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eues , les côtés font proportioned aux fmus des angles
oppofés.
- i6°. Dans tous les triangles plans , la fomme des
deux côtés eft à leur différence, comme la tangente
de la moitié de la fomme des angles oppofes eft à la
tangente de la moitié de leur difference. > ^
170. Si l’on fait tomber une perpendiculaire fur la
bafe d’un triangle oblicjuangle ,la difference des quar-
rés des côtés eft égale au double du reâangle fous la
bafe & la diftance qu’il y a de la perpendiculaire au
milieu de la bafe. ,
. rg°. Les côtés d’un triangle font coupes proportionnellement,
par une ligne qu’on tire parallèlement
à la bafe. . ,
. io°. Un triangle entier eft a un triangle coupe par
une ligne droite , comme le re&angle fous les côtés
coupés eft au re&angle des deux autres côtes.
• ao°. Dans un triangle re&iligne une ligne de l’angle
droit perpendiculairement fur l’hypothenufe ,
divife le triangle en deux autres triangles re&ilignes,
lefquels font femblables au premier triangle, & run à
l ’autre. , . ,,,
2 i° . En tout triangle retlangle le quarré de ln y -
pothenufe eft égal à la fomme des quarrés des deux
autres côtés. Voye{ Hypo th enu s e . #
. 22°. Si quelqu’angle d’un triangle eft coupe en deux
parties égales, la ligne qui le coupe divifera le côté
©ppofé proportionellement aux cotes qui forment
cet angle, Voye^ Bissec tio n .
230. Si l’angle du fommet de quelque triangle eft
coupé en deux parties égalés, la difference des rectangles
faits par les côtés & par les fegmens de la bafe
, eft égaie au quarré de la ligne qui coupé l’angle
en deux.
240. Si une ligne droite B E {fig, 78, ) coupe en
dent un angle A B C d’un triangle, le quarré de ladite
Kgne B E z ^ A B + B C — A E + -£C. Newton;àthlu
univetf.- - ■ \ ' ........‘ '
Pour divifer un triangle dans un certain nombre
donné de parties é g a le s , divifez la bafe CD {fig. 7 7.)
en autant de parties égales qu’il s’agit de divifer la
figure , & tirez les lignes A 1 , A 2 , &c.
Sur les propriétés des triangles fphériques. Voyez
Sph é r iq u e . , .
TRIANGLE, en terme de Trigonométrie. La folution
ou analyfe des triangles eft du reflort de là trigonométrie.
■ F~oye^ les figures de TRIGONOMETRIE.
Les différèns cas peuvent être réduits aux problèmes
fuivansw
• Solution des triangles plans. i° . Deux angles A & C
{tabl. trigon.fig.z6'.') étant donnés conjointement avec
le côté A B , oppofé à l’un de Ces deux angles C; pour
trouver le côté B C , oppofe à 1 autre angle A , en
Voici la réglé : le finus de l’angle Ceft au cote donne
A B , qui lui eft oppofé , comme le finus de l’autre
angle A eft au côté que l’on cherche.
C’eft pourquoi le côté BC fe trouve aifément par
les logarithmes ou par la regie de trois ou de p roportio
n . f^oye[ Lo g a r it h m e .
r.. Car par exemple, fuppofez C = 48d. 35•/. A =
57*1. 28'. A B — y f . l’opération fe fait de Cette maniéré.
. r
Log. du finus de C , 9.8750142
Log. de M B 1 1. 8692317
Log. du finus de A , 9.9258681
Log. de BC ÿ 1.9200856
Le noriibre qui répond à cela dans la table dés logarithmes
eft 83, qui eft la quantité du côté que l’on
cherchoit. î ;
2°. Deux côtés A B & B C , ayant été donnes conjointement
avec l’angle C , oppofé à l’un des deux,
nour troiiver les autres angles A & B | voici la regle
: un côté A B eft au finus de l’ angle' donné C, &
oppofé à ce côté, comme l’autre côté BC eft au fi.
pus de l’angle oppofé que l’on cherche*
Par exemple,
Suppofez A B — 9 4 ', B C ■ =. 6 9 ', C = 72*.
Log. de A B , 1.9731279
Log» du finus de C , 9. 9788175
Log. de B C ,
Somme deslogarhh du, I I i l 7 6666
finus de C ol de B D , S
Log. du finus de A , 9. 94443 87
Le nombre qui répond à cela dans la table dés logarithmes
eft 61 d. 3 7 & comme l’angle donné C eft
de 7 20. 15'. la fomme des deux autres 133°. 52'.
étant fouftraite de 180, total des trois , vous aurez
46°. 8'. pour l’autre angle B que vous cherchiez.
De même fuppofez que dans un triangle re&angle
{ fig. 28.) outre l’angle droit A on ait donné l’hypo-
thenufe BC— 49, & la cathete A C— 36 pour trouver
l’angle B , voici comme on opéré.
