On peut même quelquefois appliquer k Géométrie ■
à l’Arithmétique, c’eft-à-dire fe fervir delà Géométrie
pour démontrer plus aifément fans Analyfe & d une
maniéré générale , certains théorèmes d’Arithmeti-
que ; par exemple, que la fuite des nombres impairs ■
1 » 3 > 5 » 7> 9 » aiJ°&tés fuccelfivement, donne la
fuite cîes quartes ï , 4, ?, 16 , 25, &c- Pour cela, faites un triangle rectangle A o li {fig-
65. Meehan.") dont Un côté foit horiforital & 1 autre
vertical ( je les déligne par horifontal & vertical, pour
fixerTimaginàtiOn) :.divilez le côte vertical A B en
’tant de parties égales que vous voudrez , 5C par les
points dé divifion 1 ,2 ,3 ,4 , menez les parallèles
1 f, '% g, à BE, vous aurez d’abord le petit
triangle A if, enfuite le trapeze 1 f g z , qui vaudra
trois fois ce triangle ; puis un troifieme trapeze zgh 3,
qui vaudra cinq fois le triangle : deforte que les efpa-
ces terminés par ces parallèles 1 ƒ, 2g, &c. feront
repréfentés par les nombres fuivans, 1, 3, Ç, 7 > &c' en commençant par le triangle A i f , & défignant
Ce triangle par i , 5. . .
Ôr lès fommes de ces efpaces feront les triangles À if, A 2 g, A 3 h, &c. qui font comme les quarrés
des côtés A i , A z , A j , c’eft-à-dire comme 1 ,4 ,
o , frc. donc la fomme des nombres impairs donne
îa fomme des nombres quarrés. On peut fans doute
démontrer cette propofition algébriquement ; mais
la démonftration précédente peut fatisfaire ceux qui
ignorent l’Algèbre. Vbye^ A c c e l e r a t io n .
A p p l ic a t io n de la Géométrie & de l'Algèbre a la
Méchanique. Elle eft fondée fur les mêmes principes
que l’application de l’Algèbre à la Géométrie.^ Elle
confifte principalement a reprêfenter par des équations
les courbes que décrivent les corps dans leur
mouvement, à déterminer l’équation entre les efpa*-
ces que les corps décrivent (lorfqu’ils font animes
par des forces quelconques) , & le tems qu’ils em-
ployent à parcourir ces efpaces, &c. On ne peut à
la vérité comparer enfemble deux chofes d’une nature
différente, telles que l’efpace & le tems ; mais
on peut comparer le rapport des parties du tems
avec celui des parties de î’efpace parcouru. Le tems
par fa nature coule uniformément, Sc la méchanique
fuppofe cetté uniformité. Du refte, fans connoi-
tre le tems en lui-même, & fans en avoir de mefure
prëcife, nous ne pouvons reprêfenter plus clairement
le rapport de fes parties, que par celui des parties
d’une ligne droite indéfinie. Or l’analogie qu’il y a
entre le rapport des parties d’une telle ligne, & celui
des parties de l’efpace parcouru par un corps qui fe
meut d’une maniéré quelconque, peut toujours être
exprimé par une équation. On peut donc imaginer
une courbe dont les abfciffes repréfentent les portions
du tems écoulé depuis le commencement du mouvement
; les ordonnées confondantes défignant les
efpaces parcourus durant ces portions de tems. L’e-
quation de cette courbe exprimera , non le rapport
des tems aux efpaces, mais, fi on peut parler ainfi,
le rapport du rapport que les parties de tems ont à
leur unité, à celui que les parties de l’efpace parcouru
ont à la leur ; car l’équation d’une courbe peut etre
confidérée ou comme exprimant le rapport des ordonnées
aux abfciffes, ou comme l’équation entre le
rapport que les ordonnées ont à leur unité, & celui
que les abfciffes correfpondantes ont à la leur.
Il eft donc évident que par l'application feule de
la Géométrie & du calcul, on peut, fans le fecours
d’aucun autre principe, trouver les propriétés générales
du mouvement, varié fuivant une loi quelconque.
