a
i •
If
- 1
•M
456
Seriem numerorum scribere : 8 . 5« 3« 2 . 1 . 1 . quia
tunc e primis terminis lineae laterales computari possunt.
Sic lineam lateralem unicam utrinque hahent
a = 2, quia series 2 • 1 etc.
a == 4, quia series 4 . 8 . 9 . 5 . 1 etc.
a = 5, quia series 5 . 10 . (i . 1 etc.
a = 10, quia series 10 . 1 • etc.
a = 11, quia series 11 . 1 etc.,
Sed a = 13 habet lineas laterales 5, tot quot a = 8
nam series est 8 . 5 • 3 • 10 . 2 . 6 . 7 • 1 etc. quod
facile perspicimus, si pensitamus esse 21 r= 8 + 13. et alteram
convolutionem lineae spiralis alteri contrariam esse.
Regularis est decrescentia divergentiarum, quae igitur
ad differentias constantes redire debet. Habemus in exemplo
nostro: 8 . 5 - 3 . 2 . 1. 1 unde series differentiarum
prima 3 . 2 . 1 et tertia 1 . . Quod sic semper
se habet. Sit — = erunt numeratores: 5 . 8 . 3 .
2 . 7 . 6 . 1 . 4 . 9 etc. et lineae laterales quatuor,
quorum numeratores 5 . 3 . 2 . 1 . 1 . , differentias primas
2 . 1. secundas 1. praebent.
Ob differentias constantes poteris seriem numeratorum,
quae lineas laterales designant, continuare et habebis ex
exemplo nostro 1 . 1 . 2 . 3 . 5 . 8 . 13 . 21 , 34 . 55
. 89 . 144 . 233 . etc. Sit numerus quidam e. g. 34=m,
erit 21 primus terminus in hac serie, quia maximus terminus
in serie linearum lateralium, semper primus in serie
fundamentali est, itaque numerator = m —a = 21 hinc
a — 34 — 21 = 13, et divergentia fundamentalis a
= Eodem modo est —a = -M^. 3 4 2 1
m
13
m 333? 14 4' 8 9? JJ: JTj
457
weil dann aus den ersten Gliedern der Fundamentalreihe
die Seitenlinien zu berechnen sind. So haben auf beiden
Seiten nur eine Längslinie die Stellungen
für a = 2 weil die Reihe 2 • 1 u. s. w.
— a = : 4 — — — 4 -8-9-5- lu. s. w.
— a = 5 — — — 5 . 10 • 6 • 1 u. s. w.
— a = 10 — — ~ 10 • 1 u. s. w.
— a = 11 — — — 11 • 1 u. s. w.
Aber a = 13 hat so viel Seitenlinien als a = denn
die Reihe ist
8 - 5 . 3 10 • 2 . 6 . 7 . 1 etc., wie für a = 8.
Es ist dieses leicht einzusehen^ wenn wir bedenken, dass
21 8 Hh 13 und die eine Drehung der Linie der andern
entgegengesetzt sei.
Diese Abnahme der Divergenzen ist regelmässig, sie
muss also auf beständige Differenzen kommen. Wir haben
in unserm Beispiele 8 » 5 » 3 * 2 * l * l 5 woraus
die erste Differenzenreihe 3 • 2 • 1 und die zweite Differenzreihe
1 • 1. Dies verhält sich immer so. Es sei
a
m
und die Zähler w^erden:
5 . 8 . 3 . 2 . 7 - 6 - 1 . 4 - 9 U . s. w.
Die vier Seitenlinien, deren Zähler 5 • 3 • 2 • 1 • 1, haben
zur ersten Differenz 2 * 1 , zur zweiten 1.
Wegen dieser beständigen Differenzen kann man auch
die Reihe der Zähler, welche Seitenlinien bedeuten, fortsetzen,
und wir haben nach unserm Beispiel
1 . 1 . 2 . 3 • 5 . 8 .13 . 2 1 . 34 . 55 • 89 144 . 233 etc.
Es sei nun irgend eine Zalü, z. B. 34 = m, so wird 21
das erste Glied in der Reihe, weil das grösste Glied in
der Reihe der Seitenlinien immer das erste Giied in der
Fundamentalreihe ist, also der Zähler m — a = 2 1 , folglich
a
a = 3 4 — 21:1=13 und die Fundamentaldivergenz —
Eben so werden die Fundamentaldivergenzen ähnlicher
Rx^eciihiiecnii 2337 144? ^8^9 ? 55? 1314 ' 21? 13? 8? 5? 3? 2 cpin
Wir haben also viel Reihen, die sich alle auf ein System
m
I-,
l i
r i
r
E