Mo T R I
■ <& y D de 23 d. 28'. 40". ƒ*. 8 . n°. 3 : dont la projection
fur le plan du colure des folftices eft l’angie
«5 F D ; que la ligne T F — eft tout-à-la-fois l’in-
terfe&ion de l’écliptique de l’équateur. & du colure
de équinoxes , & que l’axe A B lui eft perpendiculaire.
Concevons à préfent que toute la fphere tourne
fur le diamètre A B ; les extrémitésde la ligne y ü
'décriront un cercle y D & C qui eft l’équateur, &
chaque point de l’écliptique décrira un parallèle :
avec cette différence que les lignes menées du centre
F de la fphere jufqu’à ces points ne feront pas
perpendiculaires à l’axe A B ; comme, par exemple,
la ligne F 3 qui fait avec l’axe l’angle A F 3 de 66d.
3 i'. zo". complément de l’obliquité de l’écliptique,
îes angles A F H, & A F V font les complémens de
la déelinaifon dés lignes H & .
Puifque les lignes F 'd , F H , F 3 9 font avec
4’axe un angle qui n’eft pas droit, il fuit qu’elles décriront
chacune la furface d’un cône ; & c’eft l’inter-
feétion de ces furfaces coniques & du plan du cadran
que l’on appelle les a r c s desfignes, lefquels font par
conféquent des ferions coniques. Voyc^ la fig. 18.
n°. 1.
En projettant les déclinaifons 3 D , n , \3 o ,
fur le colure des folftices, on a la figure
fig. 8. h°. 2. & en ajoutant l’angle & D pour la
moitié auftrale de l’écliptique, on a la figure du tri-
gone, dans laquelle on doit remarquer que les lignes
D "jo » D 3 , qui répondent aux tropiques, font en-
femble un angle % D 3 de 46d. 57'. x o n . double
dé l’obliquité de l’écliptique, & que toutes les autres
lignes intermédiaires répondent à deux fignes, parce
qu e , tant dans la partie boréale que méridionale de
l ’écliptique, il y a deux fignes qui ont même décli-
haifon, comme on peut le voir dans la table fui-
yante :
Partie H -------------- Q
boréale, V ------------------ reg
•------- —— y équateur =o*
Partie X ——^— ------ — ni
aufirale , «a -— ;------ • 4-4
;b
C ’eft cette figure qui eft tracée fur l’inftrument
de cuivre ou autre matière , repréfenté fig. 8. n°. 4.
A D eft un bout de réglé fermement attachée à l’inftrument
, & enforte que la ligne A D faffe avec la
ligne D y un angle droit ; au fbmmet de cet angle
eft un petit trou , dans lequel eft paffé un fil D y ,
dont nous allons voir l ’ufage.
On difpofe l’inftrument, enforte que le bout de
réglé A D foit le long de l’axe du cadran , fig. 8.
n°. 3. le point D à l’extrémité du ftile, & le plan de
l’inftrument dans le plan du cercle horaire, fur lequel
on veut opérer ; c’ eft dans la figure dans le plan du
méridien. On prend enfuite le ni D y par l’extrémité
y , Sc on l’étend, enforte qu’il paffe par-deffus
une divifion de l’inftrument ; on fait une marque ƒ à
l’endroit oîi le fil D y rencontre le plan du cadran ;
& cette marque eft un des points par où paffera l’arc
du ligne auquel la divifion dont on s’eft fe rv i, fe
rapporte : c’eft dans notre figure au figne du Q , de
meme aux autres divifions.
Après avoir ainfi trouvé dans un cercle horaire les
rencontres ou extrémités des lignes de l’inftrument
prolongées, on le changera de pofition, enforte que
fon plan coincide avec le plan d’un autre cercle horaire
, dans lequel on trouvera de même les extrémités
a b c o d f g du prolongement des lignes de l’inftru-
ment.
Les triangles A D 0 repréfentent les plans des
cercles horaires ; & il faut que la ligne D y de l’in-
ftrument foit la même que la ligne D 0, Ayant ainfi
T R I
dans chaque ligne horaire les points a b c 0 d fg \
ne refte plus qu’à les joindre les uns aux.autres • fa.
v o ir tous les a enfemble, tous les b;& c. 8t 0n aura
les arcs des fignes t ra c é s , ainfi qu’ils font dans la
j% . /. & d’autant plus e x a& em en t, que le nombre
des lignes horaires fera plus grand.