On peut voir à l'article A c c é l é r a t io n , un
exemple de l’application de la Géométrie à la Méchanique
; les tems de la defeente d’un corps pefant y font repréfentés par l’abfciffe d’un triangle, les vi-
teffes parles ordonnées (yoyei A b s c is s e 6* O r d o n -
n é e ) , & les efpaces parcourus par l’aire des parties
du triangle. Voye^T r a j e c t o i r e , Mo u v e m e n t ,
T e m s , & c. . \ .
APPLICATION de la Méchanique a ta Géométrie.
Elle confifte principalement dans I’ufage qu’on fait
quelquefois du centre de gravité des figures, pour
déterminer les folides qu’elles forment. Voye^ C ent
r é d e G r a v i t é . ^ t
A p p l i c a t io n de la Géométrie G de ÜAfironomie a
la Géographie. Elle confifte en trois chofes. i° À déterminer
par les opérations géométriques & aftronO-
miques la figure du globe que.nous habitons. Voye%
Fig u r e d e l a T e r r e , D e g r é , bc. 20. A trouver
par l’obfervation des longitudes & des latitudes
la pofitiondes lieuXi V. L o n g it u d e & L a t i t u d e .
30. A déterminer par dès opérations géométriques
la pofition des lieux peu éloignés l’un de l’autre.
F o y e { C a r t e . # ,
L’Aftronomie & la Géométrie font auffi d un grand
ufage dans la navigation. V . N a v ig a t io n , &c.
APPLICATION de la Géométrie & de l Analyfe a la
Phyfique. C’eft à M. Newton qu’on la doit, comme
on doit à M. Defcartes Y application de l’Algèbre à la
Géométrie. Elle eft fondée fur les mêmes principes
que l’application de l’Algebre à la Géométrie. La plupart
des propriétés des corps ont entr’elles des rapports
plus ou moins marqués que nous pouvons^ comparer
, & c’eft à quoi nous parvenons par la Géométrie,
& par l’Analyfe ou Algèbre.plication C’eft fur cette ap
que font fondées toutes les fcienèés phyfico-
mathématiques.Unefeule obfervation ou expérience
donne fouvent toute une fcience. Suppofez, comme
on le fait par l’expérience, que les rayons de lumière
fe réfléchiffent en faifant l’angle d’incidence égal
à l’angle de réflexion, vous aurez toute la Catoptri-
que. V. C a t o p t r j q u e . Cette expérience une fois
admife, la Catoptrique devient une fcience purement
géométrique, puifqu’elle fe réduit à comparer des angles
& des lignes données de pofition. fl en eft de même
d’une infinité d’autres. En général, c’eft par le fecours
de la Géométrie & de l’Analyfe que l’on parvient
à déterminer la quantité d’un effet qui dépend
d’un autre effet mieux connu. Donc cette fcience
nous eft prefque toujours néceffaire dans la compa-
raifon & l’examen défaits que-l’expérience nous découvre.
Il faut avouer cependant que les différens
fujets de Phyfique ne font pas également fufceptibles
de l'application de la Géométrie. Plufieurs expériences
, telles que celles de l’aimant, de l’éleâricité, &
une infinité d’autres * ne donnent aucune prife au
calcul ; en ce cas il faut s’abftenir de l’y appliquer.
Les Géomètres tombent quelquefois dans ce défaut,
en fubftituant des hypothèfes aux expériences, &
calculant en conféquence ; mais ces calculs ne doivent
avoir de force qu’autant que les hypothèfes fur
Iefquelles ils font appuyés, font conformes à la nature
, &il faut pour cela que les observations les confirment
, ce qui par malheur n’arrive pas toujours.
D’ailleurs quand les hypothèfes feroient vraies, elles
ne font pas toujours luffifantes. .S’il y a dans.un effet
un grand nombre de circonftances dues à plufieurs
caufes quiagiffent à-la-fois, & qu’on fe contente de
confidérer quelques-unes de ces caufes, parce qu’étant
plus fimples, leur effet peut être calculé plus aifément:
on pourra bien par cette méthode avoir
l’effet partiel de ces caufes ; mais cet effet fera fort
différent de l’effet total, qui réfulte de la réunion de
toutes les caufes. ;
APPLICATION V« la Méthode géométrique à la Met a-
phyfique. On a quelquefois abufé de la Géométrie
dans la Phyfique, en appliquant le calcul des propriétés
des corps à des hypothèfes arbitraires. Dans
les Sciences qui ne peuvent par leur nature être foû-
mifes à aucun calcul, on a abufé de la méthode des
Géomètres,
Géomètres, parce qu’on ne pouvoit abufer que de la
méthode. Plufieurs ouvrages mèrhaphyfiques , qui
ne contiennent fouvent rien moins que des vérités
certaines , ont été exécutés à la maniéré des Geo-
metres ; & on y voit à toutes les pages les grands
mots axiome, de théorème, de corollaire, &c.
