites des planètes, voye{ Ellipse ,
Kepler (loi de), Planete , & Orbite. Voye^ auffi.
dans les mém, de Vacad. des Sciences pour l'année ryi o.
un mémoire de M. Bernoulli fur ce dernier fujet.
Les feôions coniques achevées, on paffera aux
courbes d’un genre fupérieur ; on donnera d’abord,
la théorie des points multiples, des points d’inflexion
, des points de rebrouffement 8c de ferpente-
ment. Voye^ Point multiple, Inflexion, Rebroussement,
Serpentement, &c. Ces théories
font fondées en partie fur le calcul algébrique fimple
, en partie 8c prefque en entier fur le calcul différentiel;
ce n’eft pas que ce dernier calcul y foit
abfolument néeeffaire ; mais, quoi qu’on en puiffe
dire, il abrégé & facilite extrêmement toute cette
théorie. On n’oubliera pas la théorie fi belle 8c fi
fimple des développées & des cauftiques. Voye^ D éveloppée
,C austique, Osculateur, &c. Nous
ne pouvons & nous ne faifons qu’indiquer ici ces dif-
férens objets, dont plufieurs ont déjà été traités dans
l’Encyclopédie, & les autres le feront à leurs articles
particuliers. Voye^Tangente, Ma x im um ,
8cc. On entrera enfuite dans le détail des courbes
des différens ordres, dont on donnera les claffes, les
efpeces, & les propriétés principales. Voyeç Courbe.
A l’égard de la quadrature 8c de la reftification de
ces fortes de courbes, 8c même de la rectification
des fe&ions coniques, on la remettra à la Géométrie
fublime.
Au refte, en traitant les courbes géométriques ,
on pourra s’étendre un peu plus particulièrement;
fur les plus connues, comme \e folium de Defcartes,
la conchoide, la cifjoide , 8cc. ycycç ces mots.
Les courbes méchaniques fuivront les géottiétri- j
ques. On traitera d’abord des courbes exponentielles
, qui font 'comme une efpece moyenne entre les
courbes géométriques 8c les méchaniques. Voye1
Exponentiel. Enfuite, après avoir donné les principes
généraux de la conftruéfion des courbes méchaniques,
au moyen de leur équation différentielle
& de la quadrature des courbes (voyeç Construc-
tion) , on entrera dans le détail des principales &
& des plus connues, de la fpirale, de la quadratrice,
de la cycloïde, de la trochoïde, & c . Voye£ ces mots.
Telles font à-peu-près les matières que doit contenir
un traité de Géométrie tranfcendante ; nous ne
faifons que les indiquer, & que marquer, pour ainfi
dire, les maffes principales. Un géomètre intelligent
faura trouver de lui-même, 8c à l’aide des différens
articles de ce Dictionnaire, les parties qui doivent
compofer chacune de ces maffes.
Géométrie fublime. Après le plan que nous avons
tracé pour la Géométrie tranfcendante, on voit que
le calcul différentiel & fes ufages y font prefqu’épui-
fés ; il ne refte plus à la Géométrie fublime que le calcul
intégral, 8c fon application à la quadrature 8c à
la rectification des courbes. Ce calcul fera donc la
matière principale & prefque unique de la Géométrie
fublime. Sur la maniéré dont on doit le traiter, voyeç
Intégral.
Nous terminerons cet article par quelques réfie- :
xions générales. On a vu au mot Application des I
obfervations fur l’ufage de l’analyfe 8c de la fyn-
thèfe en Géométrie. On nous a fait fur cet article quelques
queftions qui donneront lieu aux remarques
niivantes.
i° . Le calcul algébrique ne doit point être appliqué
au,x propofitions de la géométrie élémentaire,
par la raifon qu’il ne faut employer ce calcul que
pour faciliter les démonftrations, & qu’il ne paroît
pas y avoir dans la géométrie élémentaire aucune
démonftration qui puiffe réellement être facilitée par
ce calcul. Nous exceptons néanmoins de cette réglé
la folution des problèmes du fécond degré par le
moyen de la ligne droite & du cercle (fuppofé qu’on
veuille regarder ces problèmes comme appartenant
à la géométrie élémentaire, 8c non comme le paffage
de la géométrie élémentaire à la tranfcendante) ; car
le calcul algébrique fimplifie extrêmement la folution
des queftions de ce genre, 8c il abrégé même
les démonftrations. Pour s’en convaincre, il fuffira
de jetter les yeux fur quelques-uns des problèmes du
fécond degré qui font réfolus dans l’application de
VAlgèbre à la Géométrie de M. Guifnée. Après avoir
mis un problème en équation, l’auteur tire de cette
équation la conftruftion néeeffaire pour fatisfaire à
l’équation trouvée; 8c enfuite il démontre fynthéti-
quement 8c à la maniéré des anciens, que la conftru-
ftion qu’il a employée réfout en effet le problème.
Or la plupart de ces démonftrations fynthétiques
font affez compliquées 8c fort inutiles, fi ce n’eft'
pour exercer l’efprit ; car il fuffit de faire voir que
la conftruûion fatisfait à la folution de l’équation finale
, pour prouver qu’ elle donne la folution du problème.
z°. Nous croyons qu’il eft ridicule de démontrer
par la fynthèfe ce qui peut être traité plus fim-
plement 8c plus facilement par l’analyfe, comme
les propriétés des courbes, leurs tangentes, leurs
points d’inflexion, leurs afymptotes, leurs branches
leur re&ification, 8c leur quadrature. Les propriétés
de la fpirale que les plus grands mathématiciens
ont eu tant de peine à fuivre dans Archimede,
peuvent aujourd’hui fe démontrer d’un trait de plume.
N’y a-t-il donc pas en Géométrie affez 4e chofes
à apprendre, affez de difficultés à vaincre, affez de
découvertes à faire, pour ne pas ufer toutes les forces
de fon efprit fur les connoiffances qu’on peut y
acquérir à moins de frais ? D ’ailleurs combien de recherches
géométriques auxquelles la feule analyfe
peut atteindre? Les Anglois, grands partifans de la
fynthèfe, fur la foi de Newton qui la loiioit, 8c qui
s’en fervoit pour cacher fa route , en employant
l’analyfe pour fe conduire lui-même ; les Anglois,
dis-je, femblent par cette raifon n’avoir pas fait en
Géométrie , depuis ce grand homme, tous les progrès
qu’on auroit pu attendre d’eux. C’eft à d’autres
nations, aux François 8c aux Allemands, & fur-tout
aux premiers, qu’on eft redevable des nouvelles recherches
fur le fÿftème du monde, fur la figure de la
terre, fur la théorie de la lune, fur la préceffron des
équinoxes, qui ont prodigieufement etendu l’Aftro-
nomie-phyfique. Qu’on effaye d’employer la fynthèfe
à ces recherches, on fentira combien elle en
eft incapable. Ce n’eft qu’à des géomètres médiocres
qu’il appartient de rabaiffer l’analyfe, comme il
n’appartient de décrier un art qu’à ceux qui l’ignorent.
On trouve une efpece de confolation à taxer
d’inutilité ce qu’on ne fait pas. Nous avons, il eft
v rai, expofé ailleurs quelques inconvéniensde l’Algèbre.
Voyei le mot EQUATION , page 8S0. tome y .
Si la fynthèfe peut lever ces inconvéniens dans les
cas où ils ont lieu, nous conviendrons qu’on devroit
préférer la fynthèfe à l’analyfe, du-moins en ces cas-
là ; mais nous doutons, pour ne rien dire de plus,
que la fynthèfe ait cet avantage ; Sc ceux qui pen-
feroient autrement, nous obiigeroient de nous def-
abufer.
3°. Il y a cette différence en Mathématique entre
l’Algebre & l’Analyfe, que l’Algèbre eft la fcience
du calcul des grandeurs en général, 8c que l’Ana-
lyfe eft le moyen d’employer l’Algebre à la folution
des problèmes. Je parle ici de l'analyfe mathématique;
l’emploi qu’elle fait de l’Algebre pour trouver
les inconnues au moyen des connues, eft ce qui la
diftingue de Y analyfe logique, qui n’eft autre chofe
en général que l’art de découvrir ce qu’on ne con-
noît pas par le moyen de ce qu’on connoît. Les anciens
géomètres avoient fans doute dans leurs recherches
une efpece d’analyfe ; mais ce n’étoit proprement
que l’analyfe logique. Tout algébrifte s’en
fert pour commencer le calcul; mais enfuite le fe-
cours de l’Algebre facilite extrêmement l’ufage 8c
l’application de cette analyfe à la folution des problèmes.
Ainfi, quand nous avons dit au mot Analyse
, que l’analyfe mathématique enfeigne à réfoudre
les problèmes, en les réduifant à des équations,
nous croyons avoir donné une définition très-jufte».
Ces derniers mots font le cara&ere effentiel qui distingue
l’analyfe mathématique de toute autre ; 8c
nous n’avons fait d’ailleurs que nous conformer en
cela au langage univerfellement reçu aujourd’hui
par tous les géomètres algébriftes.
40. On peut appeller l’Algebre géométrie fymboli*
que, à caule des fymboles dont l’Algebre fe fert dans
la folution des problèmes ; cependant le nom de géométrie
métaphyfique qu’on a donnée à l’AIgebre (yoye^
Algèbre) , paroît lui être du-moins auffi convenable
; parce que le propre de la Métaphyfique eft de
généralifer les idées, 8c que non-feulement Y Algèbre
exprime les objets de la Géométrie par des caractères
généraux, mais qu’elle peut faciliter l’application
de la Géométrie à d’autres objets. En effet on
peut, par exemple, enMéchanique, repréfenter le
rapport des parties du tems par le rapport des parties
d’une ligne, & le mouvement d’un corps par l’équation
d’une courbe, dont les abfciffes repréfen-
tent lés tems, 8c les ordonnées les vîteffes correspondantes,
La Géométrie, fur-tout lorfqu’elle eft ai