P R O P O S I T I O XXXIX. P R O B L E M A XXVII.
Pofita cujufcunque generis vi centrìpeta, concejjìs figurarum
curvilmearum quadratura, reqmntur corporis retta
afcendentis vel defcendentis turn veloeitas m locis fingulis,
turn tempus quo corpus ad locum quernvis perveniet : Et
contra.
De loco quovis A in reda A D E C cadat corpus A, deque loco
ejus E erigatur femper ' perpendicularis E G, vi centripetæ in loco
ilio ad centrum C tendenti proportionalis
: Sitque B EG linea curva quatti
pundum G perpetuo tangit. Coïncidât
autem E G ipfo motus initio
cum perpendiculari A B , & erit corporis
veloeitas in loco quovis E ut
reda, quæ poteft aream curvilineam
A B G E . Q E . l .
In A G capiaturEMreüæ, quæ poteft
aream A B G E , reciproce proportionalis,
& fit V LM linea curva, quam
pundum M perpetuo tangit, & cujus
afymptotos eft reda A B produc-
ta ; & erit tempus, quo corpus cadendo
deferibit lineam A E, ut area
curvilinea A B T VME . 6) E. I.
Etenimin reda A E capiatur linea
quam minima D E datae longitudi-
nis, íitque D L F locus lineæ E MG,
ubi corpus verfabatur in D -, & fi ea fit vis centripeta, ut reda, qu®
poteft aream A BG E , fit ut defcendentis veloeitas : erit area ipfa in
duplicata ratione velocitatis, id eft, fi pro velocitatibus in D & E,
feribantur V & V + I, erit area A B E D ut V V , 8c area A B G E at
d f g e
d e
ut
y y + i V I + II, & diviiim arèa DFG E ut % VI q-II,- ideoque
’V I ’4- I I I . n n
ut - qyjc— ’ *d ÿm Pr*mæ quantitatum nafeentium rationes fu- Pm»»s.
x V I
mantur, longitudo D E ut quantitas ideoque edam ut quantitatis
hujus dimidium Eft autem tempus, quo corpus cadendo
deferibit lineolam D E , ut lineóla illa direde & veloeitas V inverfe,
eftque vis ut velocitatis incrementum I direde & tempus inverfe,
I x V
ideoque fi primæ nafeentium rationes fumantur, ut = g , .h o c eft, •
ut longitudo DE. Ergo vis ipfi ©Av e l A G proportionalis facit ut
corpus ea cum velocitate defeendat, quæ lit ut reda quæ poteft *a-
ream A B G E . 6). E. D.
Porro cum tempus, quo quælibet iongitiidinis datae lineóla D E
defcribatur, fit ut veloeitas inverfe, ideoque inverfe ut linea reda
quæ poteft aream A B FD- , lìtque D E , atque ideo area nafeens
©AMA , ut eadem linea reda inverfe : erit tempus ut area D L
ME, & fumma omnium temporum ut fumma omnium arearum,.
hoc eft (per corol. lem. iv.) tempus totum quo linea A E deferibitur
ut area tota A T VM E . G^E.D.
Corol. i. Si T fit locus, de quo corpus cadere debet, ut urgente
aliqua uniformi vi centripeta nota (qualis vulgo fupponitur gravitas) ■
velocitatem acquirat in loco D æqualem velocitati, quam corpus
aliud vi quacunque cadens acquifivit eodem loco D , & in perpendiculari
D E capiatur D B , quæ fit ad © A ut vis illa uniformis ad
vim alteram in loco ©, & compleatur redangulum TD R § ), eique
æqualis abfcindatur area A B E D ; erit A locus de quo corpus alternai
cecidit. Namque completo redangulo D R S E , cum fit area
A B ED ad aream D F G E ut V V ad x V I , ideoque ut ¿ V ad I, id
eft, ut femiffis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis
vi inæquabili cadentis ; & fimiliter area T 6f R D ad aream
D R S E ut femiftìs velocitatis totius ad incrementum velocitatis
corporis uniformi vi cadentis ; fintque incrementa illa (ob aequali-
tatem temporum nafeentium) ut vires generatrices, id eft, ut ordi-
natim applicatæ © A , D R , ideoque ut areae nafcentes D F G E ,
DRSE- , erunt ex æquo areas totæ A B F D , TÇfR'D ad invi-
cem ut femiffes totarum velocitatum, & propterea, ob æqualitatem
velocitatum, æquantur. R ' Corol.