Les auteurs de ces ouvrages fe font apparemment
imaginés que de tels mots faifoient par quelque vertu
fecrete l’effence d’une démonftration, & qu’en écrivant
à la fin d’une propofition, ce qu'ilfatloit démontrer
y ils rendroient démontré ce qui ne l’étoit pas.
Jdais ce n’eft point à cette méthode que la Géométrie
doit fa certitude , c’eft à l’evidence & a la fim-
plicité de fon objet ; & comme un livre de Géométrie
pourroit être très-bon en s’écartant de là forme
Ordinaire -, un livre de Métaphyfique ou de Morale
peut fouvent être mauvais en fuivant la méthode des
Géomètres. Il faut même fe défier de ces fortes d’ou-
Vrages ; car la plupart des prétendues dëmonftrations
n’y font fondées que fur l’abus des mots. Ceux qui
ont réfléchi fur cette matière, fa vent combien l’abus
des mots eft facile Ôi ordinaire, fur-tout dans les matières
métaphyfiques. C’eft en quoi on peut dire que
les Scholaftiques ont excellé, & on ne fauroit trop
regretter qu’ils n’ayent pas fait de leur fagacité un
meilleur ulagè.
A P P L IC A T IO N de la Métaphyfiqut à la Géométrie.
On abufe quelquefois de la Métaphyfique en Géométrie
, comme on abüfe de la méthode des Géomètres
en Métaphyfique. Ce n’eft pas que la Géométrie
n’ait, comme toutes les autres Sciences , une métaphyfique
qui lui eft propre ; cette métaphyfique eft
même certaine & inconteftable , puifque les propo-
fitions géométriques quienréfultent, font d’une évidence
à laquelle on ne fauroit fe refufer. Mais comme
la certitude des Mathématiques vient de la fim-
plicitéde fon objet, la métaphyfique n’en fauroit être
trop fimple &trop lumineufe : elle doit toûjours fe
réduire à des notions claires, précifes & fans aucune
obfcurité. En effet, comment les conféquences pour-
roient-elles être certaines & évidentes, fi les principes
ne l’étoient pas ? Cependant quelques auteurs
ont cru pouvoir introduire dans la Géométrie une
métaphyfique fouvent affez obfcure, & qui pis eft ,
démontrer par cette métaphyfique des vérités dont
on étoit déjà certain par d’autres principes. Cétoit
le moyen de rendre ces vérités douteufes , fi eftes
avoient pu lé devenir. La Géométrie nouvelle a principalement
donné occafion à cette mauvaife méthode.
On a cru que les infiniment petits qu’elle confi-
dere étoient des quantités réelles; on a voulu admettre
des infinis plus grands les uns que les autres ;
on a reconnu des infiniment petits de différens ordres,
en regardant tout cela comme des réalités ; au lieu de
chercher à réduire ces fuppofitions & ces calculs à
des notionsîfimples. Voye^D if f é r e n t ie l , In f in i
£r In f in im e n t p e t i t .
Un autre abus de la Métaphyfique en Géométrie,
confifte à vouloir fe borner dans certains cas à la Métaphyfique
pour des démonftrations géométriques.
En fuppofant même que les principes métaphyfiques
dont on part foient certains & évidens, il n’y a guere
de propofitions géométriques qü’on puiffe démontrer
rigoureufement avec ce fèul fecours ; prefque
toutes demandent, pour ainfi dire, la toife & le calcul.
Cette maniéré de démontrer eft bien matérielle,
fi l’on vèut : mais enfin c’eft prefque toûjoiirs la feule
qui foit lure, c’eft la plume à la main, & non pas
avec des raifonnemens métaphyfiques, qu’on peut
faire des combinaifons & des calculs exaéts.
