E n f in f i l e n u m é r a t e u r e f t p lu s p e t i t q u e l e d é n o m
i n a t e u r ; c ’ e f t u n e fraction pure f u r l a q u e l l e l a d i -
- v i f i o n n ’ a p o in t d e p n f e , & q u i e f t e l l e -m e m e f o n
q u o t i e n t . y .
i i = 4 e f t u n e fraction- d e l a p r e m i è r e e f p e c e ; f
c = 1 + y u n e d e l a f é c o n d é ; y = y u n e d e l a t r o i f i e m e .
IV. T o u t e fraction, c o m m e c e l l e - c i f , p e u t s e -
n o n c e r d e d e u x m a n i è r e s , o u 2 divifépar 3 ( c ’ e f t - à -
d i r e le tiers de deux) o u deux tiers. L a p r e m i è r e m a n
i é r é e f t r e l a t i v e a u x d é f in i t i o n s c i - d e f f u s . S u i v a n t
l a f é c o n d é . , o n c o n ç o i t l ’ u n i t é d i v i f é e e n p a r t i e s
d o n t l e d é n o m i n a t e u r in d iq u e l 'efpece & l e n u m é r a t
e u r l e nombre q u ’ i l e n f a u t p r e n d r e . M a i s c e t t e d i -
v e r f i t é d a n s l a m a n ié r é , d ’ é n o n c e r n ’ in f lu e e n r i e n
f u r l e f o n d ; f o i t q u ’ o n d i v i f e 2 t o i f e s o u 1 2 p i e s p a r
^ , c ’ e f l - à - d i r e q u ’ o n e n p r e n n e l e t i e r s , f o i t q u ’ o n
p r e n n e l e s d e u x t i e r s d ’ u n e t o i f e o u d e 6 p i é s * l e r é s
u l t a t e f t é g a l e m e n t 4 p i é s .
V . P o u r p r o c é d e r a v e c q u e l q u e o r d r e d a n s u n e
m a t i è r e d ’ u n d é t a i l a f f e z é p i n e u x , n o u s t r a i t e r o n s
d ’ a b o r d d e s fractions p r i f e s f i n g u l i e r e m e n t , p u i s n o u s
c o m p a r e r o n s d i v e r f e s fractions e n f e m b l e , e n f in n o u s
e n d o n n e r o n s l e c a l c u l .
V I . Des fractions prifes fingulierement. L a v a l e u r
a b f o l u e d ’u n e fraction e f t d ’ a u t a n t p lu s g r a n d e , q u e
S o n n u m é r a t e u r e f t p lu s g r a n d & f o n d é n o m i n a t e u r
p l u s p e t i t ; & a u c o n t r a i r e .
P o u r e n f e n t i r l a r a i f o n , i l f u f î ï t d e f e r a p p e l l e r
q u e l e n u m é r a t e u r e f t l e d i v i d e n d e , l e d é n o m i n a t e u r
l e d i v i f e u r , & l a v a l e u r d e l a fraction l e q u o t i e n t .
Foyei D ivision.
V I I . P o u r d o u b l e r , t r i p l e r , &c. l a v a l e u r d ’u n e
fraction, c ’ e f t d o n c l a m ê m e c h o f e d e m u l t ip l i e r f o n
n u m é r a t e u r , o u d e d i v i f e r f o n d é n o m i n a t e u r p a r 2 ,
3 , &c.. . c o m m e p o u r e n p r e n d r e l a m o i t i é , l e t i e r s ,
&c. c ’ e f t l a m ê m e c h o f e d e d i v i f e r f o n n u m é r a t e u r
o u d e m u l t i p l i e r f o n d é n o m i n a t e u r p a r 2 , 3 , &c.
V I I I . D o n c l a v a l e u r d ’u n e fraction n ’ e f t p o in t
c h a n g é e , f o i t q u ’o n m u l t i p l i e , f o i t q u ’ o n d i v i f e fes
deux termes p a r l a m ê m e g r a n d e u r n ; c a r l ’ e f f e t d e
l ’ o p é r a t i o n f a i t e f u r l e n u m é r a t e u r f e r a d é t r u i t p a r
l ’ o p é r a t i o n f u b l ê q u e n t e f u r l e d é n o m i n a t e u r . C ’e f t
e n e f f e t m u l t ip l i e r o u d i v i f e r l a fraction p a r y := = 1 ;
o r 1 n e c h a n g e p o i n t l e s g r a n d e u r s , f o i t q u ’ i l d i v i f e ,
f o i t q u ’ i l m u l t ip l i e .
