■ commentaires 6c dans le livre de la guerre civile, thap.
xljv. rapporte que lés foldats fe lervoient auffi de
centons pourfe garantir des traits de l’ennemi, comme
on fait encore aujourd’hui de gabions 6c de facs
à laine. Les centonaires étoientfouvent joints aux den-
drophores ou charpentiers , 6c autres ouvriers fui-
vans les armées , comme il paraît par d’anciennes
infcriptions. Rofin, antiquités romaines. (G )
CENTRAL , adj. ( Mèchanique.) fe dit de ce qui -a rapport â un centre. Foyei Centre,
'C’eft ainli que nous difons éclipfe centrale, feu central
f force centrale, réglé centrale , &c. Voyelles articles
Feu , é c l ip s e &c.
Forces centrales , font des forces ou puiffances par
lefquelles un corps mû tend vers un centre de mouvement
, où s’en éloigne.
C ’eft une loi générale de la nature , que tout corps
tend à le mouvoir en ligne droite ; par cçnféquent
-un corps qui fe meut fur une ligne courbe , tend à
chaque inftant'à s’échapper par la tangente de cette
'courbe : ainli pour l’empêcher de s’échapper fuivant
cette tangente, il faut néceffairement une force qui
l’en détourne 6c qui le retienne fur la courbe. Or
c eft cette force qu’on appelleforcecentrale. Par exemple
un corps A ('fig. 24. Médian. ) qui fe meut fur le
cercle B E A , tend à fe mouvoir au point A fuivant
la tangent e A G , & il fe mouvrait effectivement fui-
vant cette tangente, s’il n’avoit pas une force centrale
H11* Pou^e vers le point C , & qui lui feroit parcourir
la ligne A M dans lé même tems qu’il parcourroit
A D ; de forte qu’il,décrit la petite portion de courbe
A E.
Remarquez qu’il n’eft pas nëceffaire que la force
■ centrale {oit toujours dirigée vers un même point ;
elle peut changer de direction à chaque inftant ; if
fuffit que fa direction foif différente de celle de la
tang.nte, pouf qu’elle'oblige le corps à décrire une
courbe. Foye[ Centre de mouvement ; voyez
tiuffi Force.
V Les forces centrales fe divifent en deux efpeces, eu
egard aux différentes maniérés dont elles font dirigées
par rapport au centre , favoir en centripètes &
en centrifugés. Foye^ces mots. '
Lois des forces centrales. Le célébré M, Huyghens
éft le premier qui ait découvert ces lois. Mais outre
qu’il les a données fans démonftràtion, il ne s’eft appliqué
qu’à'déterminer les lçis d es forces centrales dans
le cas où le corps décrit uri cercle. Plufieurs auteurs
ont démontré depuis lés fois données par M. Huyghens,
6c le célébré M. Newton a étendu la théorie
des forces centrales à toutes les courbes poflibles.
Parmi les auteurs qui ont démontre les propofi-
tions de M. Huyghens, perfonne ne l’a fait plus clairement
& d’une maniéré plus fimple, que le marquis
de l ’Hôpital dans les mémoires de l'académie de 1701.
i ° . Il commence par enfeigner la maniéré de comparer
la force centrale avec la pefanteur ; 6c il donne
là-deffus la réglé générale fuivante , qui renferme
toute la théorie des forces centrales.
Suppofons qu’un corps d’un poids déterminé fe
meuve uniformément autour d’un centre avec une
certaine vîteffe, il faudra trouver de quelle hauteur
il devrait être tombé pour acquérir cette vîteffe;
après quoi on fëra cette propofition : comme le rayon
du cercle que le corps décrit eft au double de cette
hauteur , ainfi fon poids eft à fa force centrifuge,
il eft vifible que par cette propofition on peut toujours
trouver le rapport delà force centrale d’un corps
à fon poids ; 6c que par conféquent on pourra facilement
comparer les forces centrales entre elles. Mais
û on veut fe contenter de comparer les forces centra -
les entre elles fans les comparer avec la pefanteur
•on peut fe fervir de ce théorème, que 1 es forces centrales
de deux corps font entre elles comme les prodnits
de leurs maffes multipliés par les quarrés d®
leurs vîteffes , 6c divifés par les rayons ou par les
diamètres des cercles qu’ilsd écrivent. On peut démontrer
cette propofition fans calcul, d’après M.
