celle de la divinité, & n’en eft prefque pas différente.
La fciërice dés nombres pafla de l’Egypte dans la
Grece ; d’où après avoir reçûde nouveaiix degrés de
pérfeôîon par les Àftronomes de ce pàys, elle fut
côrinue des Romains, & dé-là eft enfin venue juf-
qu’à nous. 1 ^
Cependant l’ancienne Arithmétique n’étoit pas, à
beaucoup près, àufli parfaite que la moderne : il paroît
qu’alors élle ne fervôit guère qu’à confid'érer les
différèntes divifions des nombres : on peut s’en convaincre
en lifant les traités de Nicomaque, écrits ou
cômpofés dans le troifieme li’ecle depuis la fondation
de Rome, & , celui de Boéce, qui exiftent encore
ahjourd’ hui. En 1556, Xylânder publia en latin un
abrégé de l’ancienne Arithmétique, écrite eh grec
par Pfellus. Jordanus compofa ou publia , dans le
douzième fiecle, un ouvrage beaucoup plus ample
de la même efpecè, que Faber Stapulenfis donna en
1480, avec un commèritairè»
L5Arithmétique, telle qu’elle eft aujoitrd’hui, fe di-
vife en différentes efpëcès, comme théorique, pratique
, injlrûmentalè , logarithmique, numérale, fpecieu-
Je, décimale, tétraclique, duodécimale, ftxagèjîmale,
&c..
VArithmétique théorique èft là fcièrice des pro priétés
& des rapports des nombres abftraits , av e c
les ràifôhs & les démonftrations des différentes réglés.
Voye^ N o m b r e .
Oh trouve une Arithmétique théorique dans les
feptieme, huitième, neuvième livres d’Eùciidë. Le
moine Barlaam a atiffi donné unë théorie de.s opé-
ràtiôris ordinaires, tant en entiers qu’èn fra étions,
dans un livre de fa compofition intitulé Logiftica, &
publié en latin par Jean Chambers Anglois , l’an
1600. On peut y ajoûtèr l’ouvragé Italien de Lucas
de Burgo, mis au jour en 1523 : cet auteur y a donné
les différentes divifions de nombres de Nicqma-
uè & leurs propriétés, conformément à là doétrine
’Euclide, avec le calcul des entiers & des fractions,
des extradions de racines, &ç.
U Arithmétique pratique eft l’art de nombrer ou de
calculer , c’eft-à-dire l ’art de trouver des nombres
par le moyen de certains nombres donnés, dont la
relation aux premiers eft connue ; comme fi l’on dè-
mandoit, par exemple , de déterminer le nombre
égal aux deux nombres donnés , 6 ,8 .
Le premier corps complet dé Arithmétique pratique
nous a été donné en 15 56, par Tartaglia, Vénitien :
il confifte en deux livres ; le premier contient l’application
de Y Arithmétique aux ufages de la vie civile
; & le fécond , les fôndëmèns ou les principes de
l’AIgebre. Avant Tartaglia , Stifelius a voit donné
quelque chofe fur cette matière en 1544 : on y trouve
différentes méthodes & remarques fur les irratio-
nels, &c.
'Nous fupprimons une infinité d’autres auteurs de
pure pratique qui font venus depuis, tels que Gemma
Frifius, Metius, Clavius, Ramus, &c.
Màurôlicus dans lés Opufcula mathematica de
l’année 1577, a joint la théorie à la pratique de Y A-
nthmitique, il l’a même perfeétionnée à plufiéurs
égards : Henefchius a fait la même chofe dans fon
Arithmetica pérfecta de Fànnée 1609, où il a réduit
toutes les démonftrations en forme de fyllogifme ;
ainfi que Taquet, dans fa theoria & praxis Arithme-
tices de l’ànnee 1704. (£ )
Les ouvrages fur YÀriihmètique font fi communs
parmi nous, qu’il feroit inutile d’en faire le dénombrement.