Log. de B C , 1.6901961
Log. de tout le finus, 10.0000000
Log. de A C , 1. 5563025
Log. du finus de B 9. 8661064
Le nombre qui répond à cela dans la table des logarithmes
eft 470. 16'. par conféquent C = 420. 44'.
30. Deux côtés B A & A C , & l’angle A compris
entre ces côtés étant donnés, pour trouver les deux
autres angles.
I. Si le triangle A B C eft rettangle , prenez un des
Cotés, qui forment l’angle droit, comme A B , pour
rayon , pour lors CA fera la tangente de l’angle oppofé
B , en ce cas la réglé eft qu’un côté A B eft à
l’autre A C , comme le finus total eft à la tangente de
l’angle B.
Par exemple,
Suppofé B A — 79 & A C — 54
Logarithme de B A , 18976291
Log.de A C , ,17323938
Log. du finus total, 100000000
% Log. de la tang. de B, 9. 8347667
Le nombre qui répond à cela, dans la table des logarithmes
, eft 34°. 2R. par conséquent l’angle C eft de MH II. Si l’angle A eft oblique ( fig. 26. ) , il faut faire
cette proportion, la fomme des.côtés donnes A B &L
A C eft à leur différence -, comme la tangente de la
moitié delà fomme des angles cherchés C & B eft à
la tangente de la moitié de leur différence : c’eft pourquoi
en ajoutant la moitié de la différence à la moitié
de la fomme, ce total donnera le plus grand angle C,
& en ôtant la moitié de la différence de la moitié de
la fomme , le reliant fera le plus petit angle B.
Par exemple,
Suppofez A B = 75'. A C 58'. A 108°. 24'. alors
■ A B 7%,-A B 75/. A-\-B+C 1 7 9 0. 60'.
A C 58 A Q 58 A 108 24
Somme 133. diff. 17 B-\ -C 71 36
1 {B + C) 3 5 48
Log. de A B + A C 2. 1238516
Log. de A B — A C 1. 2304489
Log. delà tang. v ( B + C ) 9. 8580694
Somme des log. 12.0885183
Log. de la tang. 7 {C—B ) 8.6946667 le nombre
qui répond à cela eft 50. 16'.
., i ( ü I I I = 3 5°. 48'. S f B + O = 35°. 48 .
' 50. 16'. ; ( C - £ ) = 5°. i<* •
T R I
Les 3 côtés A B , C D , & CA , fig . 28 . étant
donnés, pour trouver les angles A , B , & C, du
fommet de l’angle A avec l’étendue du plus petit côté
A B , décrivez un cercle : alors C D ie ra A C & A B ;
gr C Fiera leur différence. La regie eft donc que la
bafe BC, eft la fomme des côtés C D , comme la différence
des côtés CF eft au fegment de la bafe CG*
Ce fegment ainfi trouvé étant fouftrait de la bafe
C B , le reliant eft la corde GB. Enfuite du point A
abaiffez la perpendiculaire A E fur la corde B G ,
pour lors B E — EG — { GB.
Ainfi dans un triangle rectangle A E B , les côtés
A B & B E étant donnés ; où dans un triangle obli-
quangle A C E , les côtés A C 6c CE étant donnés : les
angles B & A font trouvés*
Par exemple,
Suppofé A B = 3 6 , A C = 45 , B C— 40
A C — 45 ^C== 45
A B = 36 A B = 36 ______
A 6 + A B — % 1 , F C 9
Log. de B C— 1.6020600
Log. de A C - f A B 1.9084850
. Log. de F C g .;- 0 .9 54242 5
Somme des log. — 2.8627275
Log. de C G = 1. 2606675. k nombre qui y
répond dans les tables eft 18.
B C — 4000 E G = 1089
C G — 1822 C G •= 1822
B G — 2178 C E = 2911
B E = 1089
Log. de A B = 3.5563025
Log. du finus total — 10.0000000
Log, de E B 3.0370279
Log» du finus d eE A B s= 9. 4807254, le nombre
qui y répond dans les tables eft 170» 3 6'. par confé*
quent l’angle A B E eft de 720* 14!.
Log. d eACz=± 3.6532125
1 Log. du finus total • 10.0000000
Log, de C E = _ 3.4640422
Log. du finus total 9. 8108297. le nombre
qui y répond dans les tables, eft 400* 18'. par confé*
quent ACE eft de 490. 42'. & CAB eft de 570* 54'.
Solution des triangles rectangles fphériques par les regies
communes. I. Dans un triangle reélangle fphéri-
quë deux parties quelconques étant données, outre
l’angle droit, pour trouver le refte -,
i°* il faut confidérer fi les parties dont il eft quef-
tion font conjointes ou disjointes. Si les parties dif-
jointes font oppofées l’ime à l’autre, comme fi l’h y pothenufe
B C & l’angle C , fig. 2$. font donnés ;
pour trouver le côté oppofé A B , voici quelle eft la
regie ; le finus total eft au finus de l’hypothénufe
BC, comme le finus de l’angle C eft au finus du côté
oppofé AB.
