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quot gyri sunt, et angulnm modo dictum habebis =
quern angulum divergeiitiae vocamus.
Moneo ángulos in linea spirali non exacte aequales
esse angulis in circulum seu verticillum projectis. Haec
est ratio, cur ángulos metiri non licet (cfr. Braunium
1. c. 237.
Primum igitur folium habebit angulum divergentiae a
linea primaria=—, alterum—, tertium — etc. Cum vero
m m m
divergentiam a linea primaria et quidem minimam tantummodo
quaerimus, habemus Seriem, pro cujusvis folii divergentia
a linea primaria
m — a m—2a m — 3a , m —— 4a ••••m — na
m m m m m
Pro minima distantia habenda numerator ita sumendus est,
uti sit residuum divisiom•s —na, nam si. —na numero intern
m
gro, folium ad lineam primariam redit et series finita est.
Hinc integram habemus Seriem
m ~ a m — 2a m — 3a m—na m — (m—l)a m—ma
m m m m m m
sed ante terminum ultimum finitur, si — = numero intern
gro, uti diximus.
In exemplo allato, ubi a=:8, m=:21 habes numeratores:
8 . 5 . 3 - 1 0 » 2 - 6 ' 7»l-9.4
4 . 9 . 1 . 7. 6 . 2 . 10. 3 . 5 . 8.
Redeunt numeri, ut e forma seriei patet et, si m numerus
impar, medius terminus duplicatur; sufficit itaque dimidiam
Seriem computare, cum altera pars inde simul prodeat.
Folia 21 in gyris 2 . 4 ^ 5 • 8 . 10 • 11 • 13 • dispo^
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düngen der Spirale giebt, und der eben genannte Winkel
a
muss — sein. Er mag der Divergenzwinkel heissen.
Ich muss erinnern, dass die Winkel in der Spirallinie
nicht genau gleich sind den Winkeln, wie sie auf dea
Wirtel oder den Kreis projicirt werden. Dieses ist der
Grund, warum man die Winkel nicht messen darf (s.
B r a u n s Abhandl. S. 237).
Das erste Blatt hat einen Abstand oder Divergenzwinkel
von der Hauptlinie
3a
a
das zweite
2 a ,das dritte
m m
u, s. w. Da wir aber nur den Abstand von der Hauptm
linie, und zwar nur den kleinsten suchen, so haben wir
folgende Reihe für den Abstand eines Blatts von der
Hauptlinie
m — a m — 2a m—3 a m— — 4a •••• m — na
m ' m ' m ' m m
Um den kleinsten Abstand von der Hauptlinie zu finden,
muss man den Zähler so nehmen, dass er den Rest der
IX a n a
Division von —m ist, denn sobald —m in einander aufgeht,
so fällt das Blatt auf die Hauptlinie, und die Reihe ist geschlossen.
Die ganze Reihe ist demnach
m—• —n— a • • •m • -—- —(m —l)a —•m -ma•
' m
m — a m—2a m — 3a
m m m m m
In dem angeführten Beispiele, wo a = 8 , m=21 sind
die Zähler
8 . 5 . 3 . 10. 2 . 6 . 7.1-9. 4
4 . 9 . 1 . 7 . 6 . 2 . 10.3.5. 8
Es kehren also die Zahlen in der zweiten Hälfte wieder,
wie aus der Gestalt der Reihe folgt, und, wenn m eine
ungerade Zahl ist, wird die mittlere Zahl verdoppelt. Man
darf also nur die eine Hälfte der Reilie berechnen, weil
man sodann auch gleich die andere hat. Einundzwanzig
Blätter kann man in 2 • 4 • 5 . 8 . 10 • 11 • 13 Windungen
der Spirallinie stellen, aber nicht in 3 • 6 • 7 • 9 • 12^
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