Les réglés principales de cette fcience font
expoféës fort clairement dans le premier volume du
cours de Mathématique de M. Camus, dans les infti-
tutiônsde Géométrie de M. de la Chapelle, dans YA-
rithmètique de l’officier par M. le Blond. (O)
L'Arithmétique inftrumëntale eft celle où les réglés
communes s’exécutent par le moyen d’inftrumens
imaginés pour calculer avec facilité & promptitude :
comme les bâtons de Neper {Voye{ N e p e r .) ; l’inf-
trument de M. Sam. Moreland, qui en a publié lui-
même là defcription en 1666 ; Celui de M. Leibnitz,
décrit dans les Mifcellan. Berolin. la machine arithmétique
de M. Pafcal, dont on donnera la defcription
plus bas, &c.
U Arithmétique logarithmique, qui s’exécute par
les tables dés logarithmes. Voye^L o g a r i t h m e . Ce
qu’il y a de meilleur la-deffus eft Y Arithmetica loga-
rithmica de Hen. Brigg, publiée en 1624.
On ne doit pas oublier les tables arithmétiques um-
verfelles de Proftapharefe, publiées en 1610 par Her*
wart, moyennant lefquelles la multiplication fe fait
aifément & exactement par l’addition, & la divifion
par la fouftraétion.
Les Chinois ne fe fervent guere de réglés dans
leurs calculs ; au lieu de cela, ils font ulàge d’un
infiniment qui confifte eh une petite lame longue
d’un pié & demi, traverfée de dix ou douze fils de
fe r , où font enfilées de petites boules rondes : en les
tirant enfemble, & les plaçant enfuite Fun après
l’autre, fuivant certaines conditions & conventions,
ils calculent à-peu-près comme nous faifons avec des
jettons , mais avec tant de facilité & de promptitude
, qu’ils peuvent fuivre une perfonne qui lit un livre
de compte, avec quelque rapidité qu’elle aille ;
& à la fin l’opération fe trouve faite : ils ont aufli
leurs méthodes de la prouver. Voye{ le P. le Comte.
Les Indiens calculent à-peu-près de même avec des
cordes chargées dé noeuds.
Lé Arithmétique numérale eft Celle qui enfeigne le
calcul des nombres ou des quantités abftraites défi-
gnéès par des chiffres : on en fait les opérations avec
des chiffres ordinaires ou arabes. Voy% C a r a c t è r e
& A r a b e .
lé Arithmétique fpécieufe eft celle qui enfeigne le
calcul des quantités défignées par les lettres de l’alphabet.
Voÿe^ Sp é c ie u s e . Cette Arithmétique eft cé
que l’on appelle ordinairement Y Algèbre ou Arithmétique
littérale. Voye^ ALGÈBRE.
Wallis a joint lé calcul numérique à l’algébrique,
& démontré par ce moyen les réglés des fractions,
des proportions, des extradions de racines, &c.
Wéls en a donné Un abrégé fous le titre de Ele-
menta arithmetica, en 1698.
L'Arithmétique décimale s’exécute par une fuite de
dix caraéterës, de maniéré que la progreffion va de
dix en dix. T elle eft notre Arithmétique, où nous faifons
ufage des dix caraderes Arabes, o , 1 , 2, 3 ,
4 , 5 , 6 , 7 , 8 ,9 : après quoi nous recommençons
1 0 , 1 1 , 1 2 , &c.
Cette méthode de calculer n’eft pas fort ancienne,
elle étoit totalémerit inconnue àùx Grecs & aux Romains.
Gerbert, qui devint pape dans la fuite fous
lé nom de’Silvëftre II. l’introduifit en Europe, après
l’avoir reçue des Maures d’Efpagne. Il eft fort vraif-
femblàble que cette progreffion a pris fon origine des
dix doigts des mains, dont on faifoit ufage dans les
calculs avant que Fon eût réduit Y Arithmétique en art.
Les Millionnaires de l’Orient nous affûrent qu’aü-
joürd’hui même les Indiens font très-experts à calculer
par leurs doigts, fans fe fervir de plume ni d’encre.
Voye{ les lett. édif. & cürieufes. Ajoûtez à cela que
les naturels du Pérou, qui font tous leurs calculs par
‘le différent arrangement des grains de maïz, l’emportent
beaucoup, tant par la jufteffe que par la célérité
de leurs comptes, fur quelque Européen qiie
‘ce foit avec toutes fes réglés.
lé Arithmétique binaire èft celle où Fon n’employe
uniquement que deux figures, l’unité ou 1 & le o.
Voye^ Bin a ir e .
