L E M M A XXVIII.
Nulla extat figura ovalis cujus area, reclis pro lubitu abfcijfa,
pofiìt per aequationes numero terminorum ac dimenfionum
finitas generaliter inventri.
Intra ovalem detur punftum quodvis, circa quod ceu polum re-
volvatur perpetuo linea reità, uniformi cum motu, & interea in
reità illa exeat punilum mobile de polo, pergatque femper ea cum
velocitate, quae lit ut reftse illius intra ovalem quadratum. Hoc
motu punitum illud defcribet fpiralem gyris infinitis. Jam fi areae *
ovalis a reità illa abfciflae portio per finitam aequationem inveniri
poteit, invenietur etiam per eandem sequationem diftantia puniti a
polo, quae huic areae proportionalis eft, ideoque omnia fpiralis punita
per aequationem finitam inveniri poflunt : & propterea re&ae cu-
jufvis pofitione datse interfeitio cum fpirali inveniri etiam poteit per
sequationem finitam. Atqui reità omnis infinite produita fpiralem
fecat in punitis numero infinitis, & aequatio, qua interfeitio aliqua
duarum linearum invenitur, exhibet earum interfeitiones omnes
radicibus totidem, ideoque afcendit ad tot dimenfiones quot funt
interfeitiones. Quoniam circuii duo fe mutuo fecant in punitis
duobus, interfeitio una non invenietur nifi per sequationem duarum
dimenfionum, qua interfeitio altera etiam inveniatur. Quoniam
duarum feitionum conicarum quatuor efle poflunt interfeitiones,
non poteit aliqua earum generaliter inveniri nifi per sequationem
quatuor dimenfionum, qua omnes fimul inveniantur. Nam fi interfeitiones
illse feorfim quserantur, quoniam eadem eli omnium lex
& conditio, idem erit calculus in cafu unoquoque, & propterea eadem
femper conclufio, quae igitur debet omnes interfeitiones fimul
compleiti & indifferenter exhibere. Unde etiam interfeitiones
feétionum conicarum & curvarum tertiae poteftatis, eo quod
fex elle poflunt, fimul prodeunt per aequationes fex dimenfionum,
& interfeitiones duarum curvarum tertiae poteftatis,. quia novem elle
poflunt, fimul prodeunt per sequationes dimenfionum novem. Id
nifi neceflario fieret, reducere liceret problemata omnia folida ad
plana, & plufquam folida ad folida. Loquor hic de curvis poteflate
irreirreducibilibus.
Nam fi aequatio, per quam curva definitur, ad inferiorem
poteftatem reduci poffit I curva non erit unica, fed ex
L I B E K
P r i m u s *
duabus vel pluribus compofita, quarum interfeitiones per calcplos
diverfos feorfim inveniri poflunt. Ad eundem modum ìnterfeaio-
npc hin£e reitarum & feitionum conicarum prodeunt lemper per
Muadones duarum dimenfionum, termo reflarum & curvarum
irreducibilium tertiae poteftatis per sequationes tnum, quaternae re-
itarum & curvarum irreducibilium quartse poteftatis per sequationes
dimenfionum quatuor, & fic in infinitum. Ergo reflm
terfeitiones numero infimtae, cum curva hsec fit fimplex & incurvas
plures irreducibilis, requirunt aequationes numerV ^ 7 ™ T S h i
radicum infinitas, quibus interfeitiones omnes poflunt fimu! exhi-
beri Eft enim eadem omnium lex & idem calculus. Nam fi a p
in reftam illam fecantem demittatur perpendiculum, & PerPe« ^ u -
lum illud una cum fecante revolvatur circa polum, interfeitiones
fpiralis tranfibunt in fe mutuo, quseque prima erat feu proxima, poft
unam revolutionem fecunda ent, poft duas tertia, & fic dein p .
nec interea mutabitur aequatio nifi pro mutata magnitudine quanti-
tatum per quas pofitio fecantis determinatur. Unde cum quantitates
illse poft fingulas revolutiones redeunt ad magmtudines pri-
mas, aequatio redibit ad formam primam, ideoque una eademque
exhibebit interfetìiones omnes, & propterea radices habebit numero
infinitas, quibus omnes exhiberi poffunt. Nequit ergo interfeitio
reflse & fpiralis per aequationem finitam generaliter mveniri, & ìd-
circo nulla extat ovalis cujus area, reitis imperatis abfciffa, pollit
rer talem aequationem generaliter exhiberi.
Eodem argumento, fi intervallum poli & puniti, quo fpiralis de-
fcribitur, capiatur Ovalis perimetro abfciflae proportionale, proban
poteft quod longitudo perimetri nequit per finitam sequationem generaliter
exhiberi. De ovalibus autem hic loquor quae nontangun-
tur a figuris conjugatis in infinitum pergentibus.
Corollarium.
Hinc area ellipfeos, quae radio ab umbilico ad corpus mobile du-
éto defcribitur, non prodit ex dato tempore, per sequationem finitam
• & propterea per defcriptionem curvarum geometrice rationalium’
determinari nequit. Curvas geometrice rationales appello quap
z rum