On doit remarquer que tous les a font eu ligne
droite ; c’eft qu’ils reprefentent l’interfeétion de l’é-
quàteùr & du plan du cadran qui eft une ligne droite
les a b c d fg font des courbes coniques , parce qu’elles
repréfentent l’interfeôion du plan du cadran 8c
des furfaces coniques que décrivent les lignes F V
F H , F 3 »fig. 8 . n°. 3. ces courbes ont un axe commun
y qui eft la fduftilaire.
C e mo yen de trouver les arcs des -fignes, en fe
fervant de l’ inftrument, eft défectueux dans la pratique
; on peut.bien av ec un petit inftrument prendre
des an gle s, dont les côtés font très-grands , mais on
ne peut pas de même en tracer : & c’eft cependant
ce qu’il faudroit faire; V o ic i une autre méthode fondée
fur la même théorie.
Il faut tracer en grand fur un mur,oufurle plancher
la figure du trigone telle qu’elle eft repréfentée,fig. 8.
n ° . 3 . fur la ligne y D , élever la perpendiculaire
D A , égale à la longueur A D de l’axe ; prendre
enfuite fur la ligne D y l’intervalle D 0 , égal aux
lignes Z? o de la figure 2; mener enfuite la ligne M,
qui fera coupée par les lignes du trigone aux points
a b co d fg ; qu’il faut enfuite rapporter fur la ligne
horaire , à laquelle appartient le D o dont on s’eft
fe rvi ; procéder ainfi fur chaque ligne ho ra ire , 8c
joindre enfuite enfemble tous les a b co d fg , comme
dans la première méthode.
. T R IG O N E L L A , f. f. ( Hiß. nat. Bot.) ce genre
de plante établi par Linnæus, renferme le foenugrec
des autres botaniftes ; en v o ic i les caractères. Le calice
eft formé d ’une feule feuille , en c lo ch e , léêé-
• rement découpée en cinq fegmens , pointus , & à-
peu-près égaux ; la couronne de la fleur eft légumi-
neufe , & femble formée de trois pétales ; l’étendart
eft ovale , o b tu s , & recourbé en arrié ré , enforte
que fes deux ailes femblent former une fleur à trois
pétales ordinaires ; le pétale inférieur eft très-court,
obtus , 8c occupe le milieu ; le s . étamines font des
filets c o u r ts , formant deux corps ; les fommets font
fimples ; le germe du piftil eft o v a le , oblong ; le ftile
eft fimple 8c droit ; le ftigma eft pareillement lim-
p le ; le fruit eft une gonfle applatie, de forme ovale,
oblongue, 8c contenant piufieurs graines arrondies ;
la feule forme de la fleur eft fuflifante pour diftinguer
ce genre de plante de tous les autres de cette claffe.
L in næ i, g e n . p l a n t , p . 3 6 2 . T o u rn e fo r t, i n f l . p , 2 7 0 .
Rivin , p . 4 8 y . ■ ( D . J . )
TR IG O N E L L E , ( Hiß. nat. ) efpece de coquille
fofîile qui eft d’une forme triangulaire.
T R IG O N O M É T R IE , f. f. ( Géom. ) eft l’art de
trouver les parties inconnues d’un triangle, par le
moyen de celles qu’on connoit. T riangle.
Connoiffant par exemple les deux côtés A B , AC
8c un angle B , on trouve par la trigonométrieles deux
autres angles A , C, & le troifieme côté B C. PI. de la.
trigonométrie, fig. 2.
Le mot de trigonométrie lignifie proprement mefure
de triangle ; il eft compofé du mot g rec r p iy o v o ç , triangle,
& de p i l p o v , mefure. Cependant il ne lignifie pas
aujourd’hui la mefure de l ’aire des triangles, ce qui
appartient à la partie de la géométrie qu’on appelle
planimètrie ; mais il v eu t dire la fcience qui traite des
lignes & des angles des triangles.
Va. trigonométrie eft de la plus grande néceflîté dans
la pratique ; c’eft par fon fecours qu’on v ient à bout
de la plupart des opérations de la géométrie pratique,
& de l’aftrooomie. Sans cette fcience nous ignorerions
encore la circonférence de la t e r r e , les diftances
T R ï
ces & les moùveméhs des aftres ; fions fie pourrions,
point prédire leurs éclipfes , &c. On peut donc dire
fans exagération , que la trigonométrie eft nfi art par
lequel une infinité de çhofes naturellement cachées ,
& hors de la portée des hommes, ofit été manifeftées
à leur intelligence : quiconque l’ignore ne peut faire
aucun progrès dans les mathématiques mixtes, & fe
trouve arreté à tout moment dans la phyfiqùe.
