eft du 3e degré, il divife ces courbes en genres 6c ef- ;
peces, & en fait l’énumération. V o y t { Courbe.
Mais ces écrits, quelque admirables qu’ils foient,
ne font rien, pour ainfi dire, en coraparaifon de 1 im- ;
mortel ouvrage du même auteur, intitulé, Philofo-
phia naturalis principia mathematïca , qu on peut re- ■
garder comme l’application la plus étendue , la plus
.admirable, & la plus heureufe qui ait jamais été faite
de la Géométrie à la Phyfique : ce livre eft aujourd’hui
trop connu pour que nous entrions dans un
plus grand détail ; il a été l’époque d’une révolution
dans la Phylique : il a fait de cette fcience une
fcience nouvelle , toute fondée fur l’obfervation,
l’expérience, & le calcul. VqyefNE'WTONiANiSME,
Gravitation, At tra ct ion , & c. Nous ne parlons
point de Voptique du même auteur, ouvrage non
moins digne d’éloges, mais qui n’appartient point à
cet article, ni de quelques autres écrits géométriques
moins considérables, mais tous de la première force,
tous brillans de fagacité 6c d’invention ; comme fon
analyjîs per aquationes numéro terminorum injïnitas;
fon analyjis per cequatlonum ferits , fuxïones & diffe-
rendus ; la méthode des jiuxions ; fa méthode différentielle
y 6cc. Quand on conlidere ces monumens immortels
du génie de leur auteur, 6c quand on longe
que ce grand homme avoit fait à vingt - quatre ans
les principales découvertes, on eft prefque tenté de
foulcrire à ce que dit Pope, que la làgacité de Newton
étonna les intelligences céleftes, 6c qu’ils le regardèrent
comme un être moyen entre l’homme &
elles : on eft du-moins bien fondé à s’écrier, homo
homini quid preejlat! qu’il y a de diftance entre un
homme & un autre !
L’édifice élevé par Newton à cette hauteur im-
menfe, n’étoit pourtant pas encore achevé ; le calcul
intégral a été depuis extrêmement augmente par
MM. Bernoulli, Cotes, Maclaurin, &c. 6c par les
mathématiciens qui font venus après eux. Vyyc^ Intégral.
On a fait des applications encore plus fub-
tiles, 6c fi on l’ofe dire, plus difficiles, plus heureufes
& plus exaâes de la Géométrie à la Phyfique. On a
beaucoup ajoûté à ce que Newton avoit commencé
fur le fyftème du monde : c’eft fur-tout quant à cette
partie qu’on a corrigé & perfe&ionné fon grand ouvrage
des Principes mathématiques. La plupart des
mathématiciens qui ont contribué à enrichir ainfi la
Géométrie par leurs découvertes, 6c à l’appliquer à
la Phyfique 6c à l’Aftronomie, étant aujourd’hui vi-
v an s, 6c nous-même ayant peut-être eu quelque part
à ces travaux, nous laifferons à la poftérité le foin
de rendre à chacun la juftice qu’il mérite : 6c nous
terminerons ici cette petite hiftoire de la Géométrie ;
ceux qui voudront s’en inftruire plus à fond,pourront
confulter les divers auteurs qui ont écrit fur cefujet.
Parmi ces auteurs il en eft qui ne font pas toujours
exaâs, entr’autres Wallis, que fa partialité en faveur
des Anglois,doit faire lire avec précaution, voy. A lgèbre.
Mais nous croyons qu’on trouvera tout ce
qu’on peut defirer fur ce fujet dans Vhijioire des Mathématiques
que prépare M. de Montucla, de l’académie
royale des Sciences & des Belles - Lettres de
Prufle, déjà connu par fon hifloire de la quadrature du
cercle, publiée en 1754, & que nous avons citée au
mot Duplication.