I X . C e l a m ê m e f o u r n i t l e m o y e n d e r é d u i r e u n
e n t i e r a en fraction d ’ u n d é n o m i n a t e u r q u e l c o n q u e n ,
f a n s a l t é r e r f a v a l e u r ; i l n ’ y a q u ’ à l e m u l t ip l i e r &
l e d i v i f e r p a r n.
S i l ’ o n f a i t n = 1 , o n a u r a a x { = j & c ’ e f t l a
m a n i é r é la p lu s f im p l e d e r é d u i r e u n e n t i e r en fraction,
l o r f q u ’o n n ’ a p a s d ’a i l l e u r s i n t é r ê t d e l u i d o n n
e r u n d é n o m i n a t e u r d é t e rm i n é .
X . O n d i t q u ’ u n e fraction e f t réduite à fes plus Jimples
termes, q u a n d l e s d e u x t e rm e s q u i l ’ e x p r im e n t f o n t
p r e m i e r s e n t r ’ e u x . Voy. Premier & Nombre prem
ier . S ’ il s n e l e f o n t p a s , o n l e s r é d u i t à l ’ ê t r e , e n
l e s d i v i f a n t p a r l e u r p lu s g r a n d d i v i f e u r c o m m u n .
A in f i Ÿ f f e r é d u i t à y , e n d i v i f a n t l e n u m é r a t e u r &
•le d é n o m i n a t e u r p a r l e u r p lu s g r a n d c o m m u n d i v i f
e u r 6 . Foye{ Diviseur.
I l e f t c l a i r ( « ° . V I I I . ) q u e p a r c e t t e o p é r a t i o n l a
v a l e u r d e l a fraction n ’ e f t p o in t c h a n g é e .
X I . P o u r t r o u v e r l a v a l e u r d ’ u n e fraction r e l a t i v
e m e n t à u n e n t i e r d ’u n e e f p e c e d é t e r m i n é e , v o i c i
l a m é t h o d e . O n f u p p o f e l a fraction p u r e ; p a r c e q u e ,
f i o r i g i n a i r e m e n t . e l l e é t o i t m i x t e , o n a d u p r é a l a b
l em e n t e n t i r e r l ’ e n t i e r p a r l a v o i e o r d in a i r e .
L e d é n o m i n a t e u r d e l a fraction r e l i a n t l e d i v i f e u r
c o n f i a n t , p r e n e z f u c c e f f i v e m e n t p o u r d i v i d e n d e , i ° .
l e n u m é r a t e u r r é d u i t e n a l i c ju o t e s premières d e l ’ e n t
i e r (voye{ Aliquote) ; 2 0. l e r e f t e , s ’ i l y e n a , r é d
u i t e n a l i q u o t e s f é c o n d é s d e l ’ e n t i e r ; 3 0 . l e f é c o n d
refte réduit, &c. jufqu’à ce que la divifion foit exacte,
ou que vous foyez parvenu à l’aliquote derniere.
Ces divers quotiens feront, dans l’ordre qu’ils ont
été trouvés, des aliquotes premières, fécondés,
troifiemes, &c. de l’entier. Si le dernier quotient
laiffe un refte, vous l’écrirez en fraction à l’ordinaire.
Ainfi cette fraction y., s’il s’agit d’étendue, & que
l’entier foit une /oi/è, eft 3 piés7 pouces 2 y lignes ;
car —p = 3 , & il refte 3 : —~ — 7 , & il refte 1 :
f 2 r*
La même fraction y , s’il s’agit de monnoie, & que
l’entier foit une livre, eft 12 f.
Cete même fraction f , s’il s’agit de tems, & que
l’entier foit une heure , eft 3 6'.
XII. De la comparaifon des fractions. Le but qu’on
fe propofe, en comparant enfemble diverfes fractions
y eft de découvrir le rapport qu’elles ont entr’elles.
Ce rapport eft fenfible, dès que les fractions
ont le même dénominateur ; car - . - : : a . b, puisque
le produit des extrêmes eft égal au produit des
moyens { V . Proportion) , c’eft-à-dire qu’alors les
fractions l’ont entr’elles comme leurs numérateurs.
Il ne s’agit donc que de donner aux fractions pro-
pofées un dénominateur commun, lorfqu’elles ne
l’ont pas. Or pour cela, quel que puiffe être le nombre
des fractions , voici une réglé fimple Sc unique.