20. Si les parties disjointes ne font point oppofées
l’une à l’autre, comme fi A B & l’angle adjacent B
font donnés ; pour avoir l’angle oppofé C, les côtés
du triangle doivent être continues du même côté ,
jufqu! à ce qu’ils faffent des quarts de cercle, afin que
par ce moyen vous ayez un nouveau triangle i dans
lequel les parties dont il eft queftion foient oppofées
mutuellement les unes aux autres ; comme dans le cas
prefent le triangle E B F , oit nous avons le côté B F
donné, qui eft le complément du côté A B , & l ’angle
B pour E F , complément de l’angle C : voici donc
la regies qu’il faut fuivre. Le finus total eft au finus
de B F , comme le finus de l’angle B eft au finus E F ,
ou co-finus de C. '
3 • Si l’hypothénufe ne fè trouve point parmi les
parties conjointes, cOmmelorfque les côtés A B &
ACionx. donnés , pour avoir un angle oppofé à l’un
des deux -, il faut dire le.finus de A C eft au finus to-
T R I Cti
tâ l, Cdmittê là tangente de A B eA à la tangente
de G.
4°* Mais fi l’hypothénufe fe trouve parmi ies parties
conjointes, comme fi l’hypothénufe BC & l’angle
C font donnés, pour trouver le côté adjacent
A C ; les côtés du triangle doivent être continués du
même cô té, jufqu’à ce qu’ils faffent des quarts de
cercle, afin que l’on ait un nouveau triangle, dans
lequel l’hypothénufe ne fe trouve point parmi les
parties dont il eft queftion; par exemple, dans le cas
préfent E B Fdans lequel font donnés le complément
E B de l’hypothénufe B C , le complément de l’angle
C , & l’angle ^complément du côté AC. Puis
donc que dans le triangle E F B , l’hypothénufe n’entre
pas dans la queftion, la réglé eft la même que ci-*
deffus : c’eft-à-dire, que le finus de E F ou co-finus
de C , eft au finus total, comme la tangente de E B ,
ou co-tangente de BC eft la tangente de A’ou co-tan-*
gente de AC*
5°* Quand les côtes d’un triangle doivent être continués
, il n’importe de quel côté que ce foit, pourvu
qu’il ne foit pas queftion d’un angle aigu, autrement
les côtés doivent être continués par l’autre angle obli-*
que : fi les deux côtés font dans la connexion, ils doi-*
vent être continués par l’angle adjacent au côté en
queftion*
C ’eft ainfi qu’on peut'toüjours former un triangle,
oii l ’on trouve par la réglé des finus ou des tangentes
les parties que l’on cherche.
Solution des triangles rectangles fphériques par uni-
réglé univerfelle. Confidérez, comme ci-deffus, fi les
parties dont il eft queftion font conjointes ou disjointes.
Si l’un des deux cô té s, qui forment l’angle d ro it,
Ou même fi ces deux côtés entrent dans la queftion,
en leur place , il faut mettre parmi les données leur,
complément à un quart de c e rd e : a lo rs, puifque,'
fuivant la réglé univerfelle, fi connue dans ce tte
T r ig o n o m é t r ie , le finus total avec le finus dix
complément de la partie m o yenne, eft égal aux finus
des parties disjointes, & aux co-tangentes des
parties conjointes ; ôtez du total de ces chofes données
, la troifieme partie d o n n é e , le refte fera quelque
finus ou tan g e n te , & le côté ou l’angle qui y
répond dans la table des logarithmes, eft le côté o u
l’angle que vous Cherchez.
Comme la réglé univerfelle ou générale eft d’un
grand fecours dans la Trigonométrie, nous en ferons
l’application à différèns cas, & nous en apporterons
des exemples qui dans les cas des parties conjointes
& disjointes répandront auffi de la lumière
fur la méthode commune : mais dans les cas des parties
contiguës , il faudra avoir recours à d’autres fo-
lutions.
i° . L’hypothénufe B C =2 60A ; & l’angle C =3
23d. .30'. étant donnés ; trouver le côté oppofé
A B , fig, 22. puifque A 3 eft la partie moyenne,
C & B C font parties disjointes, voyeç Parties ; le
finus total, avec le co-finus du complément A B ,
,c’eft-à-dire , avec le finus même de A B , eft égal
___aux rf.in_us_, dj e„ C/-> , &». Bd C/-».
C’eft pourquoi fi du finus de C 96006997.
& du finus de B C. . * * . . * . * . » 99375306
Somme . . . . . . . . . . 195381363'
Vous ôtez le finus total........................100000000
Refte le finus de A B ..............* . * . 95382303
Le nombre qui y répond dans la table eft 20 d.
12'. 6.".-o:
2°. L’hypothénufe B Ç = 6p d* & là jambe A =3
20 d. 12 '. 6 étant données, trouver l’angle oppo*
i é c . ' I .. - ,;î
Il paroît par lë problème précédent que de la fomme
du finus total-, &' du finus du côté A B , il faut