Newton, de la maniéré fuivante. Imaginons les cercles
que ces corps décrivent comme des polygones
réguliers femblables , d’une infinité de côtés ; il eft
certain que les. forces avec lefquelles chacun des
corps frappe un des angles de ces polygones , font
comme des produits de leurs maffes par leurs vîteffes.
Or dans un même tems ils rencontrent d’autant
plus d angles qu’ils vont plus vite, & que le cercle
eft d un rayon plus petit : donc le nombre des coups
dans un meme tems , eft comme la vîteffe divifée
par le rayon ; donc le produit du nombre des coups
par un feul coup ,• c’eft-à-dire la force centrale , fera
comme je produit de la maffe multiplié par lequarré
de la vîteffe, 6c divifé par le rayon. •
Donc.fi deux corps M,m , décrivent les.circonférences
du cercle C, c avec des vîteffes F , u pendant
les tems T , t ,6 c q-ue les forces centrales de ces corps
foient -F & les rayons des cercles qu’ils décrivent
& >r 9 °n aura F: f : : ; ÜLVt • de plus, on
a F : u : : y : - : : f ' donc on aura -encore F ;
r. _ MR mr
* ' ’ T~T ' ~t *
H eft aifé de conclure de-là, que fi deux corps
de poids égal décrivent des circonférences de cercles
inégaux dans des tems égaux, leurs forces centrales
feront comme les diamètres A B 6c HL ( Plane,
de Meckan. fg h 24. ) car fi mz=.M & t = T , on aura
F : f : : R • r ; 6c par conféquent fi les forces centrales
de deux corps qui décrivent des circonférences de
deux cercles inégaux, font comme leurs diamètres ,
ces corps feront leurs révolutions danis des tems
égaux.
30. L force centrale d’un corps qui fe meut dans
une circonférence de cercle , eft comme le quarré
de 1 arc infiniment petit A E , divifé par le diamètre
A B ; car cet arc infiniment petit décrit dans un inftant,
peut repréfenter la vîteffe, puifqu’il lui eft proportionnel.
Ainfipuifqu’un corps décrit dans des tems
égaux, par un mouvement uniforme , des arcs égaux
A E , la. force centrale par laquelle le corps eft pouffé
dans la circonférence du-cercle , doit être conftam-
ment la même.
40. Si deux corps décrivent par un mouvement
uniforme différentes circonférences, leurs forces cèn-
traüs feront en raifon compofée de la doublée de leur
vîteffe, 6c de la réciproque de leur diamètre ; d’oii
il s enfuit que fi les vîteffes font égales, les forces cen-
trales feront réciproquement comme les diamètres;
& fi lès diamètres A B 6c H L font égaux, c’eft-à-
dire fi les mobiles fe meuvent dans la même circonférence,
mais avec des vîteffes inégales, les forces
centrales feront en raifon doublée des vîteffes.
Si 1es forces centrales de deux corps qui fe meuvent
dans des circonférences différentes, font égales , les
* mJ:tres -dB 6c H L feront en raifon doublée des
vîteffes.
5 • & deux corps qui fe meuvent dans des circonférences
inégalés font animés par des forces centrales
égalés, le tems employé à parcourir la plus grande
circonférence fera au tems employé à parcourir la
plus petite, en raifon foûdoublée du plus grand diamètre
A B , au moindre H L : c’eft pourquoi on aura
T* - t * : :D : d ; c’eft - à - dire que les diamètres des
cercles dans les circonférences defquels cës corps
font emportés par une même force centrale , font en
raifon doublée des tems.
au^ II 9 clue le tems que des corps
pouffes par des forces ?centrales égales employent à
parcourir des circonférences inégales, font proportionnels
à leurs vîteffes.