M. Dangicourt nous a donné dans Ies Mifcell. Be-
rol. torn. I . un long mémoire fur cette Arithmétique
binaire ; il y fait vo ir qu’ il èft plus aifé de découvrir
par ce moyen les lois des progreffions, qu’en fe fer-
vant de toute autre méthode où l’on feroit ufage d’un
plus grand nombre de caraéteres.
l_éArithmétique tétraâique eft celle où Fon n’employe
que les figures 1 , 2, 3, & o. Erhard Weigel
nous a donné un traité de cette Arithmétique; mais la
binaire & la tétraétique ne font guere que de curiofi-
té , relativement à la pratique, puifque Fon peut exprimer
les nombres d’une maniéré beaucoup plus
abrégée par Y Arithmétique decimale.
\ fArithmétique vulgaire roule fur les entiers & les
fraétions. Voye^ En t ie r 6* F r a c t io n .
lé Arithmétique fexagéfimale eft celle qui procédé
par foixantaines, ou bien c ’eft la doârine des fractions
fexagéfimales. Voye^ S e x a g é s i m a l . Sam.
Reyher a inventé une efpece de baguettes fexagéna-
le s , à l’imitation des bâtons de Neper, par le moyen
defquelles on fait avec facilité toutes les opérations
de Y Arithmétique fexagéfimale.
L'Arithmétique des infinis eft la méthode de trouv
e r la iomme d’une fuite de nombres dont les termes
font infinis, ou d’en déterminer les rapports. Voyeq_
In f in i , Su i t e ou Se r ie , &c.
M. Wallis eft le premier qui ait traité à fond de
cette méthode, ainfi qu’il paroît par fes Opera mathematica
, où il en fait voir l’ûfage en Géométrie pour
déterminer Faire desfurfaces & la folidité des corps,
ainfi que leurs rapports ; mais la méthode des fluxions,
qui eft Y Arithmétique univerfelle des infinis , exécute
tout cela d’une maniéré beaucoup plus prompte &
plus commode, indépendamment d’une infinité d’autres
chofes auxquelles la première ne fauroit atteindre.
Voyei Fl u x io n s , C a l c u l , &c.
Sur Y Arithmétique des incommensurables ou irratio-
nels, voy. In c o m m e n s u r a b l e , Ir r a t io n e l , &c.
Jean de Sacrobofco ou Halifax compofa en 1232,
felonWoffius, un traité dé Arithmétique; mais ce traité
a toujours reftémanuferit : & félon M. l’abbé de Gua,
Paciolo qui a donné le premier livre d’Algèbre, eft
auffi le premier auteur d'Arithmétique qui ait été imprimé.
V">yei A l g è b r e . (É)
Jufqu’ici nous nous fommes contentés d’expofer
en abrégé ce que Fon trouve à-peu-près dans la plupart
des ouvrages mathématiques fur la fcience des
nombres., & nous n’avons guere fait que traduire
l’article Arithmétique tel qu’il le trouve dans l’Encyclopédie
àngloife : tâchons préfentement d’entrer
davantage dans les principes de cette fcience, & d’en
donner une idée plus précife.
Nous remarquerons d’abord que tout nombre, fuivant
la définition de M. Newton, n’eft proprement
qu’un rapport. Pour entendre ceci, il faut remarquer
que toute grandeur qu’on compare à une autre, eft
ou plus petite, ou plus grande, ou égale ; qu’ainfi toute
grandeur a un certain rapport avec une autre à
laquelle on la compare, c'eft-à-dire qu’elle y eft contenue
ou la contient d’une certaine maniéré. Ce rapport
ou cette maniéré de contenir ou d’être contenu ,
eft ce qu’on appelle nombre; ainfi le nombre 3 exprime
le rapport d’une grandeur à une autre plus petite,
que l’on prend pour l’unité , & que là plus grande
contient trois fois : au contraire la fraûion-^ exprime
lé rapport d’une certaine grandeur à une plus grande,
que Fon prend pour l’unité, & qui eft contenue trois
rois dans cette plus grande. Tout cela fera expofe
plus en détail aux articles N om b r e , Fr a c t io n ,
&c.