L’hiftoire abrégée que nous venons de donner eft
plus que fuffifante dans un ouvrage tel que le nôtre,
oii nous devons principalement nous attacher à faire
connoître les inventeurs, non les inventeurs en détail
à qui la Géométrie doit quelques propofitions particulières
6c il’olées, mais les efprits vraiment créateurs,
les inventeurs en grand qui ont ouvert des routes,
perfectionné l’inftrument des découvertes, 6c
imaginé des méthodes. Au refte en Unifiant cette hiftoire,
nous ne pouvons nous difpenfer de remarquer
à l’honneur de notre nation, que fi la Géométrie nouvelle
eft principalement dûe aux Anglois 6c aux Allemands
, c’eft aux François qu’on eu redevable des
deux grandes idées qui ont conduit à la trouver. On
doit à Defcartes l’application de l’Algèbre à la Géométrie,
fur laquelle le calcul différentiel eft fondé ; 6c
àFermat,la première application du calcul aux quantités
différentielles, pour trouver les tangentes : la
Géométrie nouvelle n’eft que cette derniere méthode
généralifée. Si on ajoute à cela ce que les François
actuellement vivans ont fait en Géométrie, on conviendra
peut-être que cette fcience ne doit pas moins
à notre nation qu’aux autres.
Objet de la Géométrie. Nous prierons d’ abord le lecteur
de fe rappeller ce que nous avons dit fur ce fujet
dans 1 eDifcoursprélimin. Nous commençons par con-
fidérer les corps avec toutes leurs propriétés fenfi-
bles; nous faifons enfuite peu-à-peu & parl’efprit la
féparation 6c l’abftraCtion de ces différentes propriétés
; 8c nous en venons à confidérer les corps comme
des portions d’étendue pénétrables,divifibles,ôc figurées.
Ainfi le corps géométrique n’eft proprement
qu’une portion d’étendue terminée en tout fens.
Nous confidérons d’abord 6c comme d’une vue générale,
cette portion d’étendue quant à fes trois dimen-
fions ; mais enfuite, pour en déterminer plus facilement
les propriétés, nous y confidérons d’abord une
feule dimenfion, c’eft-à-dire la longueur, puis deux
dimenfions, c’eft- à-dire la furface, enfin les trois di-
menfions enfemble, c’eft-à-dire la folidité : ainfi les
propriétés des lignes, celles des furfaces & celles des
folides font l’objet 6c la divifion naturelle de la Géométrie.
C ’eft par une fimple abftraCHon de l’efprit, qu’on
confidere les lignes comme fans largeur, & les furfaces
comme fans profondeur : la Géométrie envifage
donc les corps dans un état d’abftra&ion oii ils ne font
pas réellement ; les vérités qu’elle découvre 6c qu’elle
démontre fur les corps, font donc des vérités de
pure abftraâion , des vérités hypothétiques ; mais
ces vérités n’en font pas moins utiles. Dans la natu*-
r e , par exemple, il n’y a point de cercle parfait ;
mais plus un cercle approchera de l’être, plus il approchera
d’avoir exactement & rigoureufement les
propriétés du cercle parfait que la Géométrie démontre;
& il peut en approcher affez exactement pour
avoir toutes ces propriétés, finon en rigueur, au-
moins à un degré fuffifant pour notre ufage.
On connoît en Géométrie plufieurs courbes qui
s’approchent continuellement d’une ligne,droite fans
jamais la rencontrer,mais qui étant tracées fur le papier
, fe confondent fen/fiblement avec cette ligne
droite au bout d’un affez petit efpace, voye{ Asymp
to t e ; il en eft de même des vérités géométriques.