Les forces centrales font en raifon compofée de la
üirefte dés diamètres 6c de la réciproque des quarrés
des tems employés à parcourir les circonférences
entières.
6°; Si les tems dans lefquels les corps parcourent
les circonférences entières ou des arcs femblables,
font comme les diamètres des cercles, les forces centrales
feront alors réciproquement comme ces mêmes
diamètres.
, 70. Si un corps fe meut uniformément dans la circonférence
d’un cercle avec la vîteffe qu’il acquiert
en tombant de la hauteur A F , nous avons dit que
la force centrale fera à la gravité comme le double
de la hauteur A F eft au rayon C A ; 6c par conféquent
fi on nomme G la gravité du corps , la force
Centrifuge, fera ^ - ^ 4 . Par-là on connoîtra quelle
doit être la force centrifuge & la vîteffe d’un corps
attaché à un fil, pour qu’il ne rompe point ce fil en
circulant horifontalement : car fuppofons qu’un poids
de trois livres, par exemple, rompe le fil, & que le
poids du corps foit de deux livres, on aura G égal à
deux livres, & devrai être plus petit que
trois livres, d’où l ’on tire A F < . ajnfi ja p |
teffe que le corps doit avoir pour ne point rompre
le fil , doit être plus petite que celle qu’il acquerront
en tombant d’une hauteur égale a u x d it rayon.
Si le corps circuloit verticalement , il faudrait que
~ézT-— 1~ £ fut < trois, livres.
Si un corps grave fe meut uniformément dans
la circonférence d’un cercle, 6c avec la vîteffe qu’il
peut acquérir en tombant d’une hauteur égale à la
moitié du rayon , la force centrale fera alors égale à la
gravité ; réciproquement fi la force centrale eft égale à
la gravité, le corps fe mouvra dans la circonférence
du cercle-avec la même vîteffe qu’il aurait acquife
en tombant d’une hauteur égale à la moitié du rayon.
90. Sïla force centrale eft égalé à la gravité., le tems
qu elle employera à faire parcourir la circonférence
entière, fera au tems dans lequel un corps grave tomberait
de la moitié du rayon, comme la circonférence
eft au rayon.
I.0°,* ^ ^eux corps fè meuvent dans des circonfé-
ces inégalés 6c avec des vîteffes inégales, de forte que
les vîteffes foient entr’elles en raifon réciproque de
la foûdoublée des diamètres , les forces centrales feront
en raifon réciproque de la doublée des diftances
au centre des forces.
1 1°. Si deux corps fe meuvent dans des circonférences
inégales avec des vîteffes qui foient entre elles
réciproquement comme les diamètres, les forces cen-
trales feront en raifon inverfe des cubes de leur dif-
tance au centre des forces.
• iz ° . Si les vîteffes de deux corps qui fe meuvent
dans des circonférences inégales , font en raifon inverfe
de la foûdoublée des diamètres , les tems qu’ils
employeront à faire leur révolution entière ou à parcourir
des arcs femblables , feront en raifon inverfe
de la triplée des diftances du centre des forpes : c’eft
pourquoi files forces centrales font en raifon inverfe
de la doublée des diftances du centre , les tems que
les corps-employeront à faire leur révolution entière
ou à parcourir des arcs femblables, feront en raifon
inv.erfe de la triplée des diftances.
130. Ces différentes lois font aiféesà déduire de la
formule que nous avons donnée dans l’art. 1. pourla
comparaifon des forces centrales entre elles. Or pour
comparer les forces centrales fur des courbes autres
que des cercles, il faut prendre au lieu des rayons
des cercles, les rayons de la développée de ces courbes
qui changent à chaque point, & qu’on trouve
par des méthodes géométriques : d’où ton voit que
quand un corps décrit une courbe autre qu’un cercie,
la valeur de la force centrale change à chaque inft
tant ; au lieu qu’elle eft toujours la même ; quand ië
corps, décrit un cercle. II. faudra de plus divifer la
quantité trouvée par le rapport du finus total au co-
ftnus de 1 angle que la direction de la force centrale fait
avec la tangente.
