D E Mo T u
CORPORUM
occurrentem loco in A. Invenietur
autem pundum F per le t ik x ix .
Bifeca B F in G, &• afta indefuñta^
A G erit pofitio diametri ad quam
B G 8c F G ordinatim applicantur.
Haee A G occurrat loco in H, &
erit A H diameter five latus tranf-
verfum, ad quod latus redum erit
ut BGq ad A G xGH . Si-^Gnuf-
quam occurrit loco, linea A H exilíente
infinita, locus erit parabola, B
. ■ B G q c-
& latus redum ejus ad diametrum AG pertinens erit - j g - . sm ea
alicubi occurrit, locus hyperbola erit, ubi púnela A 8c H fita funt ad
eafdem partes ipfius G: & ellipfis, ubi G intermedium eft, nifi torte
angulus A G B redus fit, & infuper B G quad, aequale reftangulo
A G H, quo in cafu circulus habebitur. \
Atque ita problematis veterum de qiiatuor lineis ab Euclide in*
coepti & ab Apollonio continuati non calculus, fed compofitio geometrica,
qualem veteres quaerebant, in hoc corollario exhibetur.
L E M M A XX.
Si parallehgrammum quodvis ASPQ. angulis duobus oppofitis
A & P tangit feBionem quamvis conicam in pimBis A &
P ■ & lateribus unius angulorum ill&rum infinite produBis
AO_, AS occurrit eidem fid im i conica: m B & C -, apunBis
autem occurfuum B^f'C ad qmntum q u o d v i s fid iom s'conica
pundum D agantur reda dua BD, CD occurr entes qlteris
duobus infinite produtiis parallelogrammi lateribus P S, P 'd
in T & R : erunt fimper abfcijfa late rum partes P R &
P T ad mvicem in data ratroné. E t contra, f i partes illa
abfiijfia funt ad mvicem in data ratione, pundam, D trnget
feBionem conicam per púnela quatuor A, B, C, P trmfeuntem
' Caf.
Caf. 1. Jungantur B F , C F Be a pundo © agantur redae duse
D G, © E, quarutn prior © G ipfi A B parallela fit & occurrat ©A,
p®, C A in H, I, G ; altera © E parallela fit ipfi A C & occurrat
< P C , ’ F S, A B in F, K, E : & erit (per lem. x v i i . ) redangulum
© A x © A ad redangulum D G x D H in ratione data. Sed eft
©j^ad © E (feu I 6f ) ut F B c
ad HB, ideoque ut F T ad
F)H; 8c viciffim SP^ad F T S
ut © A ad © //. Eft & F R
ad © A u t R C ad © C, ideoque
ut (IG vel) P S ad ©G, &
viciffim F R ad F S ut B A ad
© G ; & conjundis rationi-
bus fit redangulum F Q x F R
ad redangulum F S x F T ut
redangulum © A x © A ad u,
redangulum © G x D FI, atque ideo in data ratione. Sed dantur
F & F S, & propterea ratio F R ad F T datur. ^ A. B .
Caf 1. Quod fi F R 8c F T ponantur in data ratione ad invicem,
turn fimili ratiocinio regrediendo, fequetur effe redangulum © E
x © A ad redangulum ©G x D H in ratione data, ideoque pundum
© (per lem. x vm . ) contingere conicam fedionem tranfeuntem per
punfta A, B, C, F. A. ©.
Carol. 1. Hinc fi agatur B C fecans ©J^in r, 8c in F T capiatur
© i in ratione ad © r quam habet F T ad P R : erit B t tangens
conicae fedionis ad pundum B. Nam concipe pundum © coire
cum pundo B, ita ut, chorda B © evanefcente, B T tangens eva-
dat; & C B &c B T coincident cum CB 8c Bt.
Corol. x. Et vice verfa fi B t fit tangens, 8c ad quodvis conicae
fedionis pundum B conveniant A® , C © ; erit F R ad ©Aut F r
ad © t. Et contra, fi fit © A ad ©Au t © r ad F t : convenient,
B D , C D ad conicae fedionis pundum aliquod ©.
Corol. 3. Conica fedio non fecat conicam fedionem in piindis
pluribus quam quatuor. Nam, fi fieri poteft, tranfeant dua: conicae
fediones per quinque punda A, B, C, ©,0 ; 'eafque fecet reda B ©
in pmidis ©, d, 8c ipfam © ^ fecet reda C d in q: Ergo F R eft ad
F T