Elles font en quelque maniéré la limite, & , fi on peut
parler ainfi , Yajymptote des vérités phyfiques, le
terme dont celles-ci peuvent approcher auffi près
qu’on veut, fans jamais y arriver exactement. Mais fi
les théorèmes mathématiques n’ont pas exactement
lieu dans la nature, ces théorèmes fervent du-moins
à trouver avec une précifion fuffifante pour la pratique,
la diftance inaccefiîble d’un lieu à un autre, la
mefure d’une furface donnée, le toifé d’un folide ; à
calculer le mouvement & la diftance des aftres; à prédire
les phénomènes céleftes.Pour démontrer des vérités
en toute rigueur, lorfqu’^1 eft queftionde la figure
des corps, on eft obligé de confidérer ces corps dans
un état de perfection abftraite qu’ils n’ont pas rcelle-
lement : en effet, fi on ne s’affujettit pas, par exemple,
à regarder le cercle comme parfait, il faudra autant
de théorèmes différens fur le cercle, qu’on imaginera
de figures différentes plus ou moins approchantes
du cercle parfait ; 6c ces figures elles-mêmes
pourront être encore abfolument hypothétiques 6c
îi*àvOif point de modèle exiftant dans la nature. Lés
lignes qu’on confidere en Géométrie, ne font ni parfaitement
droites ni parfaitement courbes , les fur-
faces ne font ni parfaitement planes ni parfaitement
curvilignes: mais plus elles approcheront de l’être,
plus elles approcheront d’avoir les propriétés qu’on
démontre des lignes exactement droites ou courbes,
“'des furfaces exactement planes ou curvilignes. Ces
réflexions fuffiront, ce me femble , pour répondre à
deux efpeces de cenfeurs de la Géométrie : les uns,
ce font les Sceptiques, accufent les théorèmes mathématiques
de fauffeté, comme fuppofant ce qui n’exif-
te pas réellement, des lignes fans largeur, des furfaces
fans profondeur; les autres, ce font les phyfi-
ciens ignorans en Mathématique, regardent les vérités
de Géométrie comme fondées furdeshypothèfes
inutiles, 6c comme des jeux d’efprit qui n’ont point
■ d’applicatiom
Divifion de la Géométrie. On peut divifer la Géométrie
de différentes maniérés :
i°. En élémentaire 6c en tranfeendante. La Géométrie
élémentaire ne confidere que les propriétés des
lignes droites, des lignes circulaires, des figures &
des folides les plus fimples, c’eft-à-dire des figures
reCtilignes ou c i r c u la ir e s d e s folides terminés par
ces figures. Le cercle eft la feule figure curviligne
dont on parle dans les élémens de Géométries la fim-
p l i c i t é de fa defeription , la facilité avec laquelle
les propriétés du cercle s’en déduifent, 6c la neceffi-
té de fe fervir du cercle pour différentes opérations
très-fimples, comme pour élever une perpendiculaire,
pour mefurer un angle, &c. toutes ces raifons ont
déterminé à faire entrer le cercle 6c le cercle feul dans
les élémens de Géométrie. Cependant quelques courbes
, comme la parabole, ont une équation plus fimple
que celle du cercle ; d’autres, comme l’hyperbole
équilatere, ont une équation auffi fimple, V. Équatio
n & Courbe : mais leur defeription eft beau*-
coup moins facile que celle du cercle,& leurs propriétés
moins aifées à déduire. On peut rapporter auffi
à la Géométrie élémentaire la folution des problèmes
du fécond degré par la ligne droite & par le cercle.
j V oyï{ Construction, Courbe, & Équation.
La Géométrie tranfeendante eft proprement celle
qui a pour objet toutes les Courbes différentes du
c e r c le , comme les feûions Coniques 6c les courbes
d ’un genre plus é le v é . Foye{ C o u r b e .
Cette Géométrie s’occupe auffi de la folution des
problèmes du troifieme 6c du quatrième degré 6c des
degrés fupérieursi Les premiers fe réfolvent, comme
l ’on fait, par le moyen de deux feftions eoniques, ou
plus Amplement 6c en général parle moyen d’un cercle
6c d’une parabole ; les autres fe réfolvent par des
dignes du troifieme ordre & au-delà. F. Courbe, &
les art. déjà cités. La partie de la Géométrie tranfeendante
qui applique le calcul différentiel & intégral à
la recherche des propriétés des courbes, eft celle qu’on
appelle plus proprement Géométrie tranfeendante,
& qu’on pourroit nommer avec quelques auteurs modernes
, Géométriefublime, pourladiftinguer non-feulement
delà Géométrie élémentaire, mais de laGéométrie
des courbes qui n’employepâs les calculs différentiel
6c intégral, 6c qui fe borne ou à la fynthèfe des
anciens, ou à la fimple application de l’analyfe Ordinaire.