140. Si un corps tend à fe mouvoir, fuivant A D
( fis• ) , 6c qu'il foit en même tems follicité par
une force centripète vers un point fixe C , placé dans
le meme plan , il décrira alors une courbe dont la
concavité fera tournée vers C , 6c dont les différentes
aires comprifes entre deux rayons 'quelconques
■ A ^ & C & » feront proportionnels aux tems employés
à parcourir ces aires, c’eft-à-dire à parvenir
de l’extrémité d’un de ces rayons à l’extrémité de 1 autre. Car fans la force centrale qui pouffe fuivant
B F , le corps parcourroit dans des tems égaux B D
— A B : mais a caufe de la force centrale * il décrira
la diagonale B E du parallélogramme F B D E dans le
meme tems qu il a décrit A B. Or le triangle C B A
== CB Dy k caufe de B D = .A B; & à caufe des parallèles
D E y F B y on a CB E = CB D . Donc CBE=z
C A B . Donc, &c. .
1 50. Quelque différentes que foient des forces un.
traies dans des cercles, on pourra toujours les com-
parer enfemble : car elles feront toujours en raifon
compofee de celle des quantités de matière que con*
tiennent les mobiles., de celles de leur diftance au
centre, 6c enfin de l’inverfe de la. doublée des tems
périodiques. Si l’on multiplie donc la quantité de matière
de chaque mobile par fa diftance du centre, &
qu on divifé le^produit par le quarré du tems pério-
dique, les quotiens qui réfulteront de ces opérations
feront entre eux dans la raifon dés forces centrales ;•
c’eft uneiùite de l’article 1.
1.6°. Si les quantités de matières font égales , il
faudra divifer les diftances pair les quarrés des tems
périodiques , pour déterminer le rapport des forces
centrales.
17°'* Lorfque la force par laquelle un corps eft fol-
licite vers un point, n’eft pas par-tout la même, mais
qu’elle augmente ou diminue à proportion de la diftance
du centre ; cette nouvelle condition fait décri-i
re alors au mobile différentes courbes plus ou moins
compofees. Si la force décroît.en raifon inverfe des
quarrés des diftances à ce point, le mobile décrira
alors une ellipfe, qui eft une courbe ovale, dans laquelle
Te trouve deux points qu’on nomme foyers
dont l’un eft alors occupé par le point T , vers lequel
fe dirige la force dont nous parlons ; de façon
qu’à chaque révolution le corps s’approche une fois
» de ce point, & s’en éloigne une fois. Le cercle appartient
auffi à cette efpece de courbe ^de forte que
dans ce cas le mobile.peut auflî décrire uncercle. Le
mobile peut auflî, en lui fuppofant une plus grande
vîteffe, décrire les deux autres feétions coniques, la
parabole, & l’hyperbole ; lefquelles ne retournent
point fur elles-memes. Si la force croît en même tems
que la diftance, 6c en raifon de la diftance même, le
corps décrira encore une ellipfe : mais le point vers
lequel fe dirigera la force , fera alors le centre de
I ellipfe, 6c le mobile à chaque révolution s’approchera
deux fois 6c s’éloignera deux fois de ce point*
II peut arriver encore en ce cas , que le corps fe
meuve dans un cercle. Foyc{ Orbite , Planete ,
T r a jec to ire 6* Projectile. Foye^aufji les principes
mathém. de M. Newton , /iy» I. & les élémens de
médian, de "Wolf.
Les courbes peuvent être confidérées, ou comme
courbes rigoureufes , ou comme polygones infinis ;
or l’expreffion de là force centrale eft différentê dans
les deux cas : ce paradoxe fingulier fera expliqué à
f article COURBE.
Réglé centrale y c’eft une réglé ou une méthode qui