» de quarante-huit piés ou de huit toifes, non com-
» pris l ’efpace occupé par les officiers.
» Si le bataillon n’eft que fur quatre rangs, il n’au-
» ra que trente-fix piés de profondeur, attendu que
» fes rangs ne donneront que trois intervalles : mais
» alors fon front augmentera car fix cents cinquan-
» te divifés par quatre, donnent cents foixante-deux
» hommes par chaque rang : multipliant ces hommes
» par les deux piés qu’ils occupent fur le terrein, on
■ » aura trois cents vingt-quatre piés , ou cinquante-
» quatre toifes pour le front du même bataillon.
» Ce modèle de calcul ou de fupputation peut
» fervirpour toutes fortes de bataillons dont le nom-
-» bre d’hommes fera connu , de même que celui des
» rangs : dans tous les cas il formera toujours un
» reftangle beaucoup plus étendu fur une dimen-
» fion que fur l’autre ». RJpii f UT Cajlramétation ,
par M. le Blond.
Bataillon quarré , eft un bataillon dont les
foldats font arrangés de maniéré que les rangs font
égaux aux files, en forte que les quatre côtés qui le
terminent contiennent le même nombre d’hommes.
Voyt{ Bile.
Il y a deux fortes de bataillons quarrés j fa voir, à
-centre plein , & à centre vuide.
Le bataillon quarré à contre plein , eft celui dont les
hommes font placés tout de fuite , ne laiflant que
l’intervalle ordinaire des rangs & des files.
Le bataillon quatre à centre vuide, eft celuiqüilaifle
dans fon centre un efpace vuide defoldats, & qui eft
affez confidérable eu égard au terrein occupé par le
'bataillon.
Le bataillon quarré à centre plein eft très-aifé à former.
Ceux qui ont quelque connoiffance de l’extraction
de la racine quarrée, n’y peuvent pas être em-
barraffés ; car extrayant la racine quarrée du nombre
d’hommes dont le bataillon doit être compofé , on
trouve d’abord la quantité dont chaque côté doit
être compofé.
Ce bataillon eft affez peu d’ufage dans la Ta&ique
moderne.
i° . Parce que le feu des ennemis, & principalement
celui du canon, y peut faire un très-grand de-
for dre.
i ° . Parce que les foldats du centre ne peuvent
préferire pas fe fervir de leur feu contre l’ennemi.
M. le chevalier de Folard eft prefque le feul qui en
preferive l’ufage : fa colonne n’eft autre chofe que
deux ou trois bataillons à centre plein placés fans intervalle
les uns derrière les autres. Vy e[ Colonne.
Le bataillon à centre vuide préfente , comme celui
qui eft à centre plein, des hommes de tous côtés. On
prétend que le fameux Maurice de Naffau a été le
premier qui ait trouvé l’ufage de vuider le centre des
bataillons.
Le bataillon à centre vuide n’a pas plus de difficulté
dans fa formation que celui à centre plein : un exemple
fnffira pour en donner une idée.
Soit un nombre d’hommes quelconque , comme
2 200 y dont on veut faire un bataillon quarré à centre
vuide, de maniéré que le côté du quarré vuide , par
exemple , ait douze hommes.
Il faut retrancher deux unités du nombre 1z , parce
que le côté du quarré vuide, s’il étoit rempli
d’hommes, en contiendroit deux de moins que le dernier
rang intérieur de la partie du quarré qui eft rempli
: ôtant donc z de 12 , il refte 10 qu’il fautquarrer,
& l’on aura 100 » que l’on ajoutera au nombre donné
1100. Ces deux nombres ajoutés enfemble donneront
1300, dont on extraira la racine quarrée qu’on trouvera
être 36 ; il reliera quatre hommes qu’on pourra
placer dans le centre du bataillon.
Racine.'
* 3
}36.
9 4 o o
6 6
R e fte ...............4. Voyt{ Racine quarrée 1
Préfentement pour former le bataillon, je confi-
dereque s’il étoit plein, & qu’il fût de 1300, toutes
les files & tous les rangs feroient de 36 hommes :
mais il doit y avoir un vuide dans le milieu du bataillon
de dix hommes ; donc dans cetendroit les files
n’auront que z6 hommes ; c’ eft-à-dire 36 moins 10:
mais ces dix hommes doivent diminuer également les
demi-files du milieu ; elles n’auront donc chacune
que 13 hommes ; d’oii il fuit qu’il n’y aura dans cet
exemple que 13 rangs de 36 hommes dans le bataillon
, à commencer de la tête & de la queue du bataillon
, & de la droite à la gauche. Arrangeant ainfi le
bataillon , il reliera le vuide demandé ; & alors chaque
côté du quarré intérieur fera de 12 hommes ,
c’eft-à-dire, de deux hommes de plus à chaque côté
que le côté 10 n’en a.
