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réguliers ou ir ré gu lie r s , terminés par des furfaces !
planes ou par des furfaces convexes capables de con-
(1 en fat ion ou non.
Pour cet effe t, concevez une puiffance appliquée
a u corps qu’on applatit ; imaginez une ligne tirée à-
travers ce corps dans la direction de cette puiffanc
e ; fi de cette ligne indéfinie qui marque la direction
d e la puiffance, la partie interceptée dans la folidité
du co rp s , fe trouve moindre après l’aâ io n de la puiffance
qu’elle ne l’étoit auparavant, le corps eft ap-
pla ti dans cette direction.
Il eft évident que cette notion de l’applatiffement
con vien t à chaque point de la furface d’un corps ap-
plati pris féparément, & qu’elle eft par conféquent
générale, quoiqu’elle femble d’abord fouffrir une exception.
A p p l a t ir . Voye^ Pr e s se r , en terme de Corne-
tier.
AP P LA T ISSO IR E S, f. f. pl. c’eft dans les ufines
ou to n travaille le fer , le nom que l’on donne à des
parties de moulins qui fervent à applatir & étendre
les barres de f e r , pour être fondues de la même
chaude dans les grandes fonderies , ou d’une autre
chaude dans les petites fonderies. Voye^ les articles
F o r g e s , F o n d r e , Fo n d e r ie s petites & grandes.
C e s parties qu’on appelle applatiffoires , ne iont autre
chofe que des cylindres de fer qu’on tient approchés
ou éloignés à dil'crétion , 8c entre lefquels la
barre de fer entraînée par le mouvement que font ces
cylindres fur eux-mêmes & dans le même fens , eft
allongée & étendue. Voye[ la Planche i z . des forges :
les parties C , D , des figures i , z , 3 , font des applatiffoires
: l’ufage des applatijfoires s’entendra beaucoup
mieux à l’article F o r g e s , oit nous expliquerons le
méchanifme entier des machines dont les applatiffoires
ne font que des parties.
AP P LAU D IS SEM EN T , f. m. (H ifl. anc. ) les ap-
plaudiffemens chez les Romains accompagnoient les
acclamations, & il y en avo it de trois fortes : la première
qu’on appelloit bombi, parce qu’ils imitoient
le bourdonnement des abeilles : la fécondé étoit ap-
pellée imbrices, parce qu’elle rendoit un fon fembla-
ble au bruit que fait la pluie en tombant fur des tuiles
; & la troifieme fe nommoit tejlte, parce qu’elle
imitoit le fon des coquilles Ou caftagnettes : tous ces
applaudijfemens , comme les acclamations , fe don-
noient en cadence ; mais cette harmonie étoit quelquefois
troublée par les gens de la campagne qui ve-
noient aux fp e â a c lé s , &: qui étoient mal inltruits.
Il y avo it encore d’autres maniérés d’applaudir ;
comme de fe le v e r , de porter les deux mains à la
b ou che , & de les avancer vers ceu x à qui on v ou -
loit faire honneur ; ce qu’on appelloit adorare , ou
Bafiajaclare ; de le v e r les deux mains jointes en croi-
fant les pouces ; & enfin de faire voltige r un pan de
fa toge. Mais comme cela étoit embarraffant, l’empereur
Aurélien s ’a v ifa de faire diftribuer au peuple
des bandes d’étoffe pour fervir à cet u fage. Mém. de
VAcad, des B elles-Lettres. (G )
* A P P L E B Y , ( Géog. mod. ) v ille d’Angleterre ,
cap. de "Weftmorland, fur l’Eden. Long. 1 4 .5 0 . lat.
5 4 . 40.
■ * APPLEDORE , ( Géog. mod. ) petite v ille du
comté de Kent , en Angleterre , fur la riviere de
P h o ten , à deux lieues au nord du château de R e y .
• A P P L IC A T IO N , f . f . aâ io n par laquelle on applique
une chofe fur une autre ; l’application d'un re-
mede fu r une partie malade.
% Il fe dit aufîi de l’adaptation des particules nourricières
en place de celles qui fe font perdues, Voye^
N u t r i t io n . ( L )
A p p l i c a t io n , c’eft l’a â io n d’appliquer une
chofe à une autre , en les approchant, ou en les mettant
l’une auprès de l’autre.
On définit le mouvement, l’application fucceffive
d’Un corps aux différentes parties de l’efpace. Voyez
M o u v e m e n t .