Au refte, cette derniere métaphyfique dont nous
parlons , eft bonne jufqu’à un certain point, pourvu
qu’on ne s’y borne pas : elle fait entrevoir les principes
des découvertes ; elle nous fournit des vues ;
Tome /,
elle nous met daris le chemin: mais nous ne fommes
bien fûrs d’y être, fi on peut s’exprimer de la forte,
qu’après nous être aidés du bâton du calcul, pour
connoître les objets que nous n’entrevoyons auparavant
que confufémenh
Il femble que les grands Géomètres devroient être
toûjours excellens Métaphyficiens, au moins fur les
objets de leur fcience : cela n’eft pourtant pas toûjours.
Quelques Géomètres reffemblent à des per-
fonnes qui auroient le fens de la vûe contraire à
celui du toucher : mais cela ne prouve que mieux
combien la calcul eft néceffaire pour les vérités géométriques.
Au refte je crois qu’on peut du moins affû-
rer qu’un Géomètre qui eft mauvais Métaphyficien
fur les objets dont il s’occupe, fera à coup fûr Métaphyficien
déteftable fur le refte. Ainfi la Géométrie
qui mefure les corps, peut fervir en certains cas à
mefurer les efprits même. ■
A p p l i c a t io n d’unechofe à une autre, en général
fe dit, en matière de Science ou Art, pour défigner
l’ufage dont la première eft, pour connoître ou perfectionner
la fécondé. Ainfi l’application de la cycloï-
de aux pendules, lignifie l’ufage qu’on a fait de la
cycloïde pour perfectionner les pendules. Voye{
P e n d u le , C y c l o ïd e , &c. & ainfi d’une infinité
d’autres exemples. (O)
logAiep yp l i c a t io n , fe dit particulièrement, en Théo
de l’aCtion par laquelle notre Sauveur nous
transféré ce qu’il a mérité par fa vie & par fa mort. Voye{ Im p u t a t io n .
C’eft par cette application des mérites de Jefus-
Chrift que nous devons être juftifiés, & que nous
pouvons prétendre à la grâce & à la gloire eternelle.
Les Sacremens font les voies ou les inftrumens ordinaires
par lefquels fe fait cette application, pourvu
qu’on les reçoive avec les difpofitions qu’exige le
faint concile de Trente dans la vj.. fejfion. (G) APPLIQUÉE, f. f. en Géométrie, c’eft en général
une ligne droite terminée par une courbe dont elle
coupe le diamètre ; ou en général c’eft une ligne
droite qui fe termine par une de fes extrémités à un^
courbe, & par qui l’autre extrémité fe termine encore
à la courbe même, ou à une ligne droite traccéoen
.)f uEr leM p ,la nM d Me c,ette courbe. Ainfi (fig. p. 6. Secl. font des appliquées à la courbe M A M. Voÿe^ C o u r b e , D ia m è t r e , &c.
Le terme appliquée eft fynonyme à ordonnée. V",
O r d o n n é e . (O )
APPLIQUER, lignifie, en Mathématique, tranf-
porter une ligne donnée, foit dans un cercle, foit
dans une autre figure curviligne ou reéfiligne, en-
forte que les deux extrémités de cette ligne foient
dans le périmètre de la figure. Appliquer lignifie aulu divifer, fur-tout dans les
iAnu Cte uDrs, Lmaetnines. Ils ont accoûtumé de dire duc A B ç A B fur C D , pour, multiplie[ A B
par C D ; ou faites un parallélogramme reûangle de
Ace sB d àe uCx Dlig,nes ; & applica A B adC D , appliqueç pour, divifeç A B par C D , ce qu’on
exprime ainfi On entend encore par appliquer,
tracer l’une fur l’autre des figures différentes, mais
dont les aires font égales. (Æ)
APPIÉTRIR , v. paf. terme de Commerce. On dit
qu’une marchandife S’appiétrit, lorfque fa bonté, fa
qualité fa valeur diminue, foit à caufe qu’elle fe
corrompt ou fe gâte, foit parce que le débit ou la
mode en eft panée, & qu’il s’en fait de mauvais
relies. Savary, diet. du Comm. tom. I. pag. 08/.
Ce terme paroît un compofé du mot pietre, qui
lignifie mauvais, vil, méprifable. Voilà d e m a r chandife
, pour dire une mauvaife marchandife. (G)
APPOINT ou APOINT , terme de Banque f Coït
une fomme qui fait la folde d’un compte ou le mon
A a a a