Pour la preuve il fuffit de confidérer qu’ayant
ajouté au nombre propofé , le nombre d’nommes
qu’occuperoit l’efpace qu’on veut laiffer vuide dans
le bataillon , on peut alors regarder le nombre propofé
augmenté de ce dernier , comme le nombre
d’hommes dont il faut extraire la racine quarrée:
laquelle racine donnera le nombre des hommes,
des rangs & des files d’un tel quarré. Or retranchant
vers le milieu le nombre qu’on a ajoûté à chaque file ,
il reliera pour le bataillon difpofé en quarré le nombre
d’hommes qui avoit d’abord été propofé : cela
eft évident.
On peut par cette même méthode, lorfqu’un nombre
d’hommes eft donné, en former un bataillon quarré
qui paroiffe d’un bien plus grand nombre d’hommes
: car li l’on a , par exemple, 1200 hommes, dont
on veuille former un bataillon quarré qui paroiffe
3000 , on extraira la racine quarrée de ce dernier
nombre, laquelle fera trouvée de 54, avec un relie
84 qu’on peut négliger ; ce nombre feroit celui des
hommes de chaque rang, de chaque file d’un bataillon
quarré à centre plein de 3000 : mais comme on a ajoûté
1800 hommes au nombre donné i 200, il faut retrancher
du dedans de l’intérieur du bataillon l’efpace
qu’occuperoient ces 1800hommes. Pour cela il faut
extraire la racine quarrée de 1800, laquelle eft 42 ;
c’eft le nombre d’hommes qu’il faut retrancher des
files du milieu du bataillonplein. Ces files font de 54,
defquelles ôtant 42, il refte 12, dont la moitié 6 eft
le nombre des rangs de la tête &C de la queue du bataillon
, de même que de ceux de la droite & de la
gauche. Ainfi par cette formation les 1200 hommes
donnés occuperont l’efpace d’un bataillon à centre
plein de 3000 ; & ils feront rangés fur fix de hauteur
ou de file fur chaque côté du bataillon. Traité de l'A rithmétique
& de la Géométrie de l'officier par M. Leblond.
Bataillon rond , eft celui dont les foldats font
rangés circulairement, en formant plufieurs circonférences
concentriques.
Ce bataillonzété fort en ufage parmi les Romains;
c’eft ce qu’ils appelloient in orbem : on en voit plufieurs
exemples dans les commentaires de Céfar. Feu
M. le maréchal de Puyfegur faifoit cas de ce bataillon.
Bataillon triangulaire , eft un corps de
troupes difpofé en triangle , & dont les rangs augmentant
également, forment une progreffion arithmétique.
Si le premier rang eft un, & que le5 autres augmentent
chacun d’une unité, le bataillon formera urt
triangle qui aura les trois côtés égaux, c’eil-à-dire
qu’il lëra équilatéral ; autrement il formera un triangle
quelconque.
Problème pour la formation du bataillon triangulaire
équilatéral : un nombre d'hommes quelconque , par exemple
400, étant donné pour en former un bataillon équilatéral
, trouver le nombre des rangs dont il fera compofé.
Comme dans Ce bataillon le premier rang eft 1 , le
fécond 2, le troifieme 3 , &c. il s’enfuit que ce problème
fe réduit à trouver le nombre des termes d’une
progreffion arithmétique, dont le premier terme
eft 1 , la différence auffi 1 , & la fomme 400. V Progression arithmétique.
Solution. Soit le nombre des termes de la progreffion
repréfenté par n , le dernier fera auffi n ;
car il fera l’unité prife autant de fois qu’il y a de
termes.
Cela pofe, la fomme des extrêmes de la progreffion
fera 1 + n , laquelle multipliée par le nombre
des termes n , donnera n -f- nn ou nn + n y pour lé
double de la fomme de la progreffion ; c’eft-à-dire
que cette expreffion nn + n t fera égale à deux fois
400 ou à 800. Or nn eft le quarré du nombre des
termes de la progreffion, n en eft la racine : donc
800 contient le quarré du nombre des termes de la
progreffion, plus la racine de ce quarré.
Il fuit de-là que pour avoir la valeur d e n , ou le
nombre des termes de la progreffion, il faut extraire
la racine quarrée de 800, de maniéré qu’il y ait un
refte égal à la racine, ou qui la contienne.