On entend quelquefois en Géométrie par application
, ce que nous appelions en Arithmétique divifion.
C e mot eft plus d’ufage en latin qu’en françois : ap-
plicare G ad 3 , eft la même chofe que divifer G par 3 .
Voye^ D iv i s io n .
Application, fe dit encore de l’a â io n de pofer ou
d’appliquer l’une fur l ’autre deux figures planes égales
ou inégales.
C ’eft par l’application ou fuperpofition qu’on démontre
plufieurs propofitions fondamentales de la
Géométrie élémentaire ; par exemple , que deux
triangles qui ont une même bafe & les mêmes angles
à la b a fe , font égaux en tout ; que le diamètre d’un
cercle le divife en deux parties parfaitement égales ;
qu’un quarré eft partagé par fa diagonale en deux
triangles égaux & fembiables y&c. Voye^ Su p e r p o s
it io n .
A p p l i c a t io n d’une fcience à une a u tr e , en gé-r
né ral, fe dit de l’ufage qu’on fait des principes & des
vérités qui appartiennent à l’unë pour perfeâionner
& augmenter l ’autre. :
En gén éral, il n’eft point de fcience ou d’art qui
ne tiennent en partie à quélqu’autre. L e D ifcours préliminaire
qui eft à la têt# de cet O u v ra g e , 8c les
grands articles de ce D iâ io n n a ir e , en fourniffent
par-tout la preuve.
A p p l i CATION de VAlgèbre ou de VAnalyfe à la Géométrie.
L ’AIgebre étant, comme nous l’avons dit à fon
a r tic le , le calcul des grandeurs en gén éral, & l’A -
nalyfe l’ufage de l’Algebre pour découvrir les quantités
inconnues ; il étoit naturel qu’après avo ir dé-:
couvert l’Algèbre & l’A n a ly fe , on fongeât à appliquer
ces deux fciences à la G é om é tr ie , puifque les
lignes ,le s furfaces, 8c les folides dont la Géométrie
s’o ccupe, font des grandeurs mefurables 8c comparables
entr’e lle s , 8c dont on peut par conféquent afli-
gner les rapports. Voye^ A r it h m é t iq u e u n iv e r s
e l l e . Cependant jufqu’à M. D e fc a r te s , perfonne
n’ y a v o it penfé , quoique l’Algebre eût déjà fait d’af-
fez grands p ro grès , fur-tout entre les mains de V ie te.
Voye^ A l g è b r e . C ’eft dans la Géométrie de M.
Defcartes que l’on trou v e pour la première fois ^application
de l’Algebre à la Géom étrie , ainfi que des
méthodes excellentes pour perfeâionner l’Algebre
même : ce grand génie a rendu par là un fervice
immortel aux Mathématiques, 8c a donné la clé des
plus grandes découvertes qu’on pût efpérer de faire
dans cette fcience. -
Il a le premier appris à exprimer par des équations
la nature des courbes , à réfoudre par le fe-
cours de ces mêmes courbes, les problèmes de G éo métrie
j enfin à démontrer fouvent les théorèmes de
Géométrie par le fecours du calcul algéb rique, lorf-
qu’il feroit trop pénible de les démontrer autrement
en fe fervant des méthodes ordinaires. On v erra aux
articles C o n s t r u c t io n , Eq u a t io n , C o u r b e ,
en quoi confifte cette application de l’Algebre à la
Géométrie. Nous ignorons fi les anciens avoient quelque
fecours femblable dans leurs recherches : s’ils
n’en ont pas e u , on ne peut que les admirer d’avo ir
été fi loin fans ce fecours. Nous avons le traité d’Ar-
chimede fur les fpirales, 8c fes propres démonftra-
tions ; il eft difficile de fa vo ir li ces démonftrations
expofent précifément la méthode par laquelle il eft
parvenu à découvrir les propriétés des fpirales ; ou
fi après avo ir trouvé ces propriétés par quelque méthode
particulière , il a eu deffein de cacher cette
méthode par des démonftrations embarraffées. Mais
s’ il n’a point en effet fuiv i d’autre méthode que celle
qui eft contenue dans ces démonftrations mêmes, il.
eft étbnnàht qu’il ne fe foit pas égalré ; 8c ôn ne peut
donner une plus grande preuve de la profondeur 8c
de l ’étendue de fon génie : car fiouillaud avoue qu’ il
n’à pas entendu les démonftrations d’Arch imede, 8c
V ie te les a injuftement accufées de paralogifme.