Les nombres étant des rapports apperçûs par l’ef-
prit & diftingués par des fignes particuliers, Y Arithmétique,
qui eft la fcience des nombres, eft donc Fart
de combiner entr’eux ces rapports, en fe fervant pour
Tome J.
faire cette combinaifon des fignes mêmes qui les dif*
tinguent. De-là les quatre principales réglés de Y A-
rithmétique, car les différentes combinaifons qu’on
peut faire des rapports, fe‘réduifent ou à examiner
l ’excès des uns fur les autres, ou la maniéré dont ils
fe contiennent. L’addition & la fouftraâion Ont le
premier objet, puifqu’il nes*agitque d’y ajouter ou
d’y fouftrair« des rapports ; le fécond objet eft celui
de la multiplication & de la divifion , puifqu’on y
détermine de quelle maniéré un rapport en contient
un autre. Tout cela fera expliqué plus en détail aux
articles Mu l t i p l ic a t io n & D iv is io n .
II y a , comme Fon fait, deux fortes de rapports ,
l’arithmétique & le géométrique. Voyeç R a p p o r t .
Les nombres ne font proprement que des rapports
géométriques ; mais il femble que dans les deux pre-*
mieres réglés de Y Arithmétique on confidere arithmétiquement
ces rapports , & que dans les deux autres
on les confidere géométriquement. Dans l’addition
de deux nombres (car toute addition fe réduit proprement
à celle de deux nombres) , l’un des deux
nombres repréfente l’excès de la fomme fur l’autre
nombre. Dans la multiplication Fun des deux nombres
eft le rapport géométrique du produit à l’autre
nombre. Foye[ S o m m e , Pr o d u i t .
A l’égard du détail des opérations particulières de
Y Arithmétique, il dépend de la forme & de Finftitu-
tion des fignes par lefquels on défigne les nombres.
Notre Arithmétique, qui n’a que dix chiffres, feroit
fort différente fi elle en avoit plus ou moins ; & les
Romains qui avoient des chiffres différens de ceux
dont nous nous fervons, dévoient auffi avoir des réglés
àéArithmétique toutes différentes des nôtres. Mais
toute Arithmétique fe réduira toujours aux quatre réglés
dont nous parlons , parce que de quelque maniéré
qu’on défigne ou qu’on écrive les rapports, on
ne peut jamais les combiner que de quatre façons ,
& même, à proprement parler, de deux maniérés
feulement, dont chacune peut être envifagée fous
deux faces différentes.
On pourroit dire encore que toutes les réglés de
Y Arithmétique fe réduifent ou à former un tout pat
la réunion de différentes parties, comme dans l’addition
& la multiplication, ou à réfoudre un tout en
différentes parties, ce qui s’exécute par la fouftrac-'
tion & la divifion. En e ffet, la multiplication n’eft
qu'une addition repétée, & la divifion n’eft aufli.
qu’une fouftraâion repétée. D’où il s’enfuit encore
que les réglés primitives de Y Arithmétique peuvent à.
la rigueur fe réduire à l ’addition & à la fouftra&ion.
La multiplication & la divifion ne font proprement
que des maniérés abrégées de faire l’addition d’un
même nombre plufiéurs fois à lui-même, ou de fouf-
îraire plufiéurs fois un même nombre d’un autre
auffi M. Newton appelle-t-il les réglés de l’Arithmétique,
compojitio & rtfolutio arithmetica, c’eft-à-dire
compojîtion & réfolution des nombres.
A r it h m é t iq u e u n iv e r s e l l e ; c’eft ainfi que
M. Newton appelle l’Algebre ou calcul des grandeurs
en général : & ce n’eft pas fans raifon que
cette dénomination lui a été donnée par ce grand
homme , dont le génie également lumineux & profond
paroît avoir remonté dans toutes les fciences à
leurs vrais principes métaphyfiques. En effet, dans
Y Arithmétique ordinaireon peut remarquer deux ef-
peces de principes ; les premiers font des réglés générales
, indépendantes des fignes particuliers par lefquels
on exprime les nombres ; les autres font des.
réglés dépendantes de ces mêmes fignes, & ce font
celles qu’on appelle plus particulièrement réglés de
l'Arithmétique. Mais les premiers principes ne l'ont
autre chofe que des propriétés generales des rapports
, qui ont lieu de quelque maniéré que ces rapports
foient défignés : telles font, par exemple, ces
Q q q q ij