Extrayant donc la racine "j
quarrée de 8'ç>o, on trouve |
■
28 avec le refte 16; mais, }
comme ce refte eft plus pe-1
tit que la racine 28, on met Refte *
7 à la place de 8. S.
Et achevant l’opération,
on a le refte 7 1, qui contient
la racine 27 ; ainfi 27 eft le
nombre des termes ou des
rangs du bataillon.
8100'm 400 l '
4 T
Refte 7 1
Pour le prouver, il faut chercher quelle eft la fomme
de la progreffion dont le premier terme eft 1 , le
fécond 2, & le nombre des termes 27.
14.
27.
Puifque le nombre des
termes eft 27 ; donc lui
ajoûtant le premier 1 , la
fomme des extrêmes fera
1 27 = 28 , dont la
moitié 14 étant multipliée
par 27, nombre des termes,
donnera 378 pour le
nombre des hommes du b a- )-
taillon propofé. Comme le
nombre donné étoit 400,
on voit qu’il refte 22 hommes
qui ne peuvent entrer
dans le bataillon, & qu’on
peut employer ailleurs, &
en former un peloton fé-
paré.
Il fuit de la réfolution du problème précédent, que
pour ormer des bataillons triangulaires équilatéraux.
1 aut quelque nombre de foldats, que l’on ait poiir
cet effet,1e'doubler, & enfui,e en7 xtraire M M
quarree : mais de manière qu'il y ait un relie igal à la
racine, ou que la contienne, & qu’alors cette facine
Tome II.
fêta le nombre des rangs du bataillon > dont tous les
côtés feront égaux.
78 Si Ion a , pal* exemple,) 5 hommes à difpofer ainfi
en bataillon triangulaire équi- 1
latéral, on commencera par ■
* ï 7
0T39»
9
les doubler, Ce qui donnera I
i 570. On extraira là racine >
6 7 0
quarrée de ce nombre , on j
6 9
la trouvera de 39 avec 49 — —
qui la contient : donc 3 9 eft Refte »
■ 49-
lé nombre dès rangs de ce J
bataillon. / ■ J
On déterminera de la même maniéré celui de tous
les autres, de la même elpece que l’on pourra pro-
pofer. r
Remarque. Si on fuppofè que la différence qui re->
gne dans la progreffion eft 2, c’eft-à-dire que le premier
terme étant toûjours 1 , le fécond eft 3 , le quatrième
eft 7 , &c. le dernier terme fêta (n étant tou-
jôurs le nombre des termes) n — 1 multiplié par 2 ,
plus i , o u 2 « - 2 + i ; & ajoûtant à ce terme lé
premier 1 , la fomme des extrêmes fera 2 ri — 2 - f s
*f 1 ; expreffion qui fe réduit à 2 n , dont la moitié
étant multipliée par le nombre deà termes, donnera
le nombre de la progreffion n n. Ainfi nommant S
la fomme de la progreffion, on a nn — S , c’eft- à -
dire le quarré du nombre des termes égal à la fomme
de la progreffion ; & par conséquent n qui eft la racine
quarree de n n , eft égal à celle de S ; enforte que
n = Ç/S.
D ’où il fuit que dans une progreffion arithmétique
dont le premier terme eft 1 , & le fécond 3 , le nombre
des termes eft égal à la racine quarrée de la fomme
des termes.
Ainfi, fi l’on donne 400
hommes pour former un bataillon
triangulaire , dont le
premier rang eft ï , & le
fécond 3 , ce qui eft la fécondé
efpece des bataillons
4 i 0 ô l ;
J ____J
triangulaires , on trouvera
le nombre des rangs de ce
bataillon y en extrayant lâ
racine quarrée de 400. Or
cette racine eft 20, donc ce
bataillon aura vingt rangs. J
Pour le prouver, Cônfidérèz qiie ce dernier rang
lera 1 + 1 9 x 2 ou 39, & qu’en y ajoûtant 1 , on au-
ra 40 pour la fomme des extrêmes, laquelle étant
multipliée par 10, moitié du nombre des termes,
donnera 400 pour l'a. fomme de la progrèllîon, c’eft-
à-dire le nombre propofé.
Si 1 on a de même 542 *)
pour former un bataillon
triangulaire de même efpece,
on extraira la racine
542
4
142
43
quarrée de ce nombre,la- \
quelle fera trouvée de 23 .
C’eft donc le nombre des ,
termes de cette progref* Refte.. 13
fion.
On le prouvera comme dans l’exemple précédent
en considérant que le dër- ]
nier terme fera 1 + 2X z i 23
==45. ajoûtant à ce terme 23
le premier 1 , on aura 46,
qui fera la fomme des ex*