La trigonométrie » ou la réfolutiôn des triangles f
eft fondée fur la proportion mutuelle qui eft entre les
côtés &Ies angles d’un triangle ,, cette proportion fe
dëtefmine par le rapport qui régné entre le rayon
d’un cercle , & certaines lignes que l’on appelle
•des., finus , tangentes , & fécantes. Viye^ $ IN U S ,
Tangente , 6* Sécante*
On obfervera que tous les problèmes.trigoniamétri-
WM peuvent fe refoudre par lefeul fecours des triangles
lemblables , fans employer les finus ou leurs lo-
oarithmes ; mais cette méthode, quoique rigoureu-
fement démontrée à l’efprit, n’eft pas aufli fayante,
ni aufli fure, & aufli expéditive dans la pratique, que
celle des finus : on a même fait voir dans les inflitu-
tions de géométrie, qui fe vendent chez de Bure l’ainé-,
à Paris , que l’on po.uvoit, fans faire ufage des finus,
ni même des triangles femblables, déterminer les distances
inaccéflibles, horifontales, élevées au-deffus
de l’horifon, ou inclinées au-deflous ; trouver la valeur
d’un angle inaçceffible ; mener une parallèle à
uné ligné inacceflible, f ie . & cela avec la fimple Con-
hoiflance de ee$ deux proportions ; les trois angles
£un triangle, pris enfemble, fon t égaux à la fomme de
deux angles droits ; & dans un. triangle, les angles
égaux fon t 'oppofès à des cotés égaux ; de forte qu’en
deux jours de'gépmétrie lfon peut fe mettre en état
d’entendre toute la théorie,-de la trigonométrie rectiligne
, ce qui eft d’un aflez loM detail par les. autres
méthodes 6$ remarquera auffi dans ces infirmions,
que tous ies problèmes de la trigonométrie , qui eni-
ploient les finus, peuvent fe réfoudre par cette pro-
pofition-ùhique : les finus dés angles font entre eux
comme les côtes oppofés à ces angles.
■ Le rapport des frnus & des tangentes au rayon,
eft quelquefois exprimé en nombres naturels , &
forme alors ce qu’on appelle la table des finus, naturels,
tangentesx &e> _,
Quelquefois aufli il eft exprimé en logarithinés', &
en ce cas e’eft çe- qu’on appelle la table des finus ani-
ficiels ou logarithmiques, &ç. Voye^ T able.
Enfin ce rapport eft aufli exprimé par des parties
prifes fur une échelle , qu’on appelle alors la ligne
des finus des tangentes, &c. Voy. LIGNE &" Ech elle.
La trigopornçtrie eft divifée en trigonométrie rectiligne
, & en trigonométrie fphcriqtie. La première ne regarde
que les triangles reélilignes ; la fécondé conli-
dere les triangles fpnériques. •.
Éa trigonométrie rectiligne eft d un ufage continuel
dans .la pavigation , l’arpentage, la géodéfie , & autres
dpétatipns géométriques.. Voÿe^Mesure, Ar-
ÇENTAGE,,_I'l4Y:l^ATlON, f i e .
La trigonométriefp hérique eft plus favante ; elle eft
d’ufage principalement daqs l’aftronomie, & les arts
ouïes fpienççs qui en dépendent, compte la géographie
8c la gnpmonique. ÉUe paffe pour être extrème-
pient difficile , à çaufe du grand nombre de cas qui
la compliquent ; mais M. Wolf en a écarté les plus
grandes difficultés. Cet auteur ne s’eft pas contente
de faire voir que tous les cas des triangles peuvent
être .réfplus .par les méthodes ordinaires , en employant
les réglés des.finus & des tangentes; niais il
a donné une réglé générale, par laquelle tous les
problèmes des triangles reûilignes & fphériqiies font
réfolus ; il enfeignp même à réfoudre les triangles
obliquangles avec autant de facilité que les autres.
Qn trouvera fa méthpde au mot Triangle.
Tome X P Ik
T R I 641
La trigonométrie rectiligne eft l’art de trouver toutes
les parties d’un triangle reftiligne, par le moyen de
quelques - unes de ces parties que l’on fuppole données.