Par-là on auroit trois divifionsde la Géométrie;
Géométrie élémentaire ou des lignes droites 6c dit cer*
cle \ Géométrie tranfeendante ott des courbes; & Géométrie
fublime ou des nouveaux calculs»
2 . On divife auffi la Géométrie eh ancienne &
moderne» On entend par Géométrie ancienne, ou celle
qui n’employe point le calcul analytique -, ou
celle qui employé le calcul analytique ordinaire,
fans fe fervir des calculs différentiel 6c intégral ; 6c
par Géométrie moderne, on entend ou celle qui em-
Tome F II. 1
pîoÿe l’analyfe de Defcartes dans la recherche des
propriétés des courbes, ou celle qui fe fèrt des nouveaux
calculs. Ainfi la Géométrie, entant qu’elle fé
borne à 1 analyfe feule de Defcartes; eft ancienne oit
moderne , fuivant les rapports fous Ielquels on la
confidere ; moderne par rapport à celle d’Apollonius
& d Archimede , qui ri’employoient point le
calcul; anciennepar rapport à la Géométrie quê
nous avons nommée fublime, que Leibnitz & Newton
nous ont appnfe,& que leurs fucceffeurs ont perfectionnée;
1
Dés élémens ds Géométrie. On a donné au mot Élé-
mens BES S ciences, des principes qm:s*applk.t.eht
naturellement aiixâéméhs de Géornetiie : cta y à même
traité des queftions qui ont un râpport partidua
lier à ces élémens ; par exemple , fi on doit lu ivre
dans les élémens chute fcieiîce Tordre des inven-t
teurs.j d on y doit préférer la facilité â la figiieui"
exafte, &c; c ’eli poimpto: nous renvoyons à Vart:clé
EEEMENS.Nousobfervonffeulementqitedans la lifté
d elemens de Géométriedonnéé par M. dé la Ohapél-
le , on a oublié ceuSt de M . Camus, de l’a&démie ded
Sciences, cOmpofés polir l’ufagé des ingénieurs , U.
qui méritent qu’on en faffe une mention honorable;
ainfi que la Géométrie de l'officier ,de M. le Blond, un
de nos collègues, & les élémens de Géométrie du mê->
me auteur. Ajoûtons ici quelques réflexions qui pour*
ront n etre pas inutiles, fur la maniéré de traiter les
élémehs de Géométrie.
Nous obferverons d’abord, & ceci eft une remar*
que peu importante, mais utile, que la divifion ordi-
naire de la Géométrie élémentaire en Longimctrie ,
Planimétrie , 6c Stéréométrie, n’eft point exa&e ;
à parleir à la rigueur, puifqu’ôn y meftire non-feulement
des lignes droites, des plans , & des foli-*
des,mais auffi des lignes Circulaires 6c des furfaces
fphefiques : mais nous ne pouvons qu’approuver la
divifion naturelle delà Géométrie élémentaire en géô*
métr'u des lignes droites & des lignes circulaires *
géométrie des fur faces, géométrie des folides.
On peut voir au mot Courbe, ce que nous pen-
fons fur la meilleure définition poffible de la ligne
droite & de la ligne Courbe. Quoique la ligne droite
foit plus fimple que la circulaire, cependant il eft à-*
propos de traiter de l’une 6c de l’autre, énfemble 8c
non feparement , dans des elemens de Géométrie; par-
ce que les propriétés de la ligne circulaire font d’une
utilité infinie pour démontrer d’une maniéré fimple &
facile ce qui regarde les lignes droites comparées en-1
tr’elles quant à leur pofition. La mefure d’un angle
eft un arc decercle décritdu fommet de l’angle comme
rayon. O n â vu aurnotDe g r é , pp. yG i & yffz dit
lF .v o l - . pourquoi Je cercle eft la mefure naturelle des
angles. Cela vient de l’uniformité des parties & de
la courbure du cercle ; & quand on dit que la thefu-s
re d’un angle eft un arc de cercle décrit du fommet,
cela fignifie feulement que fi deux angles font égaux,
les arcs décrits de leur fommet & du même rayon fe-
ront égaux : de même, quand on dit qu’un angle eft
double d’un autre,cela fignifie feulement qiie Taré
décrit dit fommet de l’un eft double de l’arc décrit
du fommet de l’autre: car l’angle n’étant, fuivant fit
définition, qu’une ouverture fimple, & non pas une
étendue, on ne peut pas dire proprement & abftrac-
tion faite de toute confidératiori d’étendUe, qu’utl
angle foit double d’un autre ; parce que cela ne fe
peut dire que d’une quantité comparée à une autre
quantité homdgene;& que l’oiiverture de deux lignes
n’ayant point de parties , n’eft pas proprement une
quantité» Quand On dit de niême qu’un âtlgle à U
circonférence du cercle a pour meiure la fnoitié de
l’arc compris entre fes côtés , cela fignifie que ceÊ
angle eft égal à un angle- dont le fommet ferait ait
centre, &>qui renfermeroit la moitié de cet arc ; 6c
ainfi du refte* L L 11 ij