Q u o i qu’il en fo it, ces mêmes démonftrations qui
•ont coûte tant de peine à Bouillaud 8c à V ie t e , 8c
p e u t-ê tre tant à Archimede , peuvent aujourd’hui
être extrêmement facilitées par l’application de l’A lgebre
à la G éométrie. On en peut dire autant de tous
les ouvrages géométriques des anciens, que prefque
perfonne ne lit’ , par la facilité que donne l’Algebre
de réduire leurs démonftrations à quelques lignes de
calcul.
Cependant M. N ew to n , qui cohnoiffoit mieux
qu’un autre tous les avantages de l ’An alyfe dans la
Géométrie , fe plaint en plufieurs endroits de fes ouvrages
, de ce que la leâure des anciens G éomètres
eft abandonnée.
En e f fe t , on regarde communément là méthodè
dont les anciens fe font fervis dans leurs liv res de
Géom étrie , comme plus rigoureufe que celle de l’A-
na ly fe ; 8c c’eft principalement fur cela que font fondées
les plaintes de M. N ew ton , qui craignoit que
par l’ufage trop fréquent de l’A n a ly fe , la G éométrie
ne perdît cette rigueur qui ca ra â érife fes démonftrations.
O n ne peut nier- que ce grand homme ne fût
fo n d é , au moins en pa rtie , à recommander jufqu’à
un certain p o in t , la le âu re des anciens Géomètres.
Leurs démonftrations étant plus difficiles, exercent
davantage l ’e fp r it, l’accoûtument à une application
plus grande, lui donnent plus d’étend u e , 8c le fo rment
à la patience 8c à l ’o piniâtreté, fi néceffaires
pour les découvertes. Mais il ne faut rien outrer ; 8c
li on s’en tenoit à la feule méthode des anciens, il n’y
a pas d’apparence q u e , même av ec le plus grand gén
ie , ôn pût faire dans la Géométrie de grandes décou
v e r te s , ou du moins en aufti grand nombre qu’av
e c le fecours de l ’A n alyje . A l ’égard de l’avantage
qu’on v eut donner aux démonftrations faites à la manière
des anciens, d’être plus rigoureufes que les démonftrations
analytiques ; je doute que cette prétention
foit bieh fondée. J’ouvre les Principes deNewton :
je v o is que tout y eft démontré à la maniéré des anciens;
mais en même tems je v o is clairement queNew-
ton a trouvé fes théorèmes par une autre méthode que
celle par laquelle il les démontre, 8c que fes démonftrations
ne ibnt proprement que des calculs analytiques
qu’il a traduits, 8c déguifes en fubftituant le nom
des lignes à leur valeur algébrique. Si on prétend que
les démonftrations de Newton font rig oureufes , ce
qui eft v rai ; pourquoi les tradüâions de ces démonftrations
en langage algébrique, ne feroient-elles pas
rigoureufes auffi ? Q u e j’appelle une ligne A B , ou
que je la défigne par l’expreffion algébrique a, quelle
différence en peut-il réfulter pour la certitude de la
démonftration ? A la vérité la derniere dénomination
a cela de pa rticulier, que quand j’aurai défigné toutes
les lignes par des caraâeres algébriques, je pourrai
faire fur ces caraâ eres beaucoup d’opéra tions,
fans fonger aux lignes ni à la figure ; mais cela même
eft un avantage ; l ’efprit eft fou la ge , il n’ a pas trop
de toutes fes forces pour réfoudre certains problèmes
, 8c l’Analyfe les épargne autant qu’il eft pof-
lible. Il fuffit de fa vo ir que les principes du calcul
font certains ; la main calcule en toute fû reté , 8c arriv
e prefque machinalement à un réfultat qui donne
le théorème ou le problème que l’on ch e rch oit, 8c
auquel fans cela l’on ne feroit point pa rvenu , ou l’on
ne feroit arrivé qu’av e c beaucoup de peine. Il ne
tiendra qu’à l’Analyfte de donner à fa démonftration
ou a fa folution la rigueur prétendue qu’on croit lui
manquer ; il lui fuffira pour cela de traduire la démonftration
dans le langage des an ciens , comme
Newton a fait les fiennes. Q u ’on fe contente donc
de dire que l’ufage trop fréquent 8c trop facile de
l’An alyfe peut rendre l’efprit pareffeux , 8c on aura
ra ifon , pourvû que l’on convienne en même tems de
la néceffité abfolue de l’Analyfe pour un grand nombre
de recherches ; mais je doute fort que c e t ufage
rende les démonftrations mathématiques moins r igoureufes.