Le principe fondamental dé cette trigonométrie,
Confifte en ce que les finus des angles font entr’eux dans
le même rapport que les côtés oppofés. Vùye^ l’application
de çe principe à piufieurs cas des triangles
reâilignes , à C article T riangle.
La trïgonomàfie fphérique eft l’art pàr îéqtiel trois
des parties d’un triangle fphérique étant données ,
on trouve toutes les autres. Qu’on cônnoiffè par
exemple , deux côtés & un angle, on trouvera les
deux autrés angles & le troifieme côté. Voye^ Sphérique.
Voici lés principes dé' Ta trigonométrie fphérique,
fùivant la réforme ou la do&rine de Wolf. i°. Dans
tout triangle fphérique A B C , reétangle en A , le finus
total ëft au finus de l’hypothéniife BC ; ( Pl.tri-
gon. fig. x i3),comme le finus de l’ùn des deux angles
aigus C, eft au finus du côté ôppofé A B ; ou comme
le finus de l’angle B , au finùs de fon côté oppofé A C :
d’où il fuit que le rectangle fous le finus total, & fous
le finus d’un de ces côtes , èft égal au re&angle fous
le finus de l’angle oppofé à ce cô té, & fous le finùs
de l’hypothénufe.'' "
Comme c’eft ici la dôélrine de M. W o lf , il eft né-
ceffaire d’expliquer quelques termes qui font particuliers
à cet auteur. Suppofant le triangle reôanglé
B A C ( PI. de trigonOm. fig. 33. ) , il appelle partie
moyenne celle qui fe trouve enfre deux autres , con-
fidérée comme extrêmes ï àinfi prenant les cotes AB-,
B C , pouf extrêmes „ l’angle, 5 fera la partie moyenne :
fi les parties que l’on çônfidere comme -extrêmes font
contiguës avec la moyenne -, ou que l’angle droit A fè
trouve entre la moyenne & l’uné des.extrêmes , il les
nommé parties conjointes; Par exemple , B etânt la
partie moyenne , A B & Z?Ç feront les parties cônjoin--
tes. Si A B eft moyenne, A C & B feront les conjointes
: fi c’ eft le côté B C , en ce cas lés àngles B C, le
feront : eft-ce l’angle C, on aura pour conjointes lés
côtés BC, CA : enfin fi lè côté A C eft moyenne, l’angle
C & le côte A B feront les parties conjointes.
Mais fi entre les parties qui font à la place dés 'extrêmes
, & la moyenne, il fe trouvé quelqu’autre partie
différente de l’angle droit, alors il les appelle parties
disjointes : par exemple , l’angle B étant la moyenne
, le côté AC, & l’angle C feront les disjointes ; car
entre la partie moyenne B & Y extrême C , fe trouve
l’hypothénufe BC; entre la moyenne B & l’autre extreme
A C , il y a le côté A B , outre l’angle droit A ;
que l’on ne çônfidere point ici : ainfi le coteAB étant
moyenne , le côté BC , & l’angle C feront les parties
disjointes : fi c’eft le côté BC -, les disjointes feront
A B , AC. Quand ce fera l’angle C , l’angle B , & lé
côté A B , feront les disjointes : enfin fi lé côté A C eft
la moyenne, le côté B C , & Tangle B fetont les parties
disjointes. Cela fuppofé, dans tout triangle rectangle
A B C (fig. 32. ) i dont aitcun côté n’eft un
quart de cercle ; fi on prend les complémens des cô-
| tés A C , ou A C à la place de ces côtés, té fe&gnglé
j du finus total, parle co-finus de là partie moy 'eitne -,
| eft égal au reftangle des parties disjointes ou extrêmes.
JD’où ii fuit i °; en employant les finus Logarithmiques
à la place des naturels, que le finus tôtal ajouté
avec le co-finus de la partit moyenne, eft égal à la
I fomme dés finus des parties disjointes.
2°. Puifque dans le triangle reftiligne A B C (fig:
3 2. ) , le finus total eft à l’hÿpothénufe B C , comme
le finus de l’angle B ou C au finus du côté oppofé AC
ou AB": fi au-lieu des finus des cotés j ôn prend les
.côtés mêmes, il fera encore v ra i, dans ce cas, que lé
co-finus de la partie moy enne A C ou A B ; ou bien
que A C ou A B joint au finus total fera égal à la fom-
M Mm m