70 PHILOSOPHISE N A T U R A L I S
DEMoTuJíPad s p, quaeque angulum T S H ángulo ps h Sc angulum VS H
0KP UM ángulo p s q sequales conftituat. Denique umbilicis A, Ht Sc axe
principali A B diiiantiam V H acquante, defcribatur fedio conica.
Dico fadum. Nam fi agatur s v quae fit ad r / ut eft j h ad s q,
quaeque conftituat angulum v sp ángulo h s q S c angulum v s b ángulo
p s q aequales, triangula s vh, s p q erunt fimilia, & propterea
v h erit ad p q ut eft s h ad s q, id eft (ob fimilia triangula V S T,
h s q) ut eft V S ad S T feu a b adp q. sEquantur ergo vh Sc ab.
Porro ob fimilia triangula V SH , vsh, eft V H ad S H ut vh ad
s h, id eft, axis conic® fedionis jam defcriptae ad illius umbilicorum
intervallum, ut axis a b ad umbilicorum intervallum sh-, &
propterea figura jam defcripta fimilis eft figurae apb. Tranfit au-
tem haec figura per pundum T, eo quod triangulum T S H fimile fit
triangulo p s h ; & quia V H aequatur ipfius axi & V S bifecatur
perpendiculariter a reda T Ji, tangit eadem redam TR. E. F.
L E M M A XVI.
A datis tribus punBis ad quartum non datum infleBere tres
reBas quarum differentia vel dantur vel nulla funt.
Caf. i. Sunto punda ilia data A, B t C & pundum quartum Z,
quod invenire oportet; ob datam differentiam linearum A Z , B Z ,
locabitur
locabitur pundum Z in hyperbola cujus umbilici funt A Sc B, Sc ^Libe*
principalis axis differentia ilia data. Sit axis ille M N. Cape TM
ad M A ut eft M N ad A B , Sc ereda T R perpendiculari ad A B ,
demiffaque Z R perpendiculari ad T R ; erit, ex natura hujus hyperbolae,
Z R ad A Z ut eft MN. ad A B . Simili difcurfu pundum Z
locabitur in alia hyperbola, cujus umbilici funt A, C Sc principalis
axis differentia inter A Z Sc C Z , ducique poteil <gS ipfi A C per-
pendicularis, ad quam fi ab hyperbola hujus pundo quovis Z de-
mittatur normalis Z S, haec fuerit ad A Z ut eft differentia inter A Z
Sc C Z ad A C . Dantur ergo rationes ipfarum ZRS c Z S ad A Z ,
Sc idcirco datur earundem ZRS c Z S
ratio ad invicem ; ideoque fi redae RT,
5 G) concurrant in T, 8c agantur T Z
ScTA, figura T R Z S dabitur fpecie, k
6 reda T Z in qua pundum Z alicubi
locatur, dabitur pofitione. Dabitur
etiam reda TA, ut & angulus A T Z ;
Sc ob datas rationes ipfarum A Z ac
T Z ad Z S dabitur earundem ratio ad
invicem ; & inde dabitur triangulUm
A T Z, cujus vertex eft pundum Z. „
% E . l .
Caf x. Si duaa ex tribus lineis, puta A Z Sc B Z , aequantur, ita
age redam TZ , ut bifecet redam A B ; dein quaere triangulum
A T Z u t fupra.
Caf. 3. Si omnes tres aequantur, locabitur pundum Z in centro
circuii per punda A, B, C tranfeuntis. E. I.
Solvitur etiam hoc lemma problematicum per librum tadionum
Apollonii a Vieta reftitutum.
P R O P O S I T IO XXI. P R O B L EMA XIII.
TrajeBonam circa datum umbilicum defcrtbere, qua tranfibit
per punBa data & reBas pofitione datas continget.
Detur umbilicus S, pundum T , & tangens TR, Sc inveniendus
fit umbilicus alter II. Ad tangentem demitte perpendiculum ST,
Sc pro