On peut regarder la méthode des anciens
cômme une route d ifficile, tortueufe, embarraffée ,
dans laquelle le Géomètre guide fes leâeurs : l ’Ana-
ly fte p lacé à un point de vû e plus é le v é , v o i t , pour
ainfi dire , cette route d’un coup-d’oeil ; il ne tient
qu’à lui d’en parcourir tous les fentiers , d’y conduire
les au tre s , 8c de les y arrêter auffi long-tems
qu’il le v eu t.
Au refte il y a des cas où l’ufage de l’A n a ly fe , loin
d’abréger les démonftrations, les rendroit au contraire
plus embarraffées. D e ce nombre font entr’autres
plufieurs problèmes ou théorèmes , où il s’agit de
comparer dès angles entr’eiix. C es angles ne font e xprimables
analytiquement que par leurs finus, 8c l’ex-
prelîïon des finus des angles eft fouvent compliquée ;
ce qui rend les conftruâions 8c lès démonftrations
difficiles en fe fervant de l’Analyfe. Au refte , c ’eft
aux grands Géomètres à fa vo ir quand ils doivent faire
ufage de la méthode des an ciens, ou lui préférer
l’Analyfe. Il feroit difficile de donner fur cela des réglés
e x a â es 8c générales.
A p p l ic a t io n de la Géométrie à VAlgèbre. Q u o iqu’il
foit beaucoup plus ordinaire 8c plus commode
d’appliquer l’Algebre à la Géom étrie , que la Géométrie
à l’Algeb re, cependant cette derniere application
à lieu en certains cas. Comme on repréfente les lignes
géométriques par des lettres , on peut quelquefois
représenter par des lignes les grandeurs numériques
que des lettres e xpriment, & ilp eu t même dans quelques
occafions en réfulter plus de fa cilité pour la dé*
monftration de certains théorèmes, ou la réfolution
de certains problèmes. Pour en donner un exemple
fimple, je fuppofe que je v eu ille prendre le quarré de
a + b ; je puis par le calcul algébrique démontrer que
ce quarré contient le quarré de a, plus celui de b, plus
deux fois le produit de a par b. Mais je puis auffi démontrer
cette propôfition en me fervant de la G éo métrie.
Pour cela je n’ ai qu’à faire un quarré, dont
je partagerai la bafe 8c la hauteur chacune en deux
pa rties, dont j’appellerai l’une a, 8c l’autre b; enfuite
tirant par les points de divifion les lignes parallèles
aux côtés du quarré, je diviferai ce quarré en quatre
fu r fa ce s , dont on v er ra au premier coup-d’oe il que
lu n e fera le quarré de a , une autre celui de b, 8c les
deux autres feront chacune un r e â an g le formé de a
8c de b; d’où il s’enfuit que le quarré du binôme a-\-b
contient le quarré de chacune des deux pa rties, plus
deux fois le produit de la première par la fécondé.
C e t e x em ple , très -iimple 8c à la portée de tout le
monde, peut fe rvir à faire v o ir comment on applique
la G éométrie à l ’A lg eb re , c’eft-à-dire comment on
peut fe fe rv ir quelquefois de la Géométrie pour démontrer
les théorèmes d’Algebre.
Au re f te , l’application d e là Géométrie à l’Algebre
n’eft pas fi néceffaire dans l’exemple que nous venons
de rapporter, que dans plufieurs autres, trop compliqués
pour que nous en faffions ici une énumération
fo r t étendue. Nous nous contenterons de dire que la
confidération, par e x em ple , des courbes de genre
parabolique, 8c du cours de ces courbes par rapport
à leur a x e , eft fouvent utile pour démontrer aifé-
ment plufieurs théorèmes fur les équations & fur
leurs racines. Voye^ entr’autres l’ufage que M . l’ab bé
de G u a a fait de ces fortes de courbes, mém. acad.
1 74 1 , pour démontrer la fameufe réglé de Defcartes
fur le nombre des racines des équations, V y . P a r a -
b o r iq u e , C o n s t r u c t io n , &e.