Multipliez les deux termes de chaque fraction par
le produit continu des dénominateurs des zxxtresfraclions
; il eft clair (nQ. VIII. ) que par cette opération
la valeur de chaque fraction primitive n’eft
point changée ; & il n’eft pas moins évident qu’il en
réfulte pour toutes les fractions réduites le même dénominateur
, puifqu’il eft pour chacune le produit
des mêmes fadeurs.
Premières fJr actions b d g '
Secondes frottions.... * £ 7 3 , on
plus Amplement * ^b- ,
(+ ) Si les dénominateurs des fractions ont un divifeur
commun, on peut fimplifier l’opération en
cette forte : Soit — & c- ( qu’il faut réduire à même
dénomination, les dénominateurs g e & g k ayant
pour divifeur commun g , je multiplie le haut & le
bas de la première par k feulement, & le haut & le
bas de la fécondé par e feulement, & j’ai — ,[ & Lff
(-f-) Ainfi, fi j’avois -y- & yy à réduire à même dénomination
, je prendrois d’abord le plus grand commun
divifeur 8 de 16 & de 24 (v o y e çDiviseur) ;
enfuite j’écrirois yg = g-y- , & -yy = g-j— j enfuite
je multiplierois le haut & le bas de la première fraction
par 3 , & le haut & le bas de la fécondé par 2 ,
& j’aurois f|| I = f * , & yy = g -;y r = y f ;
& ainfi des autres.
Du calcul des fractions. Ce qui a été dit («°. IX.)
nous met en droit de fuppofer que les quantités fur
lefquelles il fera queftion d’opérer, ne contiennent
que des fractions.
XIII. Addition. Les fractions propofées étant préalablement
réduites à la même dénomination, faites
la fomme des numérateurs, & écrivez au-deffous le
dénominateur commun.
, ^ | ^ 3 __ 12+ 16+18 _ £1_21
XIV. Souftraction. Après avoir réduit féparémetit
les deux quantités propofées en une feule fratlion,
donnez aux deux fractions réfultantos un dénominateur
teur commun, & écrivez-le fous la différence des
numérateurs.
, a _ j , ..7,._ I8O-I4O_ 46 _ . 3
4 T J J T "*o 6 no 1 ?° ” 60 *
(+ ) On voit par cette opération que lorsqu’il s’agit
d’additionner & de fouftraire des fractions, on
peut les réduire à la même dénomination par la première,
règle générale, fans s’embarraffer fi les dénominateurs
ont un commun divifeur, ou non; il fuf-
fira de réduire à la plus fimple expreffion la fraction
unique qui fera le réfultat de la derniere opération.
En effet qu’on ait, par exemple, à ajouter ^ , avec
î-/, on peut écrire indifféremment ah^s+e{-- , apres
avoir réduit au même dénominateur par la fécondé
réglé, ou en réduifant au- même dénominateur par
la première réglé —si en ré^ui"
fant & divifant le haut & le bas par g.
X V . Multiplication & divifion. Nommant première
fraction celle qui repréfente le multiplicande ou le
dividende, & fécondé fraction celle qui repréfente
le multiplicateur ou le divifeur, multipliez termé-à-
terme la première fraction par la fécondé, direéle s’il
s’agit de multiplication, & renverfée s’il s’agit de
divifion.
Le produit de £ X ^ eft
Le quotient de j divifé par j eft \ X - = p-0.
Pour le démontrer, foit j = p , d’où a — bp; &C
j — q, d’où c = d q . . . Il faut faire voir que ^
que ^ = £ ® |
O r , que dans le premier membre de ces deux dernières
égalités, au lieu de a & de c, on fubftitue
leurs valeurs bp &c d q, on a u r a .............. - • • •
d’une part F f i i 1-
. „ CkdP _ P y Lf — L
de 1 autre -\bdq — ? * 6 d ~~ q‘
XVI. S i, pour la divifion on a préféré le renver-
fement de la fraction qui repréfente le divifeur à la
pratique ufitée de multiplier en croix, qui au fond
eft la même chofe ; c’eft que la réglé préfentée fous
ce point de vûe rend plus fenfiblement raifon d’une
efpece de paradoxe qui a coutume de frapper les
commençans. Il arrive fouvent dans la multiplication
des fractions que le produit eft plus petit que le
multiplicande, & au contraire dans leur divifion,
que le quotient eft plus grand que le dividende ; &
cela ne peut manquer d’arriver toutes les fois que
\z fraction qui repréfente le multiplicateur ou le divifeur
eft plus petite que l’unité ; car alors fon numérateur
eft plus petit que fon dénominateur. Quand
donc la fraction refte direéle dans la multiplication,
c’eft le plus petit terme qui multiplie la première
fraction, tandis que le plus grand la divife : cette première
fraction doit donc être plus diminuée qu’augmentée
, & devenir plus petite. Quand au contraire
la fraction fe renverfe dans la divifion} c’eft le plus
grand terme qui multiplie la première fraction, tandis
que le plus petit la divife ; elle gagne donc plus
qu’elle ne perd, & doit devenir plus grande.
XVII. Soit a- à divifer par b- , le quotient fera
x J = f X 7 = J. Ce qui fait voir que quand le dividende
& le divifeur ont un dénominateur commun
, on peut négliger celui - c i , & prendre pour
quotient des deux fractions celui même de leurs numérateurs.
(-)-) On p e u t v o i r au mot D iv i s io n d e s rem a r-
Tonie V II.
ques fur là divifion des frailions les unes par les autres,
ou des entiers par des fractions ; on y a explique
très-clairement & à priori pourquoi un nombre
quelconque divifé par une fraction, donne un quotient
plus grand que lui. On a vu auffi au mot E x p o s
a n t , comment la fraction fe change en â~ n.
( + ) On a prouvé au mot D iv i s e u r Cvoyei ce
mot, & C addition qu’on y a faite dans l ’errata du cinquième
Volume ) , que fi deux nombres a , b, n’ont
aucun divifeur commun, & que deux autres nombres
c, d, n’ayent aucun divifeur commun entr’eux,
ni avec les deux premiers ; alors dans le produit ^ ,
a c & b d n’auront aucun divifeur commun. De-là
il s’enfuit que fi j eft une fraction réduite à fes
moindres termes j j-| , j f & en général fera
auffi une fraction réduite à fes moindres termes.
Donc une fraction, foit pure, foit mixte, élevée à
une puiffance quelconque, donne toûjours une fraction
; donc un nombre entier qui n’a point pour racine
quarrée, cubique, &c. un nombre entier, ne
fauroit avoir une fraction (même mixte) pour racine
; donc la racine d’un tel nombre eft incommen-
furable. Voye[ INCOMMENSURABLE.
XVIII. C ’eft à la multiplication qu’on doit rappeller
la réduftion des fractions de fraction, & non à
la divifion, comme au Ier coup-d’oeil on pourroit
être tenté de le croire. Prendre en effet les y de y ,
n’eft-ce pas, ce me femble, divifer £ par f-? Non',
c’eft au contraire le multiplier, & l’on va en convenir.
Si l’on n’avoit à prendre que le tiers de y , il
faudroit ( n°. V il.) multiplier le dénominateur par
3 pour avoir y y ; mais c’eft les deux tiers-çpCïl s’agit
de prendre. Il faut donc doubler ce qu’on a trouvé,
c’ eft-à-dire {ibidem.) multiplier le numérateur par 2.
La fécondé fraction f refte donc directe dans l’opéra*-
tion, ce qui ([n°. X V .) détermine celle-ci à être une
multiplication. Donc y de = y .X-y = fz — y.
Il fuit qu’ayant un nombre quelconque de fractions
de fraction, pourvû que ce qui étoit numérateur
refte numérateur, & que ce qui étoit dénominateur
refte dénominateur, on peut d’ailleurs tranf-
pofer entr’elles les fractions, & échanger leurs termes
comme on voudra, fans que la valeur de la
fuite en foit altérée, puifque les deux termes de la
fraction qui l’exprimera feront toûjours formés ref-
peftivement des mêmes fadeurs.
Les y de y de f )
Les \ de f de f > = = f .
Les f de y de y j
&c.
X IX . Elévation & extraction. Faites féparément
fur les deux termes de la fraction celle des deux
opérations qu’exige la circonftance, & elle fe trouvera
faite fur la fraction elle-même.
(-J-) X X . Fractions décimales. On a traité cette
matière aumot D é c im a l , auquel nous renvoyons.
Nous remarquerons feulement qu’au lieu du point
dont nous avons parlé dans cet article, & qui fert
à diftinguer les parties décimales des entiers, quelques
auteurs fe fervent d’une virgule ; ce qui revient
au même, & ce qui eft quelquefois plus commode
, lorfqu’il eft à craindre que le point ne foit
pris pour un ligne de multiplication. D’autres ont
employé une autre maniéré, mais moins commode :
par exemple, pour défigner 3 .020.6, c’eft-à-dire
quatre parties décimales